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想象一下，你是一个颇有知名度的科学家（也许你真的是），正在研究一个热门话题。突然，你想起来一个人，他很有才华，但还没有太多人认识他；不过，他和你研究的是同一个领域。你会怎么做？跟他合作，还是给他设置障碍？再或者做介于二者之间的事？最权威的天文学家之一，丹麦人第谷·布拉赫就遇到了这样的情况。但还是让我们从头说起吧。
在望远镜还没有发明出来的时候，也就是16世纪末，布拉赫已经观察到了恒星和行星的运动。他在没有望远镜的情况下出色地完成了工作——望远镜是在他死后几年才研制出来的。他面临的一大挑战是解释行星轨道。当时，人们仍然相信地球是宇宙的中心，所有的行星，甚至包括太阳都是围着我们转的。
但这个模型无法解释行星轨道的一些奇怪之处，比如火星的轨道。你可以看到火星在天空中的观测轨迹，就像图中从地球上看到的那样。似乎火星会往回绕一圈，然后才继续沿着它一开始的路线前进。如果说火星是绕地球的圆形轨道运动的，这个观测结果就说不通了。于是，人们尝试着改进这个模型，在火星“大轨道”的轨道上再加一个小圆圈，假设火星是围绕这个小圆圈运动的。但这个设想也不能完全令人信服。
尽管布拉赫可能没承认过，但他或许确实觉得自己需要一些帮助。他认识年轻有为的天文学家约翰尼斯·开普勒。布拉赫从天文观测中获得了很多非常精确的数据，而开普勒则有能力建立理论模型。回到我们在介绍中提出的问题：如果你是布拉赫，你会怎么做？布拉赫决定选择后者。他邀请开普勒来到他做研究的布拉格，并请他做了助手，好借此机会将开普勒的天赋收为己用。但是，给了开普勒数据，布拉赫又怎么能确保他不会迅速分析数据，建立新的理论，到最后甚至比布拉赫本人还出名呢？布拉赫决定让开普勒忙上一段时间，他给了开普勒一个看起来不可能完成的任务，至少在短时间内不可能完成。他让开普勒去分析火星的轨道。
这的确是一项非常具有挑战性的任务。开普勒开始用一种全新的方法来解决这个问题。与布拉赫相反，他把太阳而不是地球放在了我们的太阳系中心。我们管这个体系叫“日心说”或哥白尼体系。后者是以天文学家尼古拉·哥白尼的名字命名的，他在开普勒开始研究火星轨道大约100年前就创造了这个体系。
即便有这个体系，解释火星的轨道也不是件容易的事。这个模型的错误在于行星沿着圆形轨道绕太阳运动的设想。开普勒终于发现这些轨道不是圆的，而是椭圆的！这就是开普勒的第一定律：
所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
可什么是焦点呢？让我们从椭圆的定义开始讲起。“椭圆就是像圆的东西，只不过它被挤压或拉伸了”——想必这就是你的想法。但椭圆在数学上的准确定义是不同的：椭圆是平面上围绕两个焦点的一条曲线，曲线上的每个点到两个焦点的距离之和是恒定的。哇，这个好难理解哦。想象一下插在地面上的两根木棍（我们的焦点）。拿一根比两根木棍之间的距离长的绳子，把它的两端分别拴在两根木棍上。现在，拿一支笔，用它拉紧绳子，画一条线。由于绳子的长度是恒定的，所以画的这条线上所有的点到两个焦点的距离之和总是相同的，即绳子的长度。看看我们的插图中的椭圆，肯定有助于理解上文。另外，圆只是椭圆的特例，两个焦点为同一个点，即圆心。虽然那些相信轨道是纯圆的人也声称轨道速度是恒定的，但开普勒不得不承认，对于椭圆轨道来说并非如此，反倒是与行星运动有关的另一个量是恒定的。这就是开普勒的第二定律了：
行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。
行星离太阳越近，运行速度越快。这是由角动量守恒造成的。想象一下花样滑冰运动员为了旋转得更快，将手臂贴紧身体的样子。所以，靠近太阳的时候，我们的行星在轨道上就移动得更快，拖动连接线的速度也更快。但当行星离太阳越近，（随着每一点运动）连线扫过的面积就会越小。而较快的运动刚好可以抵消因为距离太阳较近而导致的面积覆盖趋缓。神奇！我们必须意识到，所有这些定律都是根据经验得出的。这意味着，开普勒掌握的只有一组点，即行星的一系列位置，以及它处在这些位置上的相应的时间。他无法从远处看到全局，无法清楚地看到整个轨道，只能从地球上看。所以，从我们在插图中看到的那种奇怪的火星运行轨迹中，他得出了这两个定律。虽然开普勒很快就用公式表达出了这两条定律，但他又花了一些时间才推导出第三条定律。第三条定律是这样说的：
所有行星绕太阳一周的时间的平方与它们轨道半长轴的立方之比是常量。
如我们的椭圆图中所示，半长轴是行星与太阳之间最长和最短距离的平均值。粗略地讲，牛顿第三运动定律说：轨道越大，沿它运行一圈需要的时间就越长。这一点很明显，它也告诉了你行星绕太阳一周还需要多长时间。一旦你知道了这个常数值，比如根据地球轨道计算出常数，你就可以计算出其他所有行星的轨道了！我们通过一个例子来看看吧。地球和太阳之间的平均距离是一个天文单位（1AU），相当于1.5亿公里。如果我们知道木星到太阳的平均距离是5.2AU，那么我们是否能知道木星绕太阳一周需要多长时间呢？能，借助开普勒第三定律我们就能知道！我们设两个周期的平方的比值等于两个距离的立方的比值。解出方程就可以得知，木星绕太阳一周的时间为11.9年。
开普勒定律最令人印象深刻的是，发现这些定律时人们还不知道引力的原理——约70年后艾萨克·牛顿才提出了该原理。这是一个人类发现自然规律的好例子：首先，一个人观察自然。然后，他努力从中找出自然遵循的一个数学规则。最后，他尝试概括和验证这个规律。今天，我们知道了牛顿的引力定律，也可以反其道而行之：从牛顿的万有引力定律出发，从中推导出开普勒定律。
开普勒定律不仅适用于行星围绕太阳的运动，还可以被用于计算卫星的轨道，比如，月球围绕地球运动的轨道。你只需要确保一些近似条件，比如这两个天体是巨大的且不会被其他巨大的天体所干扰（太阳系便是如此，在这里，只有太阳才是真正巨大的天体，其他天体之间的距离相当远），以及忽略轨道上的非引力干扰。一颗行星的轨道上有太多小行星阻挡，这便是非引力干扰的一个例子，万幸的是，咱们的太阳系没有这种情况。