1.3 抛物型DPS发展概况

在实际应用中，由抛物型PDE模型描述的扩散-对流-反应现象随处可见，如具有显著扩散现象的大型工业加热炉的炉内温度场时空演化动态、管式反应器的非等温化学反应过程中具有明显扩散-对流-反应现象的反应物浓度及温度时空演化动态。此外，工业控制系统中的热传导过程、核反应堆中的核反应过程、生物种群的物种密度演化等 ^[23] ，均可由抛物型DPS来精确刻画。

关于抛物型DPS控制研究大体上主要有两种设计思路 ^[24] 。第一种设计思路是先将无限维抛物型DPS的PDE模型利用假设模态法 ^[25] 、有限差分法 ^[26] 、有限元法及Galerkin法 ^[27] 等模型降阶获得有限维ODE近似模型，然后基于有限维ODE近似模型，根据控制目标开发相应控制算法。这种设计思路的优点在于可充分利用现有的、成熟的有限维控制理论与设计方法来解决无限维抛物型DPS的有限维控制设计问题。基于设计思路的抛物型DPS控制设计研究成果丰硕，如反馈线性化 ^[28，29] 、自适应控制 ^[30] 、模型预测控制 ^[31] 、神经网络控制 ^[32] 及模糊控制 ^[33] 等。结合Galerkin法和近似惯性流形及微分几何方法，文献[28]研究了一类非线性抛物型PDE系统的反馈线性化控制设计方法。基于近似惯性流形和Karhunen-Loeve分解的Galerkin法，文献[29]为一类非线性抛物型DPS提供了一种有效的、基于反馈线性化的控制策略。针对一类不确定非线性抛物型DPS，文献[30]利用Galerkin法建立了低维ODE近似模型，并提出了一种基于ODE模型的有限维线性参数化自适应网络分布控制设计方法。针对一类非线性抛物型DPS，文献[31]利用Galerkin法将非线性PDE系统降阶后，进一步提出了基于神经网络的控制设计方法，并运用奇异摄动理论和Lyapunov直接法分析其闭环系统稳定性及性能。上述研究工作均为将模型降阶方法和基于ODE模型的有限维非线性控制方法相结合来解决非线性抛物型PDE系统的有限维控制设计问题。然而，在无限维抛物型DPS的降阶过程中，由于模态不具有实际物理意义，需要引入观测器来实现，因此增加了设计复杂度。另外，模型截断会影响系统控制精度与性能，甚至导致控制系统失稳，还会诱发控制溢出和观测溢出等问题。

第二种设计思路为从本质上克服上述抛物型DPS有限维控制设计的不足直接从无限维PDE模型出发，探讨基于PDE模型的无限维抛物型DPS控制设计与性能分析问题。根据执行器布放位置的不同，基于原始PDE模型的无限维抛物型DPS控制设计方法主要分为两种：域内控制 ^[34] 与边界控制 ^[35] 。根据执行器布放形式的不同，还可进一步细分为空间离散分布控制 ^[36，37] 与空间连续分布控制 ^[38，39] 。针对一类非线性抛物型DPS，文献[36]运用温格尔不等式与Lyapunov直接法，提出了空间离散分布鲁棒采样控制策略。文献[37]为一类非线性抛物型PDE系统提供了一种空间离散分布局部匹配控制设计方法，并分析了闭环系统的适定性。文献[38]为一类线性抛物型DPS提出了空间连续分布直接自适应控制策略。上述控制设计结果主要集中在域内控制方法下的抛物型DPS控制设计方法。

不同于域内控制，边界控制的控制驱动仅在受控对象的边界处施加控制作用。相较域内控制，边界控制易于实现，是一种在物理上更实用的控制方法。因此，已有很多国内外学者将先进控制技术与边界控制相结合来研究抛物型DPS控制问题，如反步法 ^[40～44] 、滑模控制 ^[45] 、凸优化技术（如LMI技术） ^[46] 及神经网络逼近/近似动态规划 ^[47] 等。例如，针对一类线性抛物型PDE系统，文献[41]运用无限维反步法为其提供了边界状态反馈和输出反馈控制方法，并进一步研究了线性DPS边界自适应控制问题及状态观测问题 ^[40，42] 。关于非线性抛物型DPS，文献[43，44]将反步法思想推广到解决非线性抛物型PDE系统的边界控制问题中。针对一类抛物型DPS，文献[45]将反步法和滑模控制相结合，提出了滑模边界控制设计方法，并分析了闭环系统的稳定性。需要强调的是，上述非线性DPS控制设计要么设计过程过于复杂（如无限维反步法），要么过于苛刻（如基于神经网络逼近的近似动态规划方法）。未来非线性DPS控制设计研究的重点在于开发一套概念简单、系统有效的设计方法。 hvSCzSmt8J7qc5RmX0FyWC7RmmAFMLtLCf7mlgjq4+E1337gytjImvCMp+RxigpY