2.4 庞加莱-温格尔不等式的变种形式

本节将介绍后续章节要用到的加权向量值庞加莱-温格尔不等式的变种形式。以下著名的庞加莱-温格尔不等式 ^[127] 是针对标量 z （·）∈ W ^{1 ， 2} （（0， L ）；ℜ）给出的：

式中， 。在不等式（2.4.1）的基础上，结合定积分性质（如叠加性、积分中值定理）和对称正定矩阵分解技术，引理2.1针对多变量 z （·）∈ W ^{1 ， 2} （（0， L ）；ℜ ⁿ ）的加权向量值型 ，其中 且0≤ W ∈ℜ ^{n × n} ，分别给出了相应的积分不等式的变种形式，具体参见积分不等式（2.4.2）。

引理2.1 （加权向量值庞加莱-温格尔不等式的变种形式） ^[86] 设对于任意矩阵0≤ W ∈ℜ ^{n × n} 和 z （·）∈ W ^{1 ， 2} （（0， L ）；ℜ ⁿ ），都满足

式中

证明：证明部分包含四个部分。

（1）对于 z _l ≜ z （0）的情况，不等式（2.4.2）由 ，温格尔不等式 ^[128] ， 推出；对于 z _l ≜ z （ L ）的情况，可以类似地推导出不等式（2.4.2）。

（2）对于 的情况，不等式（2.4.2）很容易通过以下表达式得到

（3）对于 ，[ l ₁ ， l ₂ ]⊂[0， L ]的情况，不等式（2.4.2）由文献[78]中引理2的证明得到。

（4）对于 的情况，不等式（2.4.2）由文献[127]中引理1和矩阵特征分解导出。

注2.2 对于 z _l ≜ z （0）或 z _l ≜ z （ L ）的情况，不等式（2.4.2）是在文献[76，77]中报道的。虽然不等式（2.4.2）的形式不同于文献[78]中的引理2（针对时空向量建立），但对于 ，[ l ₁ ， l ₂ ]⊂[0， L ]的情况，引理2.1本质上与文献[78]中的引理2相同。

下面介绍Schur补引理，这是一种将非线性矩阵不等式转化为LMI的有效方法。

引理2.2 （Schur补） ^[129] 设给定矩阵 S ∈ℜ ^{n × n} 且

式中，假设 r × r 维矩阵 S ₁₁ 非奇异，则称 为 S ₁₁ 在 S 中的Schur补。以下三个条件是等价的。

(1) S ＜0.

(2) S ₁₁ ＜0, .

(3) S ₂₂ ＜0, . FtCXLT/3crtty/xEXratLQ4KH1x743Nlyp+scPk6Kd5qTmQalg0Ws6SNrjpuUDy6