《物理学实验（全国中医药行业高等教育“十四五”规划教材配套用书）》

二、误差理论

（一）测量的误差及误差的计算

1.物理量的测量与测量误差在物理实验过程中，不仅要对物理现象的变化过程作定性的观察，而且还要对一系列物理量进行定量的测定，从而探索寻找物理量之间的关系，从这个意义上来说，物理实验首先碰到的就是测量问题。测量某一物理量，实际上就是用一个确定标准单位的物理量和待测的未知量进行比较，所得的倍数就是该未知量的测量值。

测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量是将待测量与标准量作比较而直接得出结果的测量。例如，用米尺测量长度，用秒表测量时间等，就属于这一类，都是用基本测量仪器就可直接测出结果的。间接测量是依靠直接测量的结果，再经过物理公式的计算，才能得出的物理量。例如，要测量圆柱体的体积，首先要测量其直径和高度，然后再用公式计算才能得出结果。大多数测量都属于这一类。

测量的目的是力图得到真值 X ₀ 。所谓真值，就是反映物质自身各种特性的物理量所具有的客观真实数值。严格来讲，由于仪器精度、测量方法、测量程序、实验环境、实验者的观察力等原因，测量都不可能绝对准确。这就导致了所测得的值 X 与真值 X ₀ 之间有一个差值Δ X = X - X ₀ ，这个Δ X 就是误差。

在测量中，误差总是存在的，同时又是可以而且应当努力降低的。

误差来源的分析、误差大小的估算对实验工作十分重要，它将直接影响到测量水平的高低。

2.测量误差的分类任何一个物理量的测量都不可避免地存在误差。根据误差产生的性质及导致误差产生的原因，我们可以把它分为系统误差、偶然误差和过失误差。

（1）系统误差　系统误差是由于测量理论本身不严密、测量方法不尽完善、测量设备的缺陷、周围环境（温度、湿度、气压、电磁场等）变化的影响或测量者自身的习惯等因素所引起的误差。例如，测物体的重量时没有考虑到空气浮力的影响，测时间时秒表走时不准确，测高度时尺子没调到铅直，测量者读数时习惯于将头侧偏，等等。系统误差的特点是测得的数值总是朝一个方向偏离，或总是偏大，或总是偏小。其特征是偏离的确定性，增加测量次数也不能有所改善。但如果根据其产生原因分别加以校正，例如，修正仪器、改进测量方法、对影响实验的有关因素加以周密考虑等，系统误差是能够尽量减小或消除的。

系统误差的发现是比较困难的，它需要测量者有较为丰富的实践经验和一定的理论知识。从实验方法的角度上考虑，可以采取扩大实验范围，即用不同的实验方法或同一种方法改变实验条件，对测量过程进行细致的观察、对比，分析各种实验手段或各种状态下所测到的结果，找出它们之间的差异等，这些将有助于进一步分析产生系统误差的因素，并尽可能将其降低到最低程度。

（2）偶然误差　偶然误差亦称随机误差，是由一些无法控制，纯属偶然的因素所引起的误差。例如测量者感官分辨能力的限制、电压的不稳定、温度的不均匀、仪表设备受震动等偶然因素。其发生纯属偶然，其大小和分布受或然率支配。由于这类偶然性无法消除，所以偶然误差是不可避免的。然而偶然误差有一个特征：各次测量的误差是随机出现的，时而偏大，时而偏小，时正时负，方向不一定，但从统计意义上讲，在重复多次测量过程中，出现测量值偏离真值的大小与偏离方向的机会是均等的，而且随着测量次数的增多，这一规律表现得愈为明显。正是由于这一点，在客观上要求我们对待测物体进行尽可能多的重复测量。将重复测量所得到的一系列测量值经过适当的数据处理之后，就可能使偶然误差大大降低，即减小偶然误差发生的方法，是进行多次重复测量后进行误差处理。

（3）过失误差　过失误差是人为的误差，实验者的粗心大意、实验方法的不当、使用仪器不准确、读错数据、数据记录的笔误等，均可造成过失误差。因此，实验者必须要有严肃认真的态度，实事求是和一丝不苟的科学作风，以避免过失误差。

3.测量结果的表示

（1）测量结果的最佳值（近真值）

1）算术平均值：对某一物理量在相同条件下进行k次测量，各次结果分别为 X ₁ 、 X ₂ 、 X ₃ 、…、 X _k ，则它们的算术平均值为

根据偶然误差的抵偿性，随着测量次数的无限增加，偶然误差的算术平均值趋近于零，那么此测量值的算术平均值也将趋近于真值。这个算术平均值可认为是被测物理量的最佳值或近真值。为了减小偶然误差，在可能的情况下，总是采用多次测量，并将其算术平均值作为被测物理量的真值。

2）我们还经常遇到一些被测量已经有公认值（或理论值），这时，可用公认值（或理论值）作为真值。

3）在实验中，由于条件限制使测量不能重复，或者对测量准确度要求不高等原因，而对一个物理量只进行一次直接测量，这时就以这一次测量值作为近真值。

（2）绝对误差和相对误差　测量值与真值之差Δ X = 是以误差的绝对值来表示测量的误差，它反映测量值偏离真值的大小，具有和测量值相同的单位，通常称为绝对误差。本书所涉及的算术平均误差、标准误差都是指绝对误差。

绝对误差与真值的比值定义为相对误差，相对误差通常用百分率来表示，记做E，即

（3）测量结果的表示　通常把测量结果表示为以下形式。

这样测量的结果及测量误差就完整地表示了。

4.测量误差（绝对误差）的处理方法

（1）直接测量值的误差　直接测量值的误差常用以下几种方法表示：

1）算术平均误差（平均绝对误差）：各次测量值 X _i 与算术平均值差值的绝对值反映了各次测量的误差，我们把它叫作各次测量的绝对误差。各次测量的绝对误差的平均值定义为算术平均误差：

因为它是以误差的平均值表示测量值的绝对误差，故又称为平均绝对误差，它表明被测物理量的平均值的误差范围，也就是说，被测物理量的值的大部分在和之间，因而测量结果应表示为 X =

2）标准误差：求各次测量值 X _i 与算术平均值的差，再取其平方的平均值，然后开方，称为标准误差，记作 σ ，即

标准误差在正式的误差分析和计算中，常作为偶然误差大小的量度。被测物理量的结果可表示为

对只进行一次直接测量的物理量，其误差可根据实际情况进行合理的估算。通常可按仪器上标明的仪器误差作为单次测量的误差。如果没有注明，可取仪器最小刻度的一半作为单次测量的绝对误差。

当被测量已经有公认值（或理论值）时，绝对误差就取我们所得到的测量值与公认值（或理论值）之差的平均绝对值。

（2）间接测量值的误差　在物理学实验中，大多数测量是间接测量。被测量值是由多个直接测量值通过一定的函数计算得出的结果。例如，要测一个均匀小球的密度ρ，先用游标卡尺测出它的直径 d ，利用体积公式算出其体积再用托盘天平测出它的质量 m ，根据密度公式求得其密度直接测量值 d 、 m 的误差必然对间接测量值 ρ 的误差有所影响，这一问题可应用误差传递公式来进行处理。