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1.测量仪器的精密度 对某一物理量，例如长度、时间、温度、压强、电流等进行测量，必须使用相应的仪器。但每种仪器由于其结构及生产技术条件等各方面因素的限制，都有一定的精密度。使用不同精密度的仪器，测量结果的精确度也就各不相同。
一般定义最小分格所代表的量为该仪器的精密度。例如，米尺的最小分格是1mm，其精密度就是1mm。有的仪器有特殊标记，例如某一天平的感量是0.01g，其精密度也就是0.01g，此时就不能用最小分格来代表精密度。电子仪表的精密度是以级数标记的，例如某电表是2.5级，表示测量误差为2.5%。级数越小，精密度就越高。
2.有效数字的概念 仪器的精密度限制了测量的精确度。例如，我们用最小刻度为毫米的米尺测量某一物体的长度，测得值是在3.2cm和3.3cm之间，3.2cm为可靠数字，读数3.2和3.3之间的数字要由测量者估计得出，比如说，估计得3.26cm。显然，最后一位数字“6”是不准确的，对不同的实验者所估计出来的数不一定相同，这个数字叫可疑数字。我们把测量结果的数字记录到开始可疑的那一位为止，组成这个数值的数字，即可靠数字加上可疑数字，称为测量结果的有效数字。
有效数字位数的多少取决于所使用仪器的精密度，不能随意增减。所以，有效数字不但指出了测量值的大小，还可以用以粗略地估计测量的精确程度。测量数据的有效数字愈多，结果愈为精确。
3.有效数字的运算法则
（1）加法与减法 对各数进行加减运算时，所得结果的有效数字位数，应与各数中有效数字数位最高的那个数相同。也就是说，有效数字写到开始可疑的那一位为止，后面的数字按舍入法处理。在以下的举例运算中，我们在可疑数字下面加一横线，以便和可靠数字相区别。
例1 42. 1 +3.27 6 =45. 3 7 6 =45. 4
例2 22. 4 -2.75 6 =19. 6 4 4 =19. 6
（2）乘法和除法 对各数进行乘法和除法运算时，所得结果的有效数字位数，以参与运算的诸数中相对误差最大的那个数的位数来决定。也就是和参与运算的各数中有效数字位数最少的那个数相同。
例3 1.32 3 ×1. 3 =1. 7 1 9 9 =1. 7
例4 148.8 3 ÷1.2 3 =12 1
（3）乘方和开方 乘方和开方结果的有效数字与其底的有效数字位数相同。
例5
例6 （4.2 1 ） 2 =17. 7
（4）三角函数 三角函数的有效数字位数与角度的位数相同。
例7 cos32. 7 °=0.84 2
（5）对数 对数的有效数字位数与真数的位数相同。
例8 lg11.1 7 =1.04 8
关于有效数字，应注意以下几点。
1）有效数字的位数与小数点的位置无关。例如，2.668m与266.8cm，都是四位有效数字，其精确程度都相同。如果我们注意到2.668m=266.8cm，就可以明白，有效数字的位数与单位变换无关。
2）有效数字与“0”的关系。这要从两个方面来讨论：第一，数字前面的“0”不算有效数字。例如，263.8cm和0.002638km，它们的精确度都一样，显然数字前面的“0”并不影响测量结果的精确度，这两组数都是四位有效数字。第二，数字后面的“0”应算为有效数字。例如，266.8cm和266.800cm，从数字上看，它们是相等的量，但是在测量上的意义却完全不同，它们有不同的精确度。所以数字后面的“0”不能随意增加或删去。
3）有效数字与自然数或常数的关系。在运算中常遇到一些自然数或常数，例如，π、e、
8等，这些数不是测量值，其有效数字可以取任意多位。但取多少位合适呢？根据运算法则可知，自然数或常数在运算中所取位数与测量值的位数一样就可以了。
4）有效数字与科学表示法。实验数据很大或很小时，要用科学表示法，即用10的幂来表示，但小数点前一律取一位数字。例如，光速为2.997×10 8 m·s -1 ，是四位有效数字；光谱中D线波长为5.89×10 -7 m，是三位有效数字。
5）尾数的舍入法则——尾数凑成偶数。通常所用的尾数舍入法是四舍五入，对于大量尾数分布几率相同的数据来说，这样舍入不是很合理，因为入的几率大于舍的几率。现在通用的做法是“4舍6入5凑偶”：尾数小于5则舍，大于5则入，等于5则凑成偶数。例如，1.635取三位有效数字为1.64；12.605取四位有效数字为12.60；6.036取二位有效数字为6.0；0.076取一位有效数字为0.08。
6）为避免由于舍入过多带来的较大误差，在运算过程中可多保留一位数字，但最后结果只能有一位可疑数字。在乘除运算时，有效数字第一位是8或9，可看成多一位有效数字来处理。例如，92可看成92.0。
下面我们举例说明，如何根据有效数字运算法则进行误差计算。
例9 用米尺分别对圆柱体的高和直径做三次测量，结果如下。
h 1 =20.1mm，h 2 =20.4mm，h 3 =20.5mm
D 1 =5.1mm，D 2 =5.3mm，D 3 =5.3mm
求圆柱体的高、直径和体积测量结果的平均值、平均绝对误差、相对误差并做出结果表示。
解：直接测量的平均值为
直接测量的平均绝对误差为
直接测量的相对误差为
直接测量的结果表示为
间接测量的平均值为
相对误差为
平均绝对误差为
结果表示为
