1.【自然数列】 假若我们把0也作为一个数看,那么,从0起,依次加1上去,就可以得出有头无尾的一串数:
0,1,2,3,4,……10,……20,……100,……1000,……这一串数就叫作自然数列。
2.【约数和倍数】 在自然数列中,如2,3,4,6都可以除尽12,我们就说2,3,4,6是12的约数。反过来,12就叫作2,3,4,6的倍数。
一般地说,甲数能除得尽乙数,甲数就是乙数的约数,而乙数就是甲数的倍数,如11能除得尽143,11就是143的约数,而143就是11的倍数。
在这点,我们应当注意自然数列中:
(1)1是任何数的约数,因为用它除什么数都可以除尽。
(2)0是任何数的倍数,因为除0自己以外,什么数去除0就得0,并没有余数,就是除得尽。
3.【倍数的基本性质】 关于倍数,我们很容易推得下面的两个性质:
45是5的倍数,25也是5的倍数。
45+25=70和45-25=20,
我们知道70和20也是5的倍数。这就是说:
一个数的几个倍数的和或两个倍数的差,还是它的倍数。这是可以从乘法的分配定律说明的。
因为45=9×5和25=5×5,
所以45+25=9×5+5×5=(9+5)×5=14×5,
和45−25=9×5−5×5=(9−5)×5=4×5。
45是5的倍数,18不是5的倍数。
45+18=63和45-18=27,
我们知道63和27都不是5的倍数。这就是说:
一个数的倍数加上或减去一个不是它的倍数的数,结果就不是它的倍数。
因为由前一个性质,若45+18=63和45-18=27,63和27都是5的倍数,则63-45=18和45-27=18,都应当是5的倍数,但这和我们提出的条件18不是5的倍数是矛盾的。
4.【2的倍数】 用2除得尽的数叫作偶数,用2除不尽的数叫作奇数。在自然数列中,奇数同着偶数是相互交替的。1是奇数,2是偶数,3是奇数,4是偶数……由此我们把0看成偶数。
20是2个10的和,150是15个10的和。但10是2的倍数,所以20和150都是2的倍数。这就是说:
末位是0的数都是2的倍数。
34=30+4和256=250+6。
两个式子右边的第一个数都是2的倍数,而第二个数也是2的倍数,所以它们的和也是2的倍数。这就是说:
末位是偶数的数都是2的倍数。
反过来,187=187+7,第一个数是2的倍数,而第二个数却不是2的倍数,所以187便不是2的倍数。这就是说:
末位是奇数的数都不是2的倍数。
5. 【4的倍数】 100=25×4,100是4的倍数。1300=13×100,就是13个100,也就是13个4的倍数的和,所以也是4的倍数。这就是说:
末两位是0的数都是4的倍数。
3124=3100+24和2576=2500+76。
两个式子右边的第一个数都是4的倍数,第二个数24和76也是4的倍数。所以它们的和3124和2576也是4的倍数。这就是说:
末两位是4的倍数的数都是4的倍数。
相反地,末两位不是4的倍数的数也不是4的倍数。同样地,我们还可以推得:
末三位是0或8的倍数的数都是8的倍数。
相反地,末三位不是8的倍数的数都不是8的倍数。
6.【5和10的倍数】 末位是0的数都可以看成是若干个10的和。30是3个10的和,170是17个10的和。但10是5和10的倍数。这就是说:
末位是0的数都是5和10的倍数。
45=40+5和1035=1030+5。
两个式子右边的第一个数都是5的倍数,第二个数5也是5的倍数,所以它们的和45和1035都是5的倍数。这就是说:
末位是0或5的数都是5的倍数。
相反地,末位不是0或5的数都不是5的倍数。同样地,我们还可以推得:
末二位是0或25,50,75的数都是25的倍数。
末三位是0或125,250,375,500,625,750,875(125的倍数)的数都是125的倍数。
7.【3和9的倍数】 我们先注意一下:
9÷3=3,9÷9=1;
99÷3=33,99÷9=11;
999÷3=333,999÷9=111。
就是只用9这一个数字组织成的数都是3和9的倍数。现在我们再来看:
36=30+6=10×3+6=(9+1)×3+6=9×3+(3+6),
135=100+30+5=(99+1)×1+(9+1)×3+5
=(99×1+9×3)+1+3+5,
2601=2000+600+1=(999+1)×2+(99+1)×6+1
=(999×2+99×6)+(2+6+1)。
各个式子右边的第一个数都是9的倍数,第二个数也都是9的倍数,所以它们的和36,135,2601都是9的倍数。
把各个式子右边的第二个数来和原数对照一下,我们可以看出来,它们就是原数的“各位数字的和”。这就是说:
一个数的各位数字的和是9的倍数,它就是9的倍数。自然,这也可以用到3。
一个数的各位数字的和是3的倍数,它就是3的倍数。
9是3的倍数,所以9的倍数都是3的倍数,上面的36,135,2601都是3的倍数。但3的倍数不一定就是9的倍数,如3,6,12,15……所以一个数的各位数字的和若只是3的倍数而不是的倍数,它也就只是3的倍数而不是9的倍数。
8.【11的倍数】 我们先注意一下:
上面三个式子告诉我们,最后等式右边的第一个数都是11的倍数。所以原数是不是11的倍数就要看它最后等式右边的第二个数是不是11的倍数。
我们来仔仔细细地看看这些第二个数,同着原数对起来,它们都是奇数位数的数字在‘+’,偶数位数的数字在‘-’。
8−6+9=(8+9)−6=11,
−3+5−5+3=(5+3)−(3+5)=0,
2−3+4−1+9=(2+4+9)−(3+1)=11。
它们是0或11的倍数。所以原数也就是11的倍数。这就是说:
一个数的奇位数字的和同着它的偶位数字的和相减所得的差若是0或11的倍数,它就是11的倍数。
869=79×11,3553=323×11,23419=2129×11。
9.【质数和合数】 在自然数列中,如2,3,5,7,11……这些数,只有1同着它自己可以除尽它,这种数我们叫作质数。另外如4,6,8,9,10……这些数,除了1和它自己,还有别的数可以除尽它,2可以除尽4,6,8,10……,3可以除尽6,9……,这种数我们叫作合数。
照这个说法,0可以看成合数,但1既不是合数,我们也不把它看成质数。因此,自然数列中的数可分成三类:
(1)单位数,就是1,只有一个。
(2)质数,个数是无限的。下面我们再来证明。
(3)合数,个数是无限的。因为一个合数即如4,我们无论用什么数去乘它得出来的都是合数。就是质数,只要用1以外的数去乘它也就得出合数,如3×2=6,3×7=21,……
10.【判定质数的方法】 判定什么数是质数,这有两种说法:
(1)从1起到某一个数比如100,哪些数是质数?(2)任意提出一个数来,怎样判定它是不是质数?下面我们来分别加以说明。
(1)从1起到某一个数比如100,哪些数是质数?
解决这个问题,我们有一个很呆的方法,像下面所做的
把一百个数顺次列出来。从2的下一个数3起,两个两个地数,数到的数都划掉(表上画在下面)。再从3的下一个数4起,三个三个地数,数到的数都划掉(表上画在上面)。顺着下来,5没有划掉,就从5的下一个数6起,五个五个地数,数到的数都划掉(表上画在右边)。再下去没有划掉的是7,就从7的下一个数8起,七个七个地数,数到的数都划掉(表上画在左边)。
假如我们不是从1起到100为止,那么还要照推下去。现在只到100为止,这样就行了。因为7以下没有划掉的已是11。11除100不过得9。9比11小,可以划掉的数,如22,33,44……等在数2,数3的时候就划掉了。
这样做法,没有划掉的数都是质数。现在把200以内的质数写在下面供大家参考:
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37 41 43 47 53
59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131
137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199
(2)任意提出一个数来,如397和323,怎样判定它是不是质数?
解决这个问题,我们还是只有一个很呆的方法,就是把所有比它小的质数,从小到大地依次去除它。除到商数已经比除数小了还除不尽,它就是质数。因为我们是先用小的数去除,再用大的数除的;假如商数比除数小以后还除得尽,那么,商数做除数的时候早已经除尽了。
先看397。由前面说过的法则,我们知道2,3,5,11都除不尽它。
323÷17=19。
就是323=17×19不是质数。
11.【质数的个数是无限的】 我们说“有限”就是说有一个最大的数做界限。假如质数的个数是有限的,那么就是有一个最大的质数,凡是比它大的数都不是质数。我们就设这个最大的质数是p。
现在我们来研究这样一个数N,它等于从2起到p止的一切质数的积加上1,即N=2×3×5×7×……×p+1。
首先,我们知道N总大于p,所以若N就是质数,p当然不是最大的质数。
其次,我们说N就是质数。因为比它小的质数,2,3,5,7,……p,无论拿哪一个去除它都要剩1,就是总除不尽,所以N是质数,并且是大于p的。
这就是说,质数没有最大的一个。所以质数的个数是无限的。
12. 【因数和质因数】 3×5=15,6×7=42或2×3×7=42,两个以上的数相乘得出另一个数来,这些相乘的数就叫作那个得出来的数的因数。3和5是15的因数,6和7或2,3和7是42的因数。
因数是质数的叫作质因数,3和5是15的质因数,2,3和7是42的质因数。
质数便只有两个因数,1和它自己,如7=1×7。
13.【析因数】 把一个合数分成几个因数,用这些因数的连乘积来表示它,这叫作析因数。
析因数,我们总是把合数的质因数分析出来。
析一个合数的质因数的方法,除了2,3,5,11我们可以用前面所讲过的法则视察以外,只有把比它小的质数去试除它。自然,除到可以判定它是质数的时候就用不着再做下去了。
前面我们还讲过4,8,9,10,25,125这些数的倍数的视察法,当然也是可以用的,不过要把它们分成质因数2×2,2×2×2,3×3,2×5,5×5,5×5×5的连乘积。同一个因数的连乘,我们是把它连乘的个数记在它的右肩上,如2×2=2 2 ,2×2×2=2 3 ,3×3=3 2 ,5×5=5 2 ,5×5×5=5 3 。
∴ 2743=13×211。
由视察我们知道2,3,5,11都不是2743的因数。由心算,我们知道7也不是它的因数。
用13去除它得211。因为2,3,5,7,11都不是2743的因数,所以也不是211的因数。再用13去除211得16剩3。比13大的质数是17已经比16大,所以用不着再去试除,已经可以判定211是一个质数。