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民国时期，著名画家、教育家、漫画家、作家丰子恺给刘薰宇的《数学趣味》一书作序，原文如下：
我中学时代最不欢喜数学，最欢喜图画，常常为了图画而抛荒数学课。看见某画理书上说：“学数学与学图画，头脑的用法相反，故长于数学者往往不善图画，长于图画者往往不善数学。”我得了这话的辩护，便放心地抛荒数学课，仿佛数学越坏，图画会越好起来似的。现在回想觉得可笑又可惜，放弃了青年时代应修的一种功课。我一直没有尝过数学的兴味，一直没有游览过数学的世界，到底是损失！
最近给我稍稍补偿这损失的，便是这册书里的几篇文章。我与薰宇相识后，他便做这些文章。他每次发表，我都读，诱我读的，是它们的富有趣味的题材。我常不知不觉地被诱进数学的世界里去。每次想：假如从前有这样的数学书，也许我不会抛荒数学，因而不会相信那画理书上的话。我曾鼓励薰宇续作，将来结集成书。现在书就将出版了，薰宇要我作序。数学的书，叫我这从小抛荒数学的人作序，也是奇事。而我居然作了，更属异闻！序，似乎应该是对于全书的内容有所品评或阐发的，然而我的序没有，只表示我是每篇的爱读者而已。——唯其中《韩信点兵》一篇给我的回想很不好：这篇发表时，我正患眼疾，医生叮嘱我灯下不可看书，而我接到杂志，竟在灯下一口气读完了。次日眼睛很痛，又去看医生。
一九三三年耶稣诞
子恺
一篇简短的序言，让我们读到了大画家丰子恺对没有学好数学的懊悔，也读到了《数学趣味》的趣味。这趣味让丰子恺对该书爱不释手，忍着眼痛也要看完。如此精彩，到底是怎样的书呢？让我们一起来品味刘薰宇的数学科普丛书。
刘薰宇（1896—1967），贵州贵阳人。我国现代数学家，也是我国现代数学教育家和出版家，受过法国数学教育的熏陶，曾任多所大学和中学数学教师或校长，担任过人民教育出版社副总编辑，审定过我国中小学数学教材，出版了中小学数学教科书和科普读物，发表了大量数学教育方面的论文，筹备出版了《中学生》《新少年》等青少年期刊。
担任人民教育出版社副总编辑期间，编写了一系列中学数学教材。算术谁编的？刘薰宇！代数谁编的？刘薰宇！平面几何谁编的？刘薰宇！立体几何谁编的？刘薰宇！解析几何谁编的？刘薰宇！……注意不是主编，而是编！我们对作者的景仰之情如滔滔江水，连绵不绝。
民国时期，语文教育家夏丏尊出过一本书，名为《文章作法》，这本书的第二作者是刘薰宇，一个数学家编写语文专著，可谓文理兼修，惊为天人。
刘薰宇作为中国数学科普第一人，论著特点之一就是：说理浅明，以趣味丰富的文字写枯燥的算理。所以，他的科普著作深受人们的喜爱，下面仅对《数学趣味》《马先生谈算学》《数学的园地》和《因数和因式》中的内容做一简单的介绍，增进我们对他的科普著作的了解，进而去阅读，并享受其中的数学趣味，汲取这位数学家留给我们的“教育遗产”。
刘薰宇的《马先生谈算学》这部著作从1937年1月开始，陆续按月发表在《中学生》上，预定于1937年，在《中学生》上登载完毕，算学的态度，思索问题的途径，以及探究题目间的关系和变化，我很用心地去选择和计划表出它们的方法。我希望，能够把这没有生命的算学问题注进一点儿活力。”该书是以第三人称——“马先生”的口吻来进行书写的，主要围绕如何用图解法求解一些算术四则问题，收集了100多道题目加以解释，但它并不是什么难题详解之类的书。马先生是一位风趣幽默的老师，在和同学们的交流中循循善诱，把复杂的数学问题通过深入浅出的语言，通过生动形象的画图加以解决。例如书中有这么一段：
鸡、兔同一笼共十九个头，五十二只脚，求鸡、兔各有几只？
不用说，这题目包含一个事实条件，鸡是两只脚，而兔是四只脚。
“依头数说，这是‘和一定’的关系。”马先生一边说，一边画AB线。
“但若就脚来说，两只鸡的才等于一只兔的，这又是‘定倍数’的关系。假设全是兔，兔应当有十三只；假设全是鸡，就应当有二十六只。由此得 CD 线，两线交于 E。竖看得七只兔，横看得十二只鸡，这就对了。”
七只兔，二十八只脚，十二只鸡，二十四只脚，一共正好五十二只脚。
这种方法正如刘薰宇先生强调的：“用图解法直接来解决算术问题，这不但便于观察和思索，而且还可使算术更切近于实用一点。图解，本来已沟通了代数和几何，而成为解析几何学的骨干。所以，若从算术起，就充分地运用它，我想，这不但对于进一步学习算学中的其他部门，有着不少的帮助，而且对于学理、工科，乃至于统计等，也是有益的。”《马先生谈算学》中的图像法不正是中学的函数图像的雏形吗？在学习函数和解析法分析问题时，马先生让你水到渠成。
《马先生谈算学》共有30部分，依次为：他是这样开场的、怎样具体地表出数量以及两个数量间的关系、解答如何产生——交差原理、就讲和差算罢、“追赶上前”的话、时钟的两只针、流水行舟、年龄的关系、多多少少、鸟兽同笼问题、分工合作、归一法的问题、截长补短、还原算、五个指头四个叉、排方阵、全部通过、七零八落、韩信点兵、话说分数、三态之一——几分之几、三态之二——求偏、三态之三——求全、显出原形、从比到比例、这要算不可能了、大半不可能的复比例、物物交换、按比分配、结束的一课。
《马先生谈算学》充分体现了刘薰宇先生对数学的态度，一方面认为人人应该学习数学，但不是说人人都要当数学家；另一方面认为人人都能学习数学，但不是说人人都能成为数学家。科学的价值与需求在当时已经不容怀疑，而算术、代数、几何、三角、解析几何以及初等微积分等中等程度的数学是科学必备的基础。所以，“谨以此书献给真实爱好科学的青年朋友”表达了刘薰宇先生出版该书的心声。
《数学趣味》共有11部分，依次是：数学是什么、数学所给与人们的、数的启示、从数学问题说到我们的思想、恨点不到头、堆罗汉、八仙过海、棕榄谜、韩信点兵、王老头子的汤圆、假使我们有十二根手指。《数学趣味》是一本有趣的数学史，从数学是什么到数的启示，你会读到数的历史演变，你会读到从数到式的发展。从数学问题说我们的思想中，刘薰宇先生通过鸡兔同笼、勾股定理两个耳熟能详的问题，分析了数学中的通法和特法的关系，以及特殊与一般的关系。
大概说来，在十六七年前吧，从一部旧小说上，也许是《镜花缘》，看到一个数学题的算法，觉得很巧妙，至今仍没有忘记。那是一个关于鸡兔同笼的问题，题上的数字现在已有点儿模糊，假使总共十二个头，三十只脚，要求的便是那笼子里边究竟有几只鸡、几只兔。
那书上的算法很简便，将总共的脚的数目三十折半，得十五，从这十五中减去总共的头的数目十二，剩的是三，这就是那笼子里面的兔的只数；再从总共的头数减去兔的头数三，剩的是九，便是要求的鸡的数目。真是一点儿不差，三只兔和九只鸡，总共恰是十二个头，三十只脚。
……
八方桌和六方桌，总共八张，总共有五十二个角，试求每种各有几张。这个题目具备了前面所举的三个条件中的第一个和第二个，只缺第三个，所以不能完全用相同的方法计算。先将五十二折半得二十六，八方和六方折半以后，它们的角的数目相差虽只有一，但六方的折半还有三个角，八方的还有四个。所以，在三十六个角里面，必须将每张桌折半以后的脚数三只三只地都减去。总共减去三乘八得出来的二十四个角，所剩的才是每张八方桌比每张六方桌所多出的角数的一半。所以二十六减去二十四剩二，这便是八方桌有两张，八张减去二张剩六张，这就是六方桌的数目。将原来的方法用到这道题上，步骤就复杂了，但教科书上所说的方法，用到那些形式相差很远的例子上并不繁重，这就可以证明两种方法使用范围的广狭了。
读了上面的例子，你是否认识到越是普遍的法则，用来对付特殊的事例，往往越是容易显出不灵巧，但它的效用并不在使人得到小花招，而是要给大家一种可靠的、能够一以当百的方法。你是否认识到这可以列方程和方程组，解法更加普遍。
中国很老的数学书，如《周髀算经》上面，就载有一个关于直角三角形的定理，所谓“勾三股四弦五”。这正和希腊数学家毕达哥拉斯的定理：“直角三角形的斜边的平方等于它两边的平方的和。”本质上没有区别。但由于表出的方法不同，它们的进展就大相悬殊。从时间上看，毕达哥拉斯是纪元前六世纪的人，《周髀算经》出世的时代虽已不能确定，但总不止二千六百年。从这儿，我们中国人也可以自傲了，这样的定理，我们老早就有的。这似乎比把墨子的木鸢当作飞行机的始祖来得大方些。然而为什么毕达哥拉斯的定理在数学史上有着很大的发展，而“勾三股四弦五”的说法，却没有新的突破呢？
这进一步告诉我们，我们的科学研究，尤其数学研究要从实际问题出发，从特殊到一般，发现普遍真理。刘薰宇进一步分析了一般三角形的三边类勾股的关系，扩展到费马定理，层层递进，精彩纷呈。
刘薰宇出版《数学趣味》有两个目的：一是打破一种观念：“许多人以为数学是枯燥、繁杂、令人头疼、不切实用的学科，因而望而却步。打破这种观念，这是第一个共同的企图。”二是暗示处理材料和思索问题的方法：“许多人以为学习数学，只要呆记书本上的法则、公式、定理等等，再将练习题做完，这就算全部掌握了。其实书本上的知识不但有限，而且也太固定了，我们所能遇见的更鲜活的材料不知有多少。将死板的方法用到这些活泼的材料上去，使它俩相得益彰，这是一条学习的正轨。学习不但要收集一些材料，还要掌握一些方法。掌握方法比收集材料更有效果。”
中学生可以看懂高等数学中的微积分，也许你认为这是天方夜谭吧。当你打开刘薰宇的《数学的园地》，你会发现微积分其实很简单。该书比较系统地说明了函数、诱导函数、积分、微分等概念及它们的运算法的基本原理。抽象、枯燥的高等数学内容，经过他巧妙的手法写出来，只要学过初等代数和几何的人，就能很轻松、毫不费力地读完并掌握。所以，该书完全可以作为中学生必备的重要自学书籍。
记起一段笑话，一段戏文上的笑话。有一个穷书生，讨了一个有钱人家的女儿做老婆，因此，平日就以怕老婆出了名。后来，他的运道亨通了，进京朝考，居然一榜及第。他身上披起了蓝衫，许多差人侍候着。回到家里，一心以为这回可以向他的老婆复仇了。哪知老婆见了他，仍然是神气活现的样子。他觉得这未免有些奇怪，便问：“从前我穷，你向我摆架子，现在我做了官，为什么你还要摆架子呢？”
她的回答很妙：“愧煞你是一个读书人，还做了官，‘水涨船高’你都不晓得吗？”
你懂得“水涨船高”吗？船的位置的高低，是随着水的涨落变的。用数学上的话来说，船的位置就是水的涨落的函数。说女子是男子的函数，也就是同样的理由。在家从父，出嫁从夫，夫死从子，这已经有点儿像函数的样子了。如果还嫌粗略，我们不妨再精细一点儿说。女子一生下来，父亲是知识阶级，或官僚政客，她就是千金小姐；若父亲是挑粪、担水的，她就是丫头。这个地位一直到了她嫁人以后才会发生改变。这时，改变也很大：嫁的是大官僚，她便是夫人；嫁的是小官僚，她便是太太；嫁的是教书匠，她便是师母；嫁的是生意人，她便是老板娘；嫁的是 x，她就是y，y总是随着x变的，自己无法做主。这种情形和“水涨船高”真是一样，所以我说，女子是男子的函数，y是x的函数。
函数的概念比较抽象，刘薰宇先生以旧社会妇女没地位，处处要服从男人这个事实作为从属关系的例子，把“一个变化另一个也跟着变”的道理说得幽默生动。相对于函数，微分、积分、导数以及微分方程更加抽象，但刘薰宇先生依然把它们讲得栩栩如生，通俗易懂。
《因数和因式》中，刘薰宇先生把小学的数和中学的式放在一起，可以类比学习，对于爱好数学的学生、学有余力的学生、在六年级着手初小衔接的学生，可以仔细读一读，品一品，你会发现二者之间有着紧密的联系。书中有一些名词在今天读起来更觉得生动：比如我们现在称为分解质因数，本书中称为“析因数”，分解因式在本书中称为“析因式”。有关式的部分，刘薰宇先生在书中做了细致的阐述，对初中数学中数与式的巩固、拓展提升有很大的帮助。
刘薰宇的论著在当时深受人们的喜爱，有些人正是因为读了他的论著才对数学感兴趣，不再觉得数学是枯燥、难懂的学科。
著名物理学家、诺贝尔奖得者杨振宁在对香港中学生的演讲中说：“早在中学时代，由于偶然的机会我对数学产生了兴趣，而且发现了自己的数学能力。20世纪30年代，有一杂志名叫《中学生》。我想香港的一些图书馆一定还收藏有这份杂志。这份杂志非常好，面向中学生，办得认真，内容有趣。有一位刘薰宇先生，他是位数学家，写过许多通俗易懂和极其有趣的数学方面的文章。我记得，我读了他写的关于智力测验的文章，才知道排列和奇偶排列这些极为重要的数学概念。”
著名数学家、国家最高科学技术奖获得者谷超豪院士说：“我很早就对数学产生了兴趣，中学时期除了好好学习课本外，我还看了不少课外书。记得看了刘薰宇先生的《数学的园地》，其中有一段讲述了微积分思想，从什么是速度讲起。当时在学中学物理课，我自以为很懂得速度、加速度等概念，然而读了这本书之后才发现，原来速度概念要用到微积分才能精确了解，于是对数学愈发地感兴趣了。”
刘薰宇先生的这些作品与教科书不同，刘薰宇说“在嬉皮笑脸中来谈点严肃的数学法则”（刘薰宇《科学小品和我》），这样的写法很得著名艺术家丰子恺的称赞。
好友李异鸣先生从孔夫子旧书网购得刘薰宇先生的《马先生谈算学》《数学趣味》《数学的园地》《因数和因式》套书。2020年春节，新冠肺炎疫情蔓延，待家防护，捧读大师这四本著作，仿佛和大师做了一番月余的长谈。“数学很难，数学很枯燥，数学很重要”，这是很多中小学生的内心独白。今天，我要向所有的中小学生推荐这套丛书，这套丛书能够让人感知数学知识可以是有趣的，也应该是有趣的，学习数学知识并不是苦差事。好书永远有生命力，刘薰宇先生的这套丛书就是好书，一代代人读，启迪智慧，开创未来。
北京市第八十中学 杨根深
2020年4月
这里所要说明的“数学”这一个词，包含着算术、代数、几何、三角等在内。用英文名词来说，那就是 Mathematics。它的定义，照平常的想法，非常简单、明了，几乎已用不到再加说明。但真要说明，那问题却又有很多。且先举罗素（Russell），在他所著的《数理哲学》提出的定义，真是叫人莫名其妙，好像在开玩笑一样。他说：
“Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.”
将这句话很粗疏地译出来，就是：
“数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”
这样的定义，既惝恍迷离，又神奇莫测，真是“不说还明白，一说反糊涂”。然而，若要将已经发展到现在的数学的领域概括得完全，要将它繁复、灿烂的内容表示得活跃，好像除了这样也没有其他更好的话可说了。所以伯比里慈（Papperitz）、伊特耳生（Itelson）和路易·古度拉特（Louis Couturat）几位先生对于数学所下的定义也是和这个大体相似。
对于一般的读者，这定义，恐怕反而使大家坠入迷雾中，因此，“拨云雾见青天”的工作似乎是少不了的。罗素所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是用数学的其他定义来相比较更容易明白。
在希腊，亚里士多德（Aristotle）那个时代，不用说，数学的发展还很幼稚，领域也极狭小，所以数学的定义只需说它是一种“计量的科学”，已很可使人心满意足了。可不是吗？这个定义，对于初学数学的人是极容易明白而且能够满足的。他们解四则问题、学复名数的计算，再进到比例、利息，无一件不是在计算量。就是学到代数、几何、三角，也还不容易发现这个定义的破绽。然而仔细一想，它实在有些不妥帖。第一，什么叫作“量”。虽然我们可以用一般的知识来解释，但真要将它的内涵说明白，也不容易。因此，当用它来解释其他名词时，依然不能将那名词的概念明了地阐述出来。第二，就是用一般的知识来解释“量”，所谓“计量的科学”这个谓语也不能够明确地划定数学的领域。例如测量、统计这些学科，虽然它们有各自特殊的目的，但也只是一种计量。总的来讲，仅仅用“计算的科学”这一个谓语联系到数学而形成一个数学的定义，未免过于广泛了。
若进一步去探究，这个定义欠缺的还不止这两点，所以孔德（Comte）就将它加以修改为：“数学是间接测量的科学。”照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有“量”才有可计算的，但它所计的“量”是通过什么方式得来的呢？用一把尺子就可以量一块布有几尺几寸宽、几丈几尺长；用一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这些都是可以直接办到的。但若要测量行星轨道的广狭、行星的体积，或是很小的分子的体积，这些就不是依靠人力所能直接测定的，但用数学的方法都可以间接将它们计算出来。因此，孔德所下的这个定义，虽然不能将前一个定义的缺陷完全补正，但总是较进一步了。
孔德毕竟是十九世纪前半期的人物，虽然他是一位不可多得的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在广阔，如群论、位置解析、投影几何、数论以及逻辑的代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。而这些支流与量或测量实在没什么关系。即如笛沙格（Desargues）所证明的一个极具趣味的定理：“两个三角形的顶点若在集交于一点的三条直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。”
这个定理的证明，就只用到位置的关系，和量毫不相干。数学的这种进展，自然是轻轻巧巧地便将孔德所给的定义攻破了。
到了1970年，皮尔士（Peirce）就另外给数学下了一个这样的定义：
“数学是产生‘必要的’结论的科学。”
不用说，这个定义比之前的都要广泛得多，它已离开了数、量、测量等这些名词。我们知道，数学的基础是建筑在几个所谓公理上面的。从方法上说，不过由这几个公理出发，逐渐演绎出去而组成一个秩序井然的系统。所谓公式、定理，只是这演绎所得的结论。
照这般说法，皮尔士的定义可以说是完整无缺吗？
不！依照几个基本的公理，通过逻辑的法则演绎出的结论，只是“必然的”。若说是“必要”，那就很值得商榷。我们若要问怎样的结论才是必要的，这岂不是很难回答吗？
更进一步说，在目前的数学领域中，固然大部分还是采用着老方法，但像皮亚诺（Peano）、布尔（Boole）和罗素这些先生们，却又走着一条相反的途径，他们对于数学的基础的研究要掉一个方向去下寻根问底的工夫。
于是，这个新鲜的定义又免不了摇动。
关于这定义的改正，我们可以举出康伯（Kempe）的来看，他说：“数学是一种这样的科学，我们是用它来研究思想的题材的性质的。而这里所说的思想，是归依到含着相异和相同，个别和复合的一个数的概念上面。”
这个定义，实在太严肃、太具文学气息了，而且意味也有点儿含混。在康伯以后，布契（Bôcher）把它修改为：
“倘若有某一群的事件与某一群的关系，而我们所要研究的问题，又单只是这些事件是否适合于这些关系，这种研究便称为数学。”
在这个定义中，最值得注意的一点，布契提出了“关系”这一个词来解释数学，它并不用数、量这些家伙，因此很巧妙地将数学的范围扩张到“计算”以外。
假如我们以前只是照惯用的意义来解释“计算”，那么，到了现在，数学中有些部分确实和计算没有什么关系。
也正是因为这个缘故，我更喜欢用“数学”这个词来译Mathematics，而不是“算学”。虽然“数”字还是不免有些语病，但似乎比“算”字来得轻些。
倘使我们再追寻一番，我们还可以发现布契的定义也并不是“悬诸国门不能增损一字”的。不过这种工夫越来越细微，也不容易理解。而我这篇文章不过想给一般的读者一点儿数学的概念，所以不再往里面深挖了。
将这个定义来和罗素所下的比较，虽然距离较近，但总还是旨趣悬殊。那么，罗素的定义果真是开玩笑吗？
我是很愿意接受罗素的定义的，为了要将它说得明白些，也就是要将数学的定义——性质——说得明白些，我想这样说：
“数学只是一种符号的游戏。”
假如，有人觉得这样太轻佻了一点儿，严严正正的科学怎么能说它是“游戏”呢？那么，像这样说也可以：
“数学是使用符号来研究‘关系’的科学。”
对于数学这种东西，读者大都有过这样的疑问：这有什么意思呢？
这有什么用呢？本来它不过让你知道一些关系，以及从某种关系中推演出别的关系来，而关系的表述大部分又只依靠着符号，这自然不能具体地给出什么用场和意义了。
为了解释明白上面提出的定义，我想从数学中举些例子来讲，这样更方便些。
我们先看“一加二等于三”。
在这一个短短的句子里，照句子构成，总共是五个词：“一”“二”“三”“加”“等于”。这五个词，前三个是一类，后两个又是一类。什么叫“一”？什么叫“二”？什么叫“三”？这实在不容易解答。它们都是数，数是抽象的，不是吗？我们能够拿一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶给别人看，但我们拿不出“一”来，“一”是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶。一个这样，一个那样。从这些东西中我们认识它们的共相，要自己保存，又要传给别人，不得不给它起一个称呼，于是就叫它“一”。我为什么叫“薰宇”，倘若你要问我，我也回答不上来，我只能说，这只是一个符号，有了它方便你们称呼我，可以让你们在茶余酒后要和朋友们批评我、骂我时，说起来方便些，所以“薰宇”两个字是我的符号。同样地，“一”就是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶……这些东西的共相的符号。这么一说，自然“二”和“三”也一样只是符号。
至于“加”和“等于”在根源上要说它们只是符号，一样也是可以的，不过从表面上说，它们表示一种关系。所谓“一加二”是表示“一”和“二”这两个符号在这里的关系是相加；所谓“等于”是表示在它前后的两件东西在量上相等。所以归根结底“一加二等于三”只是三个符号和两个关系的联缀。
只举这么一个例子，似乎还不能够说明白。那么我们再举一例，假定你已经学过代数了，我们就可以从数的范围的逐渐扩大来说明。
在算术里我们用的只是1，2，3，4……这些数，最初跨进代数的门槛，遇到 a，b，c，x，y，z，总有些不习惯。你对于2+3=5，并不感到惊奇和怀疑；对于两个加三个等于五个，也不觉惊奇和怀疑；但对于2a+3a=5a，你却怔住了，常常觉得不安心，不知道你在想什么。其实，2a+3a=5a 和2+3=5对于你的习惯来说，后者不过更像符号而已。有了这一个使用符号的进步，许多关系来得更简单，更普遍，不是吗？若是将2a+3a=5a具体化，认为a是一只狗的符号，那么这关系所表示的便是两只狗碰到了三只狗成为五只狗；若a是一个鼻头的符号，那么，这关系所表示的便是两个鼻头添上三个鼻头总共就成了五个鼻头。
从另一个角度来看，在算术中除法常有除不尽的时候，比如2÷3。遇见这样的问题，我们便有几种方法表示：
第一种只是一个近似的表示法；第二种表示得虽正确，但用起来不方便；第三种是循环小数，关于循环小数的计算，那种苦头你肯定尝到过；第四种是分数，
是什么？你已经知道就是2除以3的意思。对了，只是“意思”，实际并没有除。这和6除以3得2的意味是不同的。刚才所说的“意思”便是“符号”。因为除法有除不尽的时候，所以我们使用“分数”这种符号。有了这种符号，我们就可以推出分数中的各种关系。
在算术里你知道5-3=2，但要碰到3-5你就没有办法了，只好说一句“不能够”。“不能够”？这是什么意思？我替你解释便是没有办法表示这个关系。但是到了代数里面，为了探究一些更普遍的关系，不得不想一些方法来突破这个困难。于是在面对3-5为什么“不能够”这个问题时，有些人异口同声地回答，因为还差2的缘故。这一回答，关系就成立了，“从3减去5差2”。在这个当儿又用一个符号“-2”来表示“差2”，于是这关系就成为3-5=-2。这一来，真是“功不在禹下”。有了负数，我们既可探讨它自身所包含的一些关系，也可以将我们已得到的一些关系更普遍化。
又如在乘法中，有时只是一些相同的数相乘，便给它一种符号，譬如a×a×a×a×a写成a 5 。这样一来，关于这一类的东西又可以发现许多关系，例如：
不但这样，这里的n和m还只是正整数，后来却扩张到负数和分数进而得出下面的符号：
这些符号的使用，是代数所给的便利，学过代数的人都已经知道了，我也不用再说了。
由整数到分数，由正整数到负数，由乘方到使用指数，我们可以看到许多符号的创立以及许多关系的产生、衍变。要将乘方还原，用的是开方，但开方常常会“碰钉子”，因此就有了无理数，如
……这不过是一些符号，这些符号经过一番探索，便和乘方所用的指数符号结成了很亲密的关系。
将这些例子总结起来，除了使用符号和发现关系以外，数学实在没有什么别的花头。倘若你已学过平面三角，那么，我相信你更容易承认这句话。所谓平面三角，不就是只靠着几个什么正弦、余弦这类的符号来表示几个比，然后去研究这些比的关系和三角形中的其他关系吗？
现在我说“数学是使用符号来研究‘关系’的科学”，你应该不至于再怀疑了吧？
在数学中，你会碰到一些实际的问题需要你计算，譬如三个十两五钱总共是多少斤。但这只是我们所得的关系的具体化，换句话说，不过是一种应用。
也许你还有一个疑问，数学中的公式和定理固然只是一些“关系”的表现形式，但像定义那类的东西又是什么呢？我的回答是这样，那只是符号的规定。“到一个定点距离相等的一个完全的曲线叫圆。”这是一个定义，但也只是对于“圆”这个符号的规定。
认真来讲，数学只是这么一回事，但我仍然喜欢说它是符号的游戏。所谓“游戏”自然不是开玩笑的意思。两个要好的朋友拿着球拍在球场上打网球，他们并没有什么争胜的要求，然而玩得兴致淋漓，不忍释手，在这过程中他们得到一种满足，这就是使他们忘却一切的原因，这叫游戏。小孩子独自拿着两块石子在地上造房子，尽管满头大汗，气喘吁吁，但仍然拼尽全身力气去做，这是游戏。至于为银盾而赛球，为锦标而练习赛跑，这便不是游戏了。还有为了排遣寂寞，约几个人打麻将，喝老酒，这也算不上游戏。就在这意味上，我说“数学是符号的游戏”。
自然，从这游戏中可以得到一些收获——发现一些可以供人使用的关系。但符号使用得越多，所得的关系越不容易具体化。等你踏到数学的领域的后部，真的，只要见到符号和关系，那些符号，那么要你把关系说个明白，就算是马马虎虎地说，你也无从下手。
好了，到这一步，罗素便说：
“数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”