2.3 基于观测器的输出反馈控制

考虑如下形式的有限维线性系统：

式中， x （ t ）∈ℜ ⁿ 和 u （ t ）∈ℜ ^m 分别为系统状态和控制输入； A ∈ℜ ^{n × n} 和 B ∈ℜ ^{n × m} 分别为系统矩阵和控制输入矩阵； x ₀ 为系统初值。在全状态信息 x （ t ）完全可用于反馈的假设下，状态反馈控制 u （ t ）= Kx （ t ）（ K ∈ℜ ^{m × n} 是控制增益）是系统（2.3.1）的最佳选择。然而，在许多实际控制系统中，通常仅有测量输出信息 y （ t ）∈ℜ ^p 可用于反馈， y （ t ）= Cx （ t ），其中 C ∈ℜ ^{p × n} 为测量输出矩阵。由于静态输出反馈控制的能力有限，如下形式的基于观测器的输出反馈控制更有实际意义：

式中， K ∈ℜ ^{m × n} 为控制增益；估计状态 受限于如下观测器方程 ^[125] ：

这里 和 分别为观测器状态和输出； L ∈ℜ ^{n × p} 为观测器增益。 为输出校正项。 为观测器初值。显然，式（2.3.2）和式（2.3.3）给出了一种在线估计状态的动态输出反馈控制律。

基于观测器的输出反馈控制律（2.3.2）和（2.3.3）是通过分离原理构建的。在基于观测器的输出反馈控制设计中，观测器设计是重点。常用的观测器是龙伯格观测器[见式（2.3.3）]，它是以保证观测器误差 稳定或渐近/指数/有限时间稳定为出发点进行设计的。尽管经典的基于龙伯格观测器的输出反馈控制律（2.3.2）和（2.3.3）是针对有限维系统（2.3.1）提出的，但此类控制器也已被推广到DPS，用于解决其反馈控制问题 ^{[33，40，66，69，70，73]} 。不同于现有大部分研究工作引入该类基于观测器的输出反馈控制，目的是解决仅有测量输出信息可用于反馈情形的控制设计，本书将应用基于观测器的输出反馈控制，以克服由执行器与传感器非同位导致的DPS控制设计困难。与有限维龙伯格观测器不同，在无限维龙伯格观测器中，输出校正项可添加到PDE模型及其边界条件。

考虑如下线性抛物型标量PDE模型：

式中， y （·， t ）∈ H （[0， L ]）、 η ∈ℜ和 u （ t ）∈ℜ分别为PDE模型的状态、反应系数和控制输入。在PDE模型（2.3.4）中，控制驱动作用在空间域[0，1]的边界 x =1上。针对上述线性标量PDE模型，分别选择如下两种边界测量输出 y _out （ t ）∈ℜ。

情形I：同位边界测量

测量传感器的布放位置与执行器相同（边界 x =1），显然控制驱动和传感测量是同位的。

情形II：非同位边界测量

测量传感器的布放位置在[0，1]的另一个边界 x =0上，显然控制驱动和传感测量是非同位的。

在静态输出反馈控制框架下，可设计如下形式的静态输出反馈控制律：

式中， k ∈ℜ是控制增益。在控制律（2.3.7）的作用下，相应闭环PDE系统为

在能量函数 的作用下，闭环PDE系统的能量变化为

第二个等式推导用到了如下事实：

这是利用分部积分技术并考虑闭环PDE系统（2.3.8）的边界条件得到的。观察式（2.3.9）可以发现，针对同位边界测量（2.3.5），式（2.3.9）可改写为

由于存在二次型 -ky ² （1， t ），因此相应闭环PDE系统的能量变化是耗散的（理论上存在充分大的控制增益 k ，使得 ）。但是针对非同位边界测量（2.3.6），式（2.3.9）可改写为

由于存在非二次型 -ky （0， t ） y （1， t ），因此相应闭环PDE系统的能量变化是非耗散的。通常非耗散系统性能分析是具有一定难度的。

为解决具有非同位边界测量（2.3.6）的PDE模型（2.3.4）控制设计问题，在基于观测器的输出反馈控制框架下，构建如下基于PDE观测器的反馈控制律：

式中， k ∈ℜ是控制增益； 是估计状态 在边界 x =1处的取值，其时空演化动态受限于如下PDE观测器：

式中， l （ x ）和 l ₀ 是观测增益参数；观测器输出 。

此外，反馈控制律（2.3.12）也可替换为如下形式：

式中，估计状态 受限于PDE观测器（2.3.13）。第5章结合T-S模糊控制技术，针对一类非线性抛物型DPS提出了基于模糊观测器的模糊输出反馈控制策略。

注2.1 针对同位边界测量（2.3.5），文献[126]指出了相对于静态输出的反馈控制策略，基于观测器的输出反馈控制策略对测量干扰具有更好的鲁棒性，这是因为观测器环节的存在隔绝了测量干扰对控制信号的直接影响。 BSt3uwxrFrKaecnh+BgWfmx8hR+VX3Vvdmvm/Yn7FRMyzI5/6tjc/SJJdKorBS2+