3.3 模糊关系、模糊规则与模糊推理

模糊关系是模糊集合理论的重要概念之一，用于刻画两个或多个模糊集合中元素之间存在或不存在关联或交互的程度。一组经典集合 ₁ ， ₂ ，···， _n 之间的经典关系定义为笛卡儿积 ₁ × ₂ ×···× _n 的子集。在模糊集合背景下， n 元模糊关系是一个笛卡儿积 ₁ × ₂ ×···× _n 上的一个模糊集合。

定义3.7 （模糊关系） 令 ₁ × ₂ ×···× _n 为开集。笛卡儿积 ₁ × ₂ ×···× _n 上的一个 n 元模糊关系定义为

式中， μ _R ： ₁ × ₂ ×···× _n × X →[0，1]。

令 和 是两个模糊关系。定义3.8给出了模糊关系 和 的一般合成运算。

定义3.8 （模糊关系的上确界-*合成） 模糊关系 和 的合成运算 R ₁ ◦ R ₂ 定义为 ₁ × ₃ × X 上的模糊关系，其模糊隶属度函数为

式中，（ ξ ₁ ， ξ ₃ ）∈ ₁ × ₃ ；◦表示上确界-*算子； T （·，·）是任意T-norm算子。

上述模糊合成运算使得人们能够表达模糊和定性的关系，并以预先指定的方式建立二者的关系。此外，通过此合成运算定义在不同乘积空间的模糊关系可以相互组合。若将 T （·，·）替换为取最小值和代数乘积运算，则可得如下两类模糊合成运算。

定义3.9 （上确界-最小值合成） 模糊关系 和 的上确界-最小值合成是一个由如下模糊隶属度函数刻画的模糊集合：

式中，（ ξ ₁ ， ξ ₃ ）∈ ₁ × ₃ 。

定义3.10 （上确界-乘积合成） 模糊关系 和 的上确界-乘积合成是一个由如下模糊隶属度函数刻画的模糊集合：

式中，（ ξ ₁ ， ξ ₃ ）∈ ₁ × ₃ 。

根据时空模糊集合和模糊关系，“ 如果-则 ”模糊规则具有如下形式：

式中， A 和 B 分别是在论域 和 Y 上具有语言值的模糊集合。通常称“ ξ 属于 A ”为前件，称“ y 属于 B ”为结论/后件。例如，如果压力高，则体积小；如果温度高，则能耗大。这里的压力和温度是时空变量，对应模糊集合分别为“高”“小”“大”。模糊规则（3.3.1）可简记为 A → B ，又称 模糊蕴含 。

模糊推理，又称近似推理，是一种用于从一组“ 如果-则 ”模糊规则和一个或多个前件中得出后件的推理过程。

定义3.11 （推理的合成法则） 令 A 、 A ^′ 和 B 分别是论域 ₁ 和 ₂ 上的模糊集合。假设模糊规则 A → B 用于刻画 ₁ × ₂ 上的模糊关系 R ，那么模糊集合 B ^′ 由其模糊隶属度函数可推断为

式中， T （·，·）是任意T-norm算子。

注意到上述模糊推理可表述为 B ^′ = A ^′ ◦ R = A ^′ ◦（ A → B ），其中◦表示上确界-*算子。表达式（3.3.2）是模糊推理的一般形式。如果分别用min和max作为模糊与和或算子，那么模糊集合 B ^′ 由其模糊隶属度函数可推断为 9SBFBz91F+B6jCJAe8jNpK1SW4HMfT050OPH9L0krxbsOkIVYPkw7BVUAJBfq6f9