四个二

题目

接下来我们继续研究这一类型的题目，看看四个二的问题。

怎么写才能使四个二表示最大的数值？

解析

可能的组合有8种：

2222，222 ² ，22 ²² ，2 ²²² ，

22 ^{2 2} ，2 ^{22 2} ，2 ^{2 22} ，2 ^{2 2 2} ，

哪一个数更大呢？

我们先从上面一排看起，也就是说两层叠放的形式的数。

第一个数2222明显比其余的数都小。要对比

222 ² 和22 ²² ，

把第二个数做变形：

22 ²² =22 ^2·11 =（22 ² ） ¹¹ =484 ¹¹ 。

所以后一个数要大于222 ² ，因为指数幂484 ¹¹ 底数和指数都大于222 ² 的底数和指数。

现在对比22 ²² 和第一排第四个数2 ²²² ，把22 ²² 换成更大的数32 ²² ，并且证明即使这个更大的数依然小于2 ²²² 。

实际上，

32 ²² =（2 ⁵ ） ²² =2 ¹¹⁰

这个指数幂要小于2 ²²² 。

那么上面一排最大的数就是2 ²²² 。

现在我们还要对比下面四个数的大小：

最后一个数等于2 ¹⁶ ，马上可以排除。第一个数22 ⁴ 要小于32 ⁴ 或者说2 ²⁰ ，那么就比剩下的两个数都小。剩下需要对比的三个数都是2的指数幂。显然，指数越大的数值越大。三个指数中

222，484和2 ²⁰⁺² （=2 ^10·2 ·2 ² ≈10 ⁶ ·4）

中，最后的一个明显最大。

因而四个二所能表示的最大数值是：

2 ^{2 22} ≈1000，

我们没有查对数表也能大致知道这个数的大小，因为通过近似值

2 ¹⁰ ≈1000，

实际上，

2 ²² =2 ²⁰ ·2 ² ≈4·10 ^6, ，

2 ^{2 22} ≈2 ^{4 000 000} > 10 ^{1 200 000} ，

那么这是一个超过一百万位的数。 03RYvymwboVEMmh+HaaNMnwt6RjNVuCibclBzlmfRk33J84chJqlZ++kvW66qb8c