第一章
大数

1.你最大能数到几？

有这样一个故事，讲的是两位匈牙利贵族决定玩个游戏，说出最大数的人获胜。

“这样，”其中一位说，“你先说出你的数。”

经过几分钟的冥思苦想，另一位贵族终于说出他能想到最大的数。“3。”他说道。

现在轮到第一位思考了，但在一刻钟之后，他决定放弃，他说道：“你赢了。”当然，这两位匈牙利贵族的智力水平不算高，而这个故事本身可能也只是某种讽刺。但如果此事发生在南非原始部落霍屯督人身上，这个场景就完全有可能出现。实际上，许多非洲探险家证实，许多霍屯督部落的语言中都没有大于3的数。你可以找一个当地土著，问他有多少个儿子或曾杀过多少敌人，如果该数字大于3，那他就会回答“很多”。因此，就数数水平而言，霍屯督的勇猛战士比美国幼稚园年龄的孩子还要弱，这些孩子起码能数到10。

如今，有一种我们习以为常的想法：你想写多大的数字就能写多大，无论是用美分来表示战争支出，还是用英寸来表示恒星距离，只要在某个数字的右边放置足够多的零就可以了。你可以不停地放置零直到手累，甚至眨眼之间你就能得到一个比宇宙总原子数[以目前最大望远镜的观测范围计算。] 还要大的数，顺带提一下，这个数字是300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

或者你也可以写成这种简略形式：3×10 ⁷⁴ 。

位于10右上角的小数字74表明必须写多少个0，换句话说，3必须被10乘74次。

但这种“简明算术”系统在古代并不为人所知。实际上它是由某位不知名的印度数学家，在距今不到2000年时发明的。尽管我们通常意识不到，但这的确是一项伟大的发明！在此项发明出现前，人们对各数位上的数字，是以现今称为十进制的单位制书写的，该位上有几个单位就把特定的符号重复几次。例如数字8732古埃及人是这么写的：

而恺撒手下的书记官则会以这种形式来表示它：

MMMMMMMMDCXXXII

后一种计数方式你一定很熟悉，因为至今有时仍会用罗马数字表示一本书的卷数或章节数，或在宏伟的纪念牌上用来注明历史事件的日期。然而，由于古代所用计数最大也不过几千，因此根本用不着更高位的单位符号，所以一个古罗马人无论多么精通算数，当你要求他写“一百万”时他都会非常为难。如若你坚持，他只好花几个小时连续写一千个M（图1）。

对古人而言，诸如天上的星星、海里的鱼、海滩上的沙粒，这样巨大的数字都是“数不清的”；就像“5”对霍屯督人而言是数不清的，只好简单地表示为“很多”！

公元前 3 世纪，著名科学家阿基米德开动他那非凡的大脑，提出过写出真正大数字的方法，他在专著《沙粒计算》（或《诗篇》）中写道：

有人认为沙粒的数量是数不清的。我说的是不仅在叙拉古和西西里其他地区的沙粒，还包括地球上所有地区的沙粒，无论是聚居区还是无人区。再者，有些人并不认为沙粒数量是数不清的，只是人们说不出一个足够大数字来描述地球沙粒总量。显然持这种观点的人，如果面对一个大小与地球一般大的沙堆，而且所有的海洋和空洞都被沙子填满，直到最高的山脉，他们将更加确信没有任何数字可以表达如此堆积起来的沙粒的数目。但我将尝试证明，我说出的数字，不仅可大过充满地球体积的沙粒数量，甚至超过与宇宙同尺寸的沙堆的沙粒数量。

阿基米德在其著名著作中提出记录大数的方法，与现代科学中科学计数法类似。

他从古希腊算术中存在的最大的数字开始：“万”，或十千。

他引入了一个新的数，“万万”（一百兆），他称为“octade”（亿）或者“第二级单位”。

“octade octades”（或亿亿）称为“第三级单位”，“octade, octade, octades”（亿亿亿）为“第四级单位”，以此类推。

用数页的篇幅介绍大数字的书写似乎过于啰唆，但在阿基米德时代，找到写大数字的方法是一个伟大的发现，这是数学科学进步的重要一步。

要计算填满整个宇宙所需要的沙粒数量，阿基米德得知道宇宙的大小。在他所处的时代，人们认为宇宙被镶嵌着群星的水晶球包围，与他同时代的著名天文学家，萨摩斯的阿里斯塔克斯，推算从地面到宇宙水晶球外围的距离约为10,000,000,000 希腊里（Stadia），或者说大约1,000,000,000 英里。[stadia是古希腊的长度单位，1stadia为606英尺6英寸，或188米。]

阿基米德比较完宇宙球和沙粒的尺寸后做了一系列令高中生做噩梦的计算，最终得出如下结论：

“显然，填满阿里斯塔丘斯推算的宇宙球空间所需沙粒不超过一千万个第八级单位。”[用我们的符号表示，这个数字是： 或简写为10 ⁶³ （即1后面有63个0）。]

需要注意的是，阿基米德估算的宇宙半径比现代科学家观测的小得多。10亿英里的距离还不够我们走到土星轨道。稍后我们会了解到目前望远镜所能观测到的宇宙距离现在已达5,000,000,000,000,000,000,000 英里，要填满可观测宇宙，所需要的沙粒数量将超过10100（1 后面100个0）粒。

这显然比本章开头提到的宇宙总原子数3×10 ⁷⁴ 大得多，但是别忘了，宇宙并非充满原子，实际上，平均每立方米空间只有大约1个原子。

但是完全没有必要这么麻烦，用将整个宇宙填满沙粒的方法来获取真正的大数。实际上大数经常出现在那些乍看上去非常简单的问题中，很多情况下你可能以为用到的最大数也就几千而已。

印度的舍罕王（Shirham）是大数的受害者之一。相传，宰相大维齐尔西萨·本·达希尔（Sissa Ben Dahir）发明了象棋并将其进献给国王，舍罕王打算奖赏他。这位聪明宰相的要求似乎不高，“陛下，”他跪在国王面前说，“请在棋盘的第一格放一粒麦子，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒，以此类推，我的王，后一格比前一格加倍，您就赏我摆满64格棋盘的麦子吧！”

“我忠实的臣子，你要的并不多！”国王感叹道，同时暗自窃喜，给神奇游戏的发明者的奖励花费不太多。“你当然会如愿以偿。”然后他命人将一袋小麦搬进大殿。

计数开始了，第一格放一粒麦子，第二格放二粒，第三格四粒，第四格八粒，一直这样放下去，但是还没等放到第二十格，一袋麦子已经用完了。

更多的麦子被搬到国王面前，但每往前一格，所需的麦粒数量迅速增长，大家很快明白，即便用完印度所有的麦子，国王也无法兑现他许给西萨·本·达希尔的奖励，填满64个格子需要18,446,744,073,709,551,615粒麦子！ ^[1]

这个数不像宇宙原子总数那么大，但也是非常可观的。假定1蒲式耳小麦大约是 5,000,000 颗，满足西萨·本的要求需要大约4万亿蒲式耳小麦。世界小麦产量大约每年 2,000,000,000 蒲式耳，宰相要的麦子总量需要全世界生产2000年！

于是，舍罕王发现他欠了宰相好大一笔债，要么忍耐西萨·本·达希尔不断地要债，要么干脆砍掉他的脑袋。我猜国王应该选择了后者。

另一个大数唱主角的故事也来自印度，这是个关于“世界末日”的问题。热爱数学的历史学家鲍尔（W. W. R. Ball）讲述了一个这样的故事：

在标志着世界中心的贝拿勒雷斯大神庙的圆屋顶之下，放置着一块黄铜板，板上固定了三根钻石针，每根针高一肘（大约20英寸），如蜜蜂身体般粗细。创世之时，上帝在其中一根针上放置了64个纯金圆盘，最大的圆盘位于黄铜板上，其他圆盘逐渐缩小，直至最顶上的一个。这就是梵天塔。根据梵天固定不变的法则，值班的僧侣日夜不停地将圆盘从一根针转移到另一根针，按规则，僧侣们一次只能移动一个圆盘，并且针上不允许出现小圆盘在大圆盘下面的情况。当64个圆盘都因此从创世时神所放置的针上转移到另一根针上时，塔、庙宇和婆罗门都将碎裂成尘土，随着一声霹雳，整个世界都将消失。

图3 是根据故事情节作的画，不过它显示的圆盘数量较少。你可以使用硬纸板代替黄金圆盘，用长铁钉代替印度传说中的钻石针，自行制作这个益智玩具。不难找到移动圆盘的规律：你会发现转移每个圆盘的所需移动量是上一个圆盘移动量的两倍。第一个圆盘仅需移动一次，但随后的每个圆盘所需的移动次数都会以几何级数增长，因此，到达第64个圆盘时，移动次数便与西萨·本·达希尔要求的小麦粒数一样多！ ^[2]

将梵天塔中的所有64个圆盘从一根针转移到另一根针需要多长时间？假设僧侣昼夜不息，节假日不休，每秒移动一次。由于一年包含大约31,558,000 秒，完成这项工作将需要5,800亿年多一点。

将纯粹传说的宇宙持续时间预言与现代科学的预测相比较，结果非常有趣。根据当前的宇宙演化理论，恒星、太阳和包括我们地球在内的行星是在约30亿年前由无形物质形成的。我们还知道，给恒星特别是我们的太阳提供能量的“原子燃料”可以再持续100亿或150亿年。（请参阅《创世日》一章。）因此，我们宇宙的总生命周期肯定短于200亿年，而不像从印度传说中推算的5800亿年那么长！但是，毕竟，这仅仅是一个传说！

文学作品中提到的最大数字可能与著名的“印刷行问题”有关。假设我们建造了一台印刷机，它能够一行接一行地连续印刷，并且自动为每一行选择字母和印刷符号的组合。这样的机器将由许多单独的圆盘组成，这些圆盘的整个边缘都带有字母和符号，这些圆盘彼此之间的啮合方式与汽车的里程表中的编号盘相同，因此每个圆盘转一圈将使下一个向前移动一个位置，每次移动后，来自卷筒的纸张将自动被压到滚筒上，这样的自动印刷机制造起来不会有太大的困难，其外观将如图4所示的那样。

现在让我们开动机器，检查印出来的那些无穷无尽的行。大多数行根本没有意义。他们看起来像这样

“aaaaaaaaaaa……”

或者：

“boobooboobooboo……”

再或者：

“zawkporpkossscilm……”

但是由于机器会打印所有可能的字母和符号组合，所以我们在无意义的垃圾中发现了各种有意义的句子。当然，有很多无意义的句子，例如

“horse has six legs and……”（马有六条腿，并且……）或者：

“I like apples cooked in terpentin……”（我喜欢松节油煎苹果……）

莎士比亚（William Shakespare）写的每个句子都会被找到，甚至包括他丢入废纸篓的草稿！

实际上，这样的自动印刷机可以打印出人们学会书写后写下的一切：所有的散文和诗歌，报纸上所有的社论和广告，每一篇烦琐的科学论文，每封情书，每条给送牛奶人的留言……

此外，该机器还可以打印出未来数个世纪将要打印的所有内容。从来自滚筒的纸张上，我们可以找到30世纪的诗歌，未来的科学发现，在美国第500届国会上的演讲，以及2344年的星际交通事故记录。一篇又一篇人类尚未创作出来的短篇小说和长篇小说。拥有这台机器的出版商们可以将其安装在地下室里，只需从大量垃圾中选择好的作品进行编辑即可——反正他们现在差不多也是这么做。

为什么没人这么做？

好吧，让我们算一下机器要打印的行数，以展示字母和其他印刷符号的所有可能组合。

英文字母表中有26个字母，10个数字（0、1、2 … 9）和14个常用符号（空格、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、方括号、圆括号、大括号），总共50个符号。我们还假设该机器有65个轮子，对应于平均每行65个位置。印刷行可以以任意符号开头，因此有50种可能。对于这50种可能中的每一种，行中的第二个位置都有50种可能；也就是说总共有50×50=2500种可能性。对于前两个字母的每个给定组合，我们可以在第三位的50个可能的符号之间进行选择，依此类推。整行可能的排列总数可以表示为：

或者：50 ⁶⁵

这等于：10 ¹¹⁰

为了感受到这个数字的到底有多大，假设宇宙中的每个原子都是一台单独的印刷机，因此我们有 3×10 ⁷⁴ 台同时工作。进一步假设，自宇宙诞生以来，所有这些机器一直在工作，时至今日它们已经运转了30亿年，或10 ¹⁷ 秒。如果这些印刷机以原子振动的频率打印，即每秒10 ¹⁵ 行。到现在为止，它们已经打印了

3×10 ⁷⁴ ×10 ¹⁷ ×10 ¹⁵ =3×10 ¹⁰⁶

行，仅为所需总数的三千分之一。

没错！从所有自动打印的材料中挑出点什么确实需要非常非常多的时间！

2. 怎样计算无穷大

在上一节中，我们讨论了数字，其中许多是相当大的。但是，尽管这些数字大到几乎令人难以置信（像西萨·本·达希尔所要求的小麦粒数之类的），但它们仍然是有限的，并且如果有足够的时间，人们可以将每一位数都写出来。

但是一些真正“无穷大”的数字，无论我们花多长时间，都不可能写完。因此“，所有数字的个数”显然是无穷大的，同样“一条线上所有几何点的个数”也是如此。关于这些数字，除了说它们是无穷大的之外，还有什么方法来描述这些数字呢？或者可以比较两个不同的无穷大，看看哪个“更大”？

“所有数字的个数和一条线上所有点的个数哪个更大？”诸如此类的问题，乍看之下似乎很荒诞，著名数学家康托尔（Georg Cantor）首先研究了这个问题，他称得上是“无穷大数算术”的奠基人。

如果我们要讨论无穷大的大小，我们将面临一个问题：比较无法说出、也无法写下的数字，这或多或少类似于原始部落霍屯督人查看自己的宝箱，想知道自己的财产中玻璃珠或铜币哪个更多。但是，您应该还记得，原始的霍屯督人最多只能数到 3。因为无法计数，他是否应该放弃比较珠子和硬币数量的所有尝试呢？完全不必。如果他够聪明，把珠子和硬币逐一对比就能得到答案。他会把一枚硬币和一个珠子放在一起，另一枚硬币和另一个珠子放在一起，依此类推……如果剩下硬币但珠子用光了，他就知道自己的硬币比珠子多。如果硬币用光了剩下一些珠子，他就知道自己的珠子比硬币多，如果都用光了，就是硬币与珠子数量一样多。

与康托尔比较两个无穷大的方法完全相同。如果我们能将两个无穷大集合中的对象配对，使一个无穷大集合的每个对象与另一个无穷大集合的每个对象配对，并且任何一个集合都没有剩下对象，则两个无穷大相等。但是，如果其中一个集合中留下了一些未配对的对象，那么我们说这个无穷大集合中的对象比另一个无穷大集合中的对象更多或者说更强。

这显然是用来比较两个无穷大数最合理、事实上也是唯一可行的法则。但是当我们开始实际应用的时候，可能还是会大吃一惊。例如，所有偶数的无穷数列和所有奇数的无穷数列都是无穷大的。让我们先来比较这两个无穷数。当然，你可以直观地感觉到偶数和奇数一样多，这与上述规则完全一致，因为些数字可以建立一一对应关系：

该表中每个偶数与每个奇数相对应，反之亦然；因此，偶数的无穷数列等于奇数的无穷数列。看起来确实很简单自然！

但是，且等一下！所有整数，包括奇数和偶数的数量和仅仅所有偶数的数量相比，你认为哪一个更大呢？你当然会认为所有整数的数量更大，因为它不仅仅包含了所有偶数的数量，还包含了所有奇数的数量。但这只是你个人的印象而已。你只有运用上述法则将两个无穷数列进行逐一比较，方可得到准确答案。当你用了该法则，你就会惊讶地发现你的判断是错的。实际上，所有的整数与所有的偶数也可以建立一一对应的关系，正如下表所示：

根据我们的无穷大比较法则，我们必须承认所有偶数的数量与所有整数的数量是相等的。当然，这听起来很矛盾，因为偶数代表所有整数的一部分，但是，别忘了我们这里所处理的是无穷大数，所以必须准备碰到不同的特性。

实际上，在无穷大的世界中，部分可能等于整体！证明这一点最好的例子便是关于德国著名数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）的一个故事。他们说，在他关于无穷大的演讲中，他将无穷数的这种自相矛盾的性质用以下词句表示：

我们假设有一个旅馆，其房间数量是有限的，而且所有客房都已住满。这时新来了一个客人要求入住。店主说：“对不起，我们已经客满了。”现在，让我们想象一个有无穷多个房间的旅馆，所有房间都已住人。一个新客人来到这家酒店，并要求入住。

“当然没问题！”业主喊道，他把以前住在1号房间的房客搬到2号房间，2号房间的搬到了3号房间，3号房间的搬到了4号房间，依此类推。新房客住进了经过上面一番移动而腾空的1号房间。

“我们再想象一个有无穷多个房间的旅馆，且都已住满，此时来了无数新客人要求入住。

‘当然可以，先生们，’店主回答，‘稍等一下’。

“他把1号的房客搬到2号，2号的搬到了4号，3号的搬到了6号，等等，等等。”

“现在奇数号的房间都腾出来了，可以轻松安置无穷多的新房客。”

然而，由于希尔伯特讲这个故事时正值战争时期，即便是在华盛顿，他所描述的情形也很难被人理解。但这个例子显然说到了点子上：无穷大数的特性与我们在普通算术中所遇到的大不一样。

按照康托尔比较两个无穷数的法则，我们现在能证明，所有的像 或 这样的所有分数的数量与所有整数的数量是相等的。事实上，我们可以将所有的普通分数按以下规则排成一列：先写下所有分子与分母之和为2的分数，这样的分数只有一个，即 ；然后写下两者之和为3的分数： 和 ；接着写出其和为4的分数： 以此类推，我们会得到一个无穷的分数序列，其中包含了所有能想得到的分数（图5）。现在，在这个分数序列上面写下整数序列，这样你就得到了无穷分数序列与无穷整数序列之间的一一对应关系，可见它们的数量是相等的！

你可能会说“是啊，这一切都很妙，不过，这是否干脆意味着，所有的无穷大数都是相等的呢？如果真是这样，比较它们到底有什么用呢？”

不，事实不是这样的，我们可以轻松地找到比所有整数或所有分数构成的无穷大数还大的无穷数。

实际上，本章前面提到关于一条线段上点的数量与所有整数数量相比的问题，经研究我们会发现这两个无穷大是不相同的。线段上点的数量要比整数或分数数量多得多。为了证明这一命题，让我们尝试建立直线上的点（例如 1 英寸）和整数序列之间的一一对应关系。

线段上的每个点都可以描述为它与某一端点间的距离，并且该距离可以用无穷小数的形式表示，例如0.7350624780056…或0.38250375632… 现在，我们需要比较所有整数数目与所有可能存在的无穷小数的数量。那么上面给出的无穷小数与像 这样的普通分数之间有什么区别呢？

你肯定记得算术课讲过，任意普通分数都可以转换为无限循环小数。因此 =0 .66666…=0 .（6）， =0.42857 1∣428571∣428571∣4…=0.( 428571)上面我们证明了分数的数量与整数的数量相同；因此，无限循环小数的数量也必与整数的总数量相等。但是，一条直线上的点不一定都能用无限循环小数表示，事实上，在大多数情况下出现的是无限不循环小数，其中的数字根本没有任何周期性。这就说明，在这种情况下两个数列不可能一一对应。

假设有人声称能做出这样的排列，它们看起来像这样：

N

1 0.38602563078……

2 0.57350762050……

3 0.99356753207……

4 0.25763200456……

5 0.00005320562……

6 0.99035638567……

7 0.55522730567……

8 0.05277365642……

•…………

•…………

当然，由于实际上不可能写出无穷多个完整的无限小数，因此该表的作者应该遵循了某种通用规则（类似于我们排列普通分数的规则），这才保证了你能想到的每个小数早晚会出现在表格中。

哦，不难证明这种说法是站不住脚的，因为我们总是可以写出一个无穷小数，而该小数不在该无穷表中。这是怎样做到的呢？很简单，只要分数的第一位与表N1中的不同，第二位与表中N2中的不同，依此类推。最后你写下的数字大概是这样的：

而且无论怎么往下找，此数字都不包含在表格中。实际上，如果表格的作者告诉你，你写的该分数位于表格中的137行（或其他任何一行），你可以立即回答：“不，它们不是同一个分数，因为你的分数小数点后第137位与我想到的分数小数点后第137位是不同的。”

因此，一条线段上的点与整数之间无法建立一一对应关系，这意味着 直线上的点构成的无穷大数要大于或强于所有整数或分数所构成的无穷大数。

我们一直在讨论长度为1英寸的线段上的点，但是现在很容易证明，根据我们的“无穷算术”的规则，任何长度的线段都是如此。实际上，一英寸、一英尺或一米长的线段上都有相同数量的点。为了证明这一点，请参见图6，该图比较了不同长度的两条线段AB和AC上的点数。为了在这两条线段的点之间建立一一对应关系，我们在线段AB上的每个点上画一条平行于BC的线，并将交点配对，例如D和D ¹ ，E和E ¹ ，F和F ¹ ，AB上的每个点在AC上都有一个对应点，反之亦然；因此，根据我们的规则，这两个点的无穷数相等。

通过对无穷数的分析，我们得到了一个更加惊人的结论：平面上所有点的数量等于直线上所有点的数量。为了证明这一点，让我们考虑一英寸长的线段AB上的点，以及正方形CDEF内的点（图7）。

假设数字 0.75120386……代表线段上的某一点，我们可以把它的奇数位和偶数位的数字先分挑出来再分别合并到一起，我们得到两个数字：

0.7108……

和0.5236……

在正方形中测量这些数字在水平和垂直方向上给出的距离，并将得到的对应点称为原线段上原始点的“对应点”。相反，如果我们在正方形中有一个点，其位置由数字来描述是0.4835……和 0.9907……，我们通过合并这两个数字来获得线上相应“对应点”的位置：0.49893057……

显然，两组点在此过程中建立了一对一的关系。线上的每个点都在正方形中有其对应点，正方形中的每个点都在线段上有其对应点，并且不会遗漏任何一个点。因此，根据康托尔准则，正方形内所有点的数量等于线段上所有点的数量。

用类似的方法，很容易证明立方体内所有点的数量与正方形或线段上的点的数量相同。为此，我们只需要将原始的小数分成三部分 ^[3] ，再用获得的三个新小数来定义“对应点”在立方体中的位置。并且，就像两条不同长度的线段一样，正方形或立方体内部的点数均相同，与其大小无关。

虽然，几何点的数量大于整数和分数的数量，但它还不是数学家所知的最大数。实际上，我们已经发现，曲线（包括最不寻常形状的曲线）的种类比几何点的数量更大，因此必须用无穷数列的第三级来描述。

“无穷数学”的创立者格奥尔格·康托尔提出，无穷数可用希伯来字母א（aleph）来表示，右下角的小数字表示无穷数的等级。数字序列（包括无穷数！）表示如下：

我们说“一条线上有N ₁ 个点或有N ₂ 条不同的曲线”，就像我们说“世界上有7大洲”或“一副扑克牌有52张”一样。（见图8）

总结一下我们对无穷数的讨论，我们指出无穷数的增长速度极快，很快超越了任何我们能想到的集合。我们知道 代表所有整数的数量， 代表所有几何点的数量， 代表所有曲线的种类，但是到目前为止，还没有人能够构思出任何可用 描述的无限集合。似乎前三个无穷数足以应对我们能想到的任何东西，我们会发现目前情况与前面提到的原始霍屯督人正好相反，后者有许多儿子，但最多只能数到三！

[1] 聪明宰相所要求的麦子粒数可以表示为：1+21+22+23+24+… +262+263。在数学上，这类每一个数都是前一个数的固定倍数的数列叫作等比数列（在我们这个例子里，这个倍数为2）。可以证明，这种等比数列的所有各项之和，等于固定倍数（在本例中为2）的项数次幂（在本例中为64）减去第一项（此例中为1）所得到的差除以上述固定倍数减1。可以这样表示： 答案即：18,446,744,073,709,551,615。

[2] 如果只有7个圆盘，则需要移动的次数为：1+2 ¹ +2 ² +2 ³ +……，即2 ⁷ -1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。

如果你移动圆盘的速度够快，不出任何错误，完成任务大约需要花费你一个小时。对于64个圆盘，所需的移动总次数为：

2 ⁶⁴ -1=18,446,744,073,709,551,615

这与西萨·本·达希尔要求的小麦粒数相同。

[3] 例如，我们可把数字 0.735106822548312……分成下列三个新小数：

0.71853……

0.30241……

0.56282……