树叶上的几何学

白杨树的树叶，有一个特别有趣的现象，同一棵白杨树越靠下的树叶往往越大。还有一种更为明显的现象，如果一棵白杨树的根部生出了一棵小树，你去观察这棵小树的一片叶子，你会发现它要比那棵大白杨树的树叶大，尤其是比那些在强烈阳光下生长的叶子大得多。这是怎么回事呢？

这是因为白杨树的叶子在生长过程中需要吸收阳光进行光合作用。因为位置比较靠下，太阳光被其他的树叶挡住，所以为了吸收到充足的阳光，在阴影中的树叶必须增大自己的面积来补偿阳光的不足。这是生物学上的现象，这里不做研究。我们所研究的是与几何知识有关的树叶的面积问题，就是利用几何知识计算出小杨树的树叶比大杨树叶子要大多少倍。

这样的问题要如何解答呢？

首先，我们可以通过计算求出每片树叶的面积，然后算出它们的比例。测量树叶的面积时，最准确的方法是把一张透明的方格纸铺在树叶上面，假定每一个方格的面积是4平方毫米，通过这个方法可以准确地计算出树叶的面积。

这种方法虽然准确，却比较烦琐。这里可以将烦琐的计算公式简单化。具体的方法是寻找相似，通过相似计算比例，进而计算出结果。两片杨树叶是相似的，换句话说，它们的图形在几何学上是大小不同、成比例的。我们知道这样两个图形的面积比，等于它们直线尺寸平方的比。

由此我们可以得知，只要知道了两片叶子的长或者宽的比，也就是说一片叶子比另一片叶子长或者宽多少倍，就可以由它们的平方计算出两者面积的比值。

假如一大一小两片树叶分别来自前面提到的小杨树和大杨树，小杨树的叶子长10厘米，大杨树的叶子长只有4厘米，那么直线尺寸的比就是10 ：4，也就是5 ：2。由此可以计算出前者的面积相当于后者的5 ² ：2 ² ，这里取整数，因为计算出来的结果也只是近似数，并不是准确的值，由此我们可以得出小杨树叶子的面积是大杨树叶子的15倍。

为了更加直观和方便理解，这里再来举一个例子：

一棵在阴影中生长的枫树，它的叶子长为22厘米；一棵在阳光下生长的枫树，它的叶子长只有8厘米。问：前者的面积大约是后者的多少倍？

根据前面的平方比来计算，两片叶子的面积之比是：

由此可知，阴影中生长的枫树叶面积大约是另一片的8倍。

当看到这个数值时你或许会感觉到惊讶，如此两片看起来差别不大的树叶，面积竟会相差8倍之多。视觉感知和真实结果居然会有这么大的差距，实在令人难以置信。如果没有确切的公式摆在眼前，你可能会认为这样的计算结果是错误的。

再比如下面这种情况，两片形状相似的叶子，一片比另一片只长出20%，而它们的面积比竟然是1.2 ² ，约等于1.4，也就是说两片树叶的面积相差40%之多。如果这两片叶子在宽度上相差40%，那么大的一片在面积上相当于小的的1.4 ² 倍，约等于2，就是大约两倍了。

这个方法很简单，你可以去附近的树林中寻找两片相似的叶子，通过比较它们的长度或者宽度来计算它们的面积比。这里建议读者将图22和图23中各片树叶的面积比计算出来。