2.6 基于高斯伪谱法的轨迹优化方法

2.5节介绍了基于性能数据库的最优下降剖面的构建方法，该方法虽然原理简单，但是计算量大，并且依赖于前期的性能数据库的计算结果。同时构建的下降剖面速度大多保持不变，该方法所构建的剖面只是在给定控制模式下的最优剖面。若要对下降剖面进一步优化，寻找给定指标下的精确的速度剖面，则该问题可以被看作一个最优控制问题，可采用高斯伪谱法对其求解。基于高斯伪谱法的四维连续下降运行（4D-CDO）航迹规划模块如图2-12所示。

四维连续下降运行航迹规划系统可以分成五个部分，其中，优化约束模块主要包括空中交通管制约束、飞机性能约束和空域约束等。例如，空管人员提供所需到达时间，飞机性能约束显示飞机下降性能和限制，空域约束主要包括高度窗口的计算。模型库用来描述高斯伪谱法规划问题的研究对象，主要包括升力及阻力计算模型、发动机推力计算模型及环境模型等，并在此基础上建立飞机纵向运动学和动力学微分方程。高斯伪谱法规划模块根据约束信息和模型信息，用微分方程描述连续最优控制问题，设计基于四维连续下降运行航迹规划的性能指标，将最优控制问题转化为离散的非线性规划问题。航迹生成模块采用直接法计算该非线性规划问题，获得在相应约束条件和性能指标下的控制量序列与状态变量序列，将状态点依次平滑连接，即可得到四维连续下降运行的垂直航迹，而对水平航迹，需要根据所需到达时间区间进行调整，两者共同组成四维连续下降运行航迹。最后，需要对规划结果进行评估分析，对不合理的地方进行局部修改或调整甚至重新规划计算。

2.6.1 问题描述

一般性的非线性最优控制问题可描述为系统的运动过程，该过程是指系统从一个状态转移到另一个状态。为了确定系统的运动轨迹，首先要确定系统初始状态 x （ t ₀ ）和终端状态 x （ t _f ），即轨迹优化问题的边界条件。

对于最优控制问题，顾名思义，我们的最终目的是得到一个使性能函数最优的控制量 u （ t ），而控制量的各个分量往往具有不同物理含义。在轨迹优化问题控制过程中，控制量受被控对象机械机构的限制，这种限制范围就构成了路径约束。

下面是一般非线性系统的数学模型描述。

状态方程：

式中， x ∈ R ⁿ , u ∈ R ^m , t ∈[ t ₀ , t _f ]。

边界条件：

路径约束：

上述非线性系统在面对不同的最优控制问题时，有不同的性能指标。即使是同一问题，其性能指标也可能存在差异。尽管不能为各种各样的最优控制问题归纳出一个统一的性能指标表达式，但是在不失一般性的情况下，对连续系统的性能指标函数可以用Bolza型性能指标描述。

博尔查（Bolza）型性能指标也称为综合型性能指标，它分为迈尔（Mayer）型（终端型）性能指标和拉格朗日型（积分型）性能指标，其函数形式描述为

上述Bolza型性能指标连同非线性系统的状态方程、边界条件和路径约束一起，构成了一个具有一般性意义的Bolza型最优控制问题。

2.6.2 高斯伪谱法的基本原理

高斯伪谱法或正交配点法是一种直接法，对控制量和状态变量同时进行离散化。高斯伪谱法的离散点分布在区间[-1,1]上，其中正交分配点就是正交多项式的根，或者可以看作正交多项式和其微分的线性组合。

高斯伪谱法存在两个关键的问题：离散点的选取和分配点的选取。离散点的作用是将状态变量和控制量离散化，使它们得以应用在非线性规划中。分配点则是用来分配微分方程，以确保满足系统特性。这两种点的选取方式会影响高斯伪谱法最终的精度。

连续系统Bolza型最优控制问题的时间域定义在区间[ t ₀ , t _f ]上，但高斯伪谱法的时间域定义在区间[-1,1]上。因此，需要考虑时域转换关系，即 ， τ ∈[-1,1]，利用此映射关系将 t ∈[ t ₀ , t _f ]映射到 τ ∈[-1,1]。这样就得到了适用于高斯伪谱法求解的Bolza型最优控制问题，称为Bolza问题。

此最优控制问题的数学含义为确定状态变量 x （ τ ）∈ R ⁿ 、控制量 u （ τ ）∈ R ^m 、初始时刻 t ₀ 以及终端时刻 t _f ，在满足约束条件下使性能指标函数值最小。

性能指标函数：

约束条件：

式中， τ ₀ =-1， τ _f =1， τ ∈[-1,1]。

高斯伪谱法采用以拉格朗日插值基函数组成的全局多项式逼近变量。多项式被定义在区间 τ ∈[-1,1]中的 N 个节点 τ ₁ ,…, τ _N 上。在高斯伪谱法中，状态变量、控制量、协态变量可以由以下多项式逼近：

其中， L _i （ τ ）表示所选节点所对应的拉格朗日多项式的组合， i =1,…, N ； Y 表示需要离散化求解的各个变量。这表示在 N 个节点 τ _i 上，所构造的近似多项式的值与函数真实值相等，即 y （ τ _j ）= Y （ τ _j ）, j =1,…, N ，则 L _i （ τ ）可以表示为

上述 N 个节点选取的准则是，使正交逼近整体函数时误差最小的离散点组合。在高斯伪谱法中进行正交逼近的一般形式可以表示为

式中， τ ₁ ,…, τ _N 表示在区间 τ ∈[-1,1]中的正交节点， w _i 表示对应节点的正交权重， i =1,…, N 。对于任一系列正交节点 τ ₁ ,…, τ _N ，存在一个阶数至多为 N -1阶的正交多项式与之对应。而且，节点的不同组合影响正交分配的精度。

高斯伪谱法一般将高斯正交节点作为函数积分、微分和插值的离散节点。通过一个简单的线性变换，可以很容易将实际问题中的时间区间[ t ₀ , t _f ]映射到正交节点所在的区间。高斯伪谱法的分配点称为勒让德-高斯配点，如果用 L _N （ τ ）表示 N 阶勒让德多项式，那么 L _N （ τ ）的所有零点就是勒让德-高斯配点。

高斯伪谱法所采用的正交节点实际上是在区间[-1,1]内的 n 阶雅可比多项式 内积满足如下正交条件下时的根。

注：高斯伪谱法中所用的勒让德多项式是雅可比多项式在参数 α = β =0时的一种特殊情况。如果用 表示 n 阶雅可比多项式 的 n 个根，即方程 =0（ i =0,1, … , n -1）的零点，那么，可以定义零点和积分权重，以近似下面的积分形式，并且可以给出在上述积分节点的微分矩阵数学表达式：

下面是高斯伪谱法的积分节点、积分权重及无权重微分矩阵的数学表达式：

用高斯节点可以有效抑制在用等距节点（相邻节点之间的距离相等）进行函数拟合时的龙格现象（拟合函数在边界点发生激烈波动的现象）。例如，在分别用20个高斯节点和20个等距节点对函数 y =1/（1+25 x ² ）进行拟合，拟合效果如图2-13所示。

高斯伪谱法中状态变量的离散化原理可以描述如下：对 N -1个离散点上的状态值与相对应的拉格朗日插值多项式之积的求和，表示为

式中， τ _i （ i =0,…, N -2）表示初始值点加上 N -2个勒让德-高斯配点。而终端值点虽然属于非线性规划（Non-Linear Programming，NLP）问题中的离散化问题，但是在状态变量近似时却用不到它。

高斯伪谱法所使用的配点个数 K 与节点个数 N 不相等，即 N 个离散节点包括 N -2个内部勒让德-高斯配点加上初始值点 τ ₀ ≡-1和终端值点 τ _f ≡1， K = N -2。在分配点上的正交分配方程为

此处， τ _k 表示勒让德-高斯配点。注意，上式在边界值上没有进行离散化。定义离线微分方程 D ∈ R ^{K × N -1} ， ，其数学表达式为

此处， τ _k （ k =1,…, K ）表示勒让德-高斯配点， τ _i （ i =0,…, K ）表示勒让德-高斯配点加上初始值点。对控制量的近似，只需要在 N -2个勒让德-高斯配点上进行即可，全局逼近多项式是由 N -2个拉格朗日插值基函数 组成的多项式，即

此处， τ _i （ i =1,…, N -2）表示勒让德-高斯配点。在上述正交分配方程中，终端状态 X （ τ _f ）不受方程约束。因此，必须增加一个约束条件以保证终端状态满足状态方程。为此，可以用一个正交多项式逼近在整个时间间隔上的状态积分来实现，即

式中， w _k 为高斯正交权重； τ _k 为勒让德-高斯配点。

离散化代价函数为

边界条件：

这样就将一个连续迈尔（Mayer）问题转化为一个非线性规划问题，其数学表达式整合为

该非线性规划问题的数值解就是连续迈尔问题的近似最优解。

2.6.3 四维连续下降运行航迹规划所需模型

民航客机在进入终端区域后，接收到来自空管人员给定的时间窗口，机组人员按照给定的时间窗口进行连续下降进近飞行。因此，对民航客机下降航段的航迹优化必须在给定的时间窗口内进行。一方面，需要尽可能将时间成本降到最低，以提高机场的容量；另一方面，需要将燃油消耗量降到最少，以节约飞行成本。这两方面因素往往存在矛盾，需要综合考虑。

1.飞机模型的建立

通常情况下，用微分方程描述飞机运动状态的变化情况是很方便的。因此，飞机六自由度模型也被广泛应用，它可以方便地描述飞机在空间的位置和姿态信息，但是在航迹优化问题中，我们更加关注飞机在空间的位置信息，而不需要关心飞机的姿态等细节。在建模过程中多余的状态会给航迹优化算法带来不必要的计算负担。因此，可忽略飞机姿态等信息，而将飞机作为质点模型来看待。另外，飞机在下降过程中往往是按照规定的水平航迹飞行的，因此，同样可以忽略飞机的水平航迹，而只关心飞机的垂直航迹。

在上述模型简化条件和假设条件下，建立如下的质点状态方程，并把它作为航迹优化问题的研究对象：

式中， x 为飞机飞行的水平距离； h 为飞行高度； V 为飞机飞行的真空速； γ 为航迹倾斜角； T 为飞机发动机推力； α 为飞机飞行迎角； D 为阻力； L 为升力； C _f 为燃油消耗率； x , h , V 和 α 为状态变量； T 为控制量。

2.环境模型

1）大气温度模型

一般情况下民航客机在对流层顶层之下飞行，在该区域内，大气温度随高度的变化情况可以用下式来描述：

式中， T _t 为当前高度下的大气温度； T _ISA 为平均海平面处的大气温度，其值为 T _ISA =288.15K。

2）大气密度模型

在飞行空域内的大气密度与温度的变化关系为

式中， ρ _ISA =1.225kg/m ³ ，平均海平面处的大气密度； R =287.04m ² /ks ² ，气体常数值； g =9.80665m/s ² ，重力加速度； K _T =-0.0065 ^° K/m，国际标准大气温度梯度。

3）声速模型

在飞行空域内，声速与温度之间的变化关系为

而飞机的马赫数是真空速与声速之比，即Ma= V / a 。

3.发动机推力及燃油消耗量计算模型

1）发动机推力计算模型

发动机推力计算模型的影响因素较多，在简化计算过程但又不失去合理性的前提下，考虑飞机发动机推力的大小与飞行马赫数、温度、高度以及飞行阶段之间的关系。下面以涡轮风扇发动机为对象，建立发动机推力计算简化模型。涡轮风扇发动机的基本结构及其产生推力的原理如图2-14所示。

从图2-14可以看出涡轮风扇发动机的部件关系及产生推力的原理：空气通过进气道进入风扇，初步增大空气压力。然后，空气经过分离器分别进入内涵道和外涵道，进入外涵道的空气直接通过外涵喷管喷出，产生外涵道推力。而进入内涵道的空气通过低压压气机和高压压气机两级增压，燃油在燃烧室中与高压空气混合并燃烧，产生高温高压气体。高温高压气体分别经过高压涡轮和低压涡轮，对高/低压涡轮做功，带动高/低压压气机内的转子转动，然后从内涵道的尾喷管喷出，产生内涵道推力。

发动机推力的产生涉及复杂的热力学问题，这不利于高斯伪谱法的数值计算。因此，在建立发动机推力计算模型过程中，只须考虑关键因素对推力的影响，如温度、马赫数、高度、大气压强及飞行阶段。由于本书研究的是大型客机连续下降运行轨迹的规划，因此只考虑下降阶段的简化发动机推力计算模型。

发动机的推力按照下式计算：

式中， δ _T 为油门开度； C _DE 为下降阶段的最大可用推力系数； T _max 为在某一确定飞行状态下的最大推力，它是马赫数、大气温度及大气压强的函数，其表达式为

式中， P 为当前大气压； P _ISA 为标准大气压； T _SL 为在海平面标准状态下零马赫数时的最大推力； κ =1.4为比热比； φ = T _t / T _ISA 为当前大气温度与标准大气温度之比。

而 C _DE 的值与飞机的飞行高度及飞机的起飞推力系数有关，其计算公式可表示为

其中， C _CL 表示飞机的起飞推力系数， ，Δ T _eff =（ T _t -T _ISA ）-6.75。

2）燃油消耗量计算模型

飞机的质量是飞机模型中的一个状态变量，飞机质量的变化主要源于飞机在下降过程中的燃油消耗量变化。其中关键参数为燃油消耗率 C _f ，它表示在单位时间内产生单位推力所需要的燃油消耗量，即

飞机单位时间内的燃油消耗量与飞机的飞行速度 V 、飞行高度 h 和油门开度有关，因此可根据国产某型飞机的燃油消耗实验数据，插值计算出不同飞行速度、飞行高度和油门开度下单位时间内的燃油消耗量。假设单位时间内的燃油消耗量 f = C _f · T ，单位为kg/h，则不同油门开度下燃油消耗量 f 随飞行速度 V 和飞行高度 h 变化的趋势如图2-15～图2-17所示。

根据关系式 f = C _f T ，可知 C _f = f / T ，然后通过插值计算出不同状态下（不同飞行速度、飞行高度和油门开度）所对应的推力，即可得到不同油门开度下燃油消耗量 C _f 随飞行速度 V 和飞行高度 h 变化的趋势，如图2-18～图2-20所示。

可以看出，燃油消耗率随飞行速度的增大而增大，随油门开度的增大而增大。在油门开度和飞行速度保持不变的情况下，飞行高度在大约6000m以上时候，燃油消耗率 C _f 基本不随飞行高度变化，而在6000m以下时，燃油消耗率随飞行高度的增大而减小。

4.升力及阻力计算模型

如前所述的飞机模型需要时刻计算飞机所受的升力 L 和阻力 D ，飞机所受的升力主要由飞机机翼产生，升力方向为飞机气流坐标系的 z 轴方向。而飞机所受的阻力主要由空气作用在翼面上的法向力构成的，阻力方向为飞机气流坐标系的 x 轴方向，以向后为正。升力和阻力都与飞机的飞行高度、马赫数、迎角 α 和操纵面等有关。考虑研究对象的同时，为了节约计算成本，在建模过程中主要关心升力和阻力与马赫数、迎角以及襟翼位置的变化关系。

升力和阻力的计算公式如下：

式中， ρ 为某一高度下的空气密度； V 为飞机的真空速； S _w 为机翼的参考面积，本书选用“运八”飞机作为研究对象，其机翼参考面积 S _w =121.86m ² ； C _L 和 C _D 分别为飞机的升力系数和阻力系数，两者与飞机迎角、马赫数的关系如下：

在小迎角的情况下，阻力系数的大小与升力系数有关，上式可以写成：

其中 A （Ma）是诱导阻力因子。

根据给定的飞机气动数据（不同襟翼位置、不同马赫数下的 C _L 和 C _D ），插值获得精度更高的升力系数和阻力系数网格数据，在0.2～0.7Ma之间划分30等分，分别获得每个网格点的升力系数和阻力系数。利用MATLAB中的拟合函数对获得的网格数据进行多项式函数拟合。一般情况下，多项式模型的阶次选择得越高，函数拟合的精度越高，误差越小，但过高的阶次会给后续模型的计算带来更大的计算压力。在本书中，分别用三次多项式和四次多项式对襟翼位置为0°、15°和30°时的升力系数和阻力系数网格数据进行多项式拟合，拟合结果见表2-17和表2-18，拟合结果图例如图2-21和图2-22所示。

由上图结果可以看出，采用四次多项式拟合，不同襟翼位置下的升力系数拟合结果的残差范数都在0.2以内，满足精度要求。那么，可以近似获得 C _L 的拟合函数，即

其中 M 代表马赫数。

用同样的方法可以获得 C _{D 0} （Ma）和 A （Ma）的拟合函数，从而最终确定并计算出 C _D 。分别以三次多项式和四次多项式拟合 C _{D 0} （Ma）和 A （Ma），拟合结果见表2-19和表2-20，拟合结果图例如图2-23和图2-24所示。

观察上述结果的残差范数可以发现，以三次多项式对 C _{D 0} （Ma）和 A （Ma）进行拟合便可以达到很高的精度。那么，可以近似获得 C _D 的拟合函数，如式（2-43）所示，其中 M 代表马赫数。

2.6.4 连续下降进近高度窗口计算

可以根据水平路径是否固定，将连续下降进近的水平航迹分为封闭式路径和开放式路径。封闭式路径由一些确定的航路点组成，通过闭合路径，可准确获得飞机在下降运行过程中与跑道的距离，但还需要提供确定的穿越高度、高度窗口和速度限制等信息。而开放式路径则包含多条水平航迹，在水平路径没有确定的情况下，飞机距离跑道的水平距离也无法确定。对于合理的所需到达时间要求，可以按照提前规划好的封闭式路径进行下降，而当所需到达时间要求超越了飞机的时间调整能力或在顺风/逆风的条件下，可以通过调整水平航迹的方式，控制所需到达时间，即采用开放式路径控制所需到达时间。

封闭式路径和开放式路径示意如图2-25所示。其中，封闭式路径由若干确定的航路点及中间航段构成，逐段引导飞机到最后进近定位点。而开放式路径可在封闭式水平路径附近的空域设置航路点，构造多条水平路径，不同路径均可引导飞机至最后进近定位点。该方式不仅可以调整水平航迹实现对所需到达时间的控制，在飞行过程中遇到积雨云或雷暴区时，也可以通过水平航迹的调整规避积雨云或雷暴区。

所谓封闭式连续下降运行是指程序中的水平航迹已经提前设计好，在程序的初始化过程中完成，其设计原则是水平航迹尽可能短。可以精确地获得航路上的每一点到跑道入口的距离。封闭式连续下降运行程序需要公布穿越高度、高度窗口以及速度限制等信息。

高度窗口的确定原则如下：一方面，尽可能包含各种型号的飞机，保证多数型号飞机的下降性能可以满足该高度限制，即满足机场到达率（Airport Arrival Rate, AAR）要求。另一方面，所确定的高度窗口对空域的影响应该尽可能小，以减少交通冲突发生的可能，所设计的高度窗口不能影响其他交通流。这两个方面的要求又是相互矛盾的，因此需要对高度窗口进行计算。

图2-26所示为标准仪表进近（Standard Instrument Approach, SIA）程序中的高度窗口的计算示意图。多数仪表进近过程都有起始进近定位点、中间进近定位点和最后进近定位点。在一个标准仪表进近程序中要求飞机在初始进近定位点坐标点处不低于给定的高度值，空管中信息中通常以“At or Above”（不低于）的字段表示。一般来说，仪表进近的高度通常以飞机按3°下滑角下滑到跑道的高度确定。

标准仪表进近程序中的高度窗口的选择原则是高度窗口越大越好，因为这样可以保证更多型号的飞机（下降性能不同）实施此进近程序，而不需要装备额外的仪表设备。高度窗口包含一个高度上限和一个高度下限。设置高度上限的目的是使实施此进近程序的飞机能够与其他交通流保持足够的安全间隔。一般来说，飞机以57.6m/km（350英尺每海里）的下滑梯度下降到跑道时所确定的高度可以作为高度窗口的上限，该高度上限对大多数民航客机来说都是合适的。

以图2-26为例，如果需要计算位置 P 处的高度上限，那么可以通过下式计算：

式中， H _FAF 为最后进近定位点所要求的高度； K _s 为下滑梯度； s 为到 P 点到FAF点的水平距离。从图2-26可知， H _FAF =762m， s =166.68km， K _s =57.6m/km，据此可以求得 P 点的高度窗口上限，即 H ₁ =10363m。

高度窗口下限的确定同样是为了能够与其他交通流分离，在能够保证与机场和空管协调的基础上，高度窗口下限越小越好。确定高度窗口下限时，需要保证多数飞机在正常飞行条件下能够充分减速，以满足着陆要求。一般情况下，需要保证飞机在下降过程中的下滑角不低于2°，以此来反向计算高度窗口下限。而在顺风或巡航速度太大的情况下，可以以1.5°左右的下滑角确定下降时的高度窗口下限。

仍以图2-26为例，高度窗口下限计算所用的轨迹线分为四个阶段，其中包含三个下降航段和一个平飞航段，下降航段的下滑梯度分别以上述的1.5°和2°下滑角确定。对于某些减速能力不足的机型，为了确保其能够以着陆速度着陆，特别设计平飞航段，以便减速。各个航段的梯度如图2-26所示。那么， P 点高度窗口下限计算如下：

在图2-26中， H _FAF =762m， s ₁ =18.52km， s ₂ =148.16km， s ₃ =9.26km，那么 P 点高度窗口下限 H ₂ =6278m。

2.6.5 连续下降进近约束条件与边界条件设计

1.微分约束转化为代数约束

飞机是一个复杂的非线性对象，上述所建立的飞机质点模型为轨迹优化问题框架提供了微分约束。为了便于表示，定义三个参数：状态变量 X =（ x , h , V , α , m ） ^T 、控制量 U =（ α ， δ _T ） ^T 、各种常值参数 P 。那么，飞机全量模型可以用非线性微分方程表示：

式中， x ∈ R ⁿ , u ∈ R ^m , t ∈[ t ₀ , t _f ]。

高斯伪谱法的核心思想是利用拉格朗日插值多项式作为基函数对状态变量和控制量进行逼近。通过拉格朗日全局插值多项式求导可逼近状态变量对时间的导数，即

式中，通过映射变换 ，将时间域 t ∈[ t ₀ , t _f ]转换到 τ ∈[-1,1]。

把上式写成由微分矩阵 D _ki 表示的离散化状态方程：

对终端边界点的状态变量进行单独的离散化处理，此时，必须增加一个约束条件以保证终端状态 X _f 满足状态方程。

此处， X _k ≡ x （ τ _k ）∈ R ⁿ , U _k ≡ u （ τ _k ）∈ R ^m ， τ _k 表示勒让德-高斯配点。

飞机质点模型是连续的微分方程，不能直接用参数优化方法求解，可由高斯伪谱法将其转换为在离散点上的代数约束集。需要注意的是，通过高斯伪谱法在初始时刻点和勒让德-高斯配点上对状态变量进行离散化，利用由 N -1个拉格朗日插值基函数组成的多项式对连续的状态变量进行逼近；在正交分配过程中，终端状态不受微分方程约束，而是用一个正交多项式近似在整个时间间隔上的状态积分实现终端状态的离散化。

在初始时刻点和勒让德-高斯配点上的代数约束如式（2-50）所示。

终端时刻点的代数约束如式（2-51）所示：

在式（2-50）和式（2-51）中， i =0,1，…, N 为初始时刻点和勒让德-高斯配点； k =1, 2,…, N 为勒让德-高斯配点； D _ki 为高斯伪谱法微分矩阵； w _k 为高斯伪谱法积分权重； x ₀ ， x _i ， x _f 为离散点上的水平距离； h ₀ ， h _i ， h _f 为离散点上的飞行高度； V ₀ ， V _i ， V _f 为离散点上的飞行速度； γ ₀ ， γ _i ， γ _f 为离散点上的航迹倾斜角； m ₀ ， m _i ， m _f 为离散点上的飞机质量； t ₀ ， t _f 为初始时刻和终端时刻。

2.边界条件

在四维轨迹优化问题中，初始点的状态是已知的，可以把飞机当前时刻的状态信息作为初始条件。当飞机到达终端点时，所有的状态信息是提前预设的，尤其是飞机的到达时间必须满足要求，因而终端条件也是给定的。在轨迹优化过程中，某些状态变量的终端值可能是不确定的，因此在计算时需要将其作为自由变量。式（2-52）表示飞机三自由度状态变量的边界条件，具体初始端条件和终端条件见表2-21。

3.路径约束

在实际飞行中，飞机会受到性能要求和自身结构的制约，表现在数学模型中就是以各种过程约束描述的等式约束。同时，四维轨迹优化问题不仅要求飞机在规定时间（容许误差范围为-5～5s）到达目标航路点，还需要增加额外的时间约束。受飞机自身结构和发动机推力限制，飞机飞行高度存在上限。考虑飞机安全性及飞机舵面的偏转限制，必须对飞机的航迹倾斜角进行限制。对于民航客机，过载是乘客舒适度的重要指标，民航客机上的过载限制一般是-1～2 g ，因此对于过载的约束也应考虑在内。

路径约束条件如下：

表2-22列出了部分路径约束条件的取值。

上表所列的路径约束条件都是飞机在连续下降进近过程中需要遵守的，分别代表飞机在连续下降进近过程中各个状态变量的边界。例如，连续下降过程的水平距离为150km，初始下降高度为7000m。关于飞行速度和航迹倾斜角的范围，根据飞机下降性能的边界设置。实际上，上述约束条件只是飞机在连续下降进近过程中时时刻刻都需要满足的大范围约束条件，在实际下降飞行过程中，对应于不同的飞行状态，存在比上述更为精确的状态约束。例如，根据飞机相对于跑道的距离，有不同的高度窗口约束条件。其原理和计算过程参考2.6.4节。

假设飞机距离跑道的水平距离为 s （km），那么在该位置飞机应满足的高度约束条件为[ h （ s ） _min , h （ s ） _max ]。下面给出 h （ s ） _min 和 h （ s ） _max 的计算过程。

h （ s ） _max 以一条下滑角为-3.5°的下滑航迹确定，即

对于图2-26所示的高度窗口， h （ s ） _min 可以表示为分段函数的形式，即

4.时间约束

传统三维航迹的引导依靠空中交通管制部门引导飞机下降，通过此方式往往难以准确预测到达时间。因此，不得不增大空中飞机之间的安全距离，造成空域的浪费和终端区的拥堵，严重制约了机场的吞吐量和运行效率。实施基于四维航迹的连续下降进近可以有效改善这种情况，基于四维航迹的连续下降进近的重要内容就是对到达时间的精准预测和准确控制。那么，在采用高斯伪谱法对连续下降航迹进行规划时，必须考虑时间约束。

对所需到达时间，不能随意选取，要根据下降顶点的位置、下降高度及飞机的下降性能边界值选取。在此，采用第2章中的飞机下降性能计算模型，分别计算从不同高度下降到目标高度的时间。把目标高度设为0m，分别以最小边界速度 V _min 和最大边界速度 V _max 按照等表速下降方式进行仿真计算。因为在实际下降飞行时，飞机不能以边界速度长时间飞行，所以需要给边界速度留有余量。以（ V _min +5）m/s和（ V _max -5）m/s仿真计算获得的不同起始下降高度下的所需到达时间范围见表2-23。

确定了从不同高度层下降的所需到达时间范围后，即可在对应的取值范围选取一个值作为所需到达时间约束，在用高斯伪谱法进行四维连续下降航迹规划时，将所需到达时间作为最优控制问题中的目标函数进行规划。除了时间约束，连续下降运行过程还要减少燃油消耗量，因此，在目标函数中同样引入燃油消耗量。假设所需到达时间为 t _RTA ，飞机连续下降航迹飞行时间为 t _f ，那么就有如下Meyer形式的指标函数：

其意义是，所规划的连续下降航迹的飞行时间 t _f 尽可能逼近于 t _RTA ，在满足所需到达时间的解空间中，搜索使燃油消耗量最小的连续下降航迹。

5.不同阶段的速度约束

在连续下降进近过程中，飞机的速度持续减小，减小到一定程度后难以满足飞机所需要的升力。此时，需要打开襟翼，因为打开襟翼可以增大飞机受到的升力和阻力。为此，有必要研究在合适的速度下对襟翼进行收放操作，并根据高度、速度及襟翼的位置对下降阶段进行划分，为最终对多阶段航迹优化问题的求解做准备。不同襟翼位置对应的最大/最小速度可通过下降配平计算得到，把推力设置在慢车推力范围，搜索不同高度对应的最大/最小速度，以此速度作为襟翼收放的边界值和航迹优化阶段划分的参考值。不同襟翼位置时的最小速度曲线如图2-27所示。

2.6.6 水平路径设计

上述采用高斯伪谱法的航迹规划过程主要是针对纵向剖面进行规划的，而未考虑其下降的水平路径。这样做的目的是简化计算流程，提高规划的计算效率。但一条完整的四维航迹必须包含一条连续的水平路径。同时，对于某些所需到达时间不在表2-23中对应高度层所约束的时间范围内的四维航迹，还可以通过调整水平航迹的方式改变原计划的航程，从而实现对实际到达时间的控制。因此，有必要对水平航迹进行设计和规划。

根据上述内容，可设计开放式水平路径。进行开放式水平路径设计时，需要保证不同航迹之间的起始航路点和终止航路点的坐标相同，不同航迹之间的航程差距约为10km，以增强对所需到达时间的调节能力。因为跑道的方向无法改变，所以不同水平路径之间的最终航向都要对准跑道方向。图2-28为包含三条航迹的开放式水平路径。其中一条路径包含7个航路点和6个航段，第四个航段为圆弧航段，其余航段为直线航段。三条水平路径上的航路点坐标见表2-24。三条水平路径的航程分别为 s ₁ =125.11km、 s ₂ =114.42km和 s ₃ =105.42km。

由图2-28可以看出，除了起始航路点和终止航路点，不同路径上的第六个航路点坐标位置是相同的。这是因为在实际下降飞行过程中，飞机从最后进近定位点到跑道这段仪表进近程序中的水平路径和垂直剖面都是确定的。图中第六个航路点可看作最后进近定位点。

2.6.7 基于高斯伪谱法的四维连续下降航迹的垂直剖面规划算例

1.仿真优化设计

为验证上述高斯伪谱法在解决四维连续下降轨迹规划问题的有效性，采用2.6.3节所述的纵向飞机模型，用高斯伪谱法对四维连续下降航迹的垂直剖面进行规划，先计算下降过程中的油门开度及迎角控制量，记录飞机的水平距离、飞行高度、飞行速度、航迹倾斜角和迎角等状态变量的变化趋势。再与对应的水平航迹综合，生成最终的四维连续下降航迹。

该飞机模型的起始下降高度为6000m，终点高度为50m，终点距离下降起点的水平航程 s ₂ =114.42km，其他边界条件和路径约束如2.6.5节所述。在2.6.5节所述的所需到达时间（RTA）范围内选择目标值，以式（2-55）作为指标函数（其中 C _m =1），分别采用高斯伪谱法进行四维连续下降航迹的垂直剖面规划计算。

2.结果分析

在上文所述的仿真条件下，分别在 t _RTA =900s、 t _RTA =950s、 t _RTA =1000s t _RTA =1050s、 t _RTA =1100s、 t _RTA =1150s时进行垂直剖面规划计算。基于高斯伪谱法的四维连续下降轨迹规划结果如图2-29所示。

图2-29（a）表示在不同所需到达时间（RTA）下规划的垂直剖面，由该图可知，在不同所需到达时间下，下降高度 h 随水平距离 s 的变化趋势基本相同。图2-29（b）表示飞行高度随时间变化的趋势，不难看出，所需到达时间越短，则下降阶段的飞行速度越大。图2-29（c）表示不同所需到达时间下，下降阶段的飞行速度随时间变化的趋势，可以看出，在不同所需到达时间下，飞行速度变化趋势基本相同，都首先从巡航速度减速下降到某一速度，然后保持该速度下降飞行一段距离，在接近终点时继续减速下降，以达到所要求的边界速度，即 V _f =90m/s，而随着所需到达时间的增大，等速下降阶段对应的飞行速度逐渐减小。图2-29（d）和图2-29（e）分别表示飞机在下降过程中的航迹倾斜角和迎角随时间变化的趋势，可以看出，航迹倾斜角始终为负，并且整个下降过程中航迹倾斜角的绝对值始终在3.5°以内。

尽管采用高斯伪谱法可以解决四维连续下降航迹的规划问题，但仍存在其他问题。例如，仔细观察飞行高度随时间变化的曲线，可以发现在曲线的末尾，其高度下降梯度陡然增大，因为在求解规划过程中已选择20个配点，再加上初始值点和终端值点，航迹就包含22个离散点。分析数据后发现，在不同所需到达时间下，第21个离散点到第22个离散点的时间差基本为3～4s，其间飞行高度变化很大。其原因主要是在采用高斯伪谱法时对边界值没有进行离散化，仅在20个内部勒让德-高斯配点上进行离散化，并且该方法只追求对所需到达时间的高精度控制。规划终端到达时间误差如表2-25所示。在规划终端，过载超过了乘客所能容许的范围。因此，根据以上结果，对垂直剖面进行改进。

由于在连续下降进近过程中飞机下降到某一高度后按照给定的下滑航迹下滑，因此可将上述规划结果第19个离散点（第18个勒让德-高斯配点）之后的航迹按照某一给定的下滑角下滑到最终跑道。该方式虽然在一定程度上损失了对所需到达时间的控制精度，但它避免了在下降终端飞机下降速度过快的现象。观察图2-29（b）可以看到，其下降速度随着下降飞行时间的增大越来越快，到接近终点时甚至达到了每秒20多米，这种规划结果对于实际的下降运行显然是不可飞的。造成这个结果的原因是没有考虑对下降速度的限制。下面对上述规划结果进行改进，改进方法是在上述规划过程中加入对下降速度的限制，如式（2-57）所示。

保留原规划结果到第19个离散点，在该点之后按照固定下滑角下滑到终点。改进后的四维连续下降轨迹规划结果如图2-30所示。

从图2-30可以看出，改进后，在不同所需到达时间下，下降阶段的飞行速度由小变大，其值为5～7m/s，在接近终点时飞行速度逐渐减小，其值为3～4m/s。而下降阶段的航迹倾斜角先随时间逐渐减小到-4°左右，然后在经过600～700s后航迹倾斜角逐渐增大，其绝对值逐渐减小，最终以较小的航迹倾斜角绝对值下降飞行到规划终点。此规划结果可以有效提高乘客的舒适度，也满足飞机下降的机动能力，更加符合实际情况。