2.2 稳定性理论

在有限维系统状态空间中，向量范数是等价的。因此，在不同向量范数意义下的指数稳定定义也是等价的。而对于无限维系统，在泛函空间中范数是不等价的，因此其指数稳定定义缺乏一般性。因此，本节给出DPS在‖·‖ ₂ 范数意义下的指数稳定性定义。在介绍稳定性的相关概念之前，考虑一个简单抛物型DPS，其系统模型如下：

受限于纽曼边界条件

和初始条件

式中， y （·， t ）∈ H ⁿ （[0， L ]）和 u （ t ）∈ℜ ⁿ 分别表示状态和边界控制输入； x ∈[0， L ]⊂ℜ和 t ∈[0，∞）分别表示空间和时间；0＜ Θ ∈ℜ ^{n × n} 是给定的常数矩阵； f （ y （ x ， t ））是关于 y （ x ， t ）连续可微的非线性函数且满足 f （0）=0； y ₀ （ x ）是初值。

以下定义给出了当 u （ t ）=0时，半线性抛物型DPS（2.2.1）～（2.2.3）在‖·‖ ₂ 范数意义下的指数稳定性定义。

定义2.2 ^[85] 当 u （ t ）=0时，若存在两个常数 δ ₁ ≥1和 ρ ₁ ≥0，使得

成立，则称系统（2.2.1）～（2.2.3）是指数稳定的。

定义2.3 ^[85] 当 u （ t ）=0时，若存在常数 δ ₂ ≥1， ρ ₂ ≥0及 κ ₁ ＞0， κ ₂ ＞0，使得

成立，则称系统（2.2.1）～（2.2.3）是实用指数稳定的。

定理2.1 （Lyapunov直接法-指数稳定性定理） 设 y （·， t ）∈ D 为系统（2.2.1）～（2.2.3）的状态向量（ D 是定义在 H ² （[0， L ]）上包含平衡态 y （·， t ）=0的一个开子集）。对于∀ y （·， t ）∈ D ，设连续可微函数 V （ t ）≥0及其导数满足

式中，若 k ₁ 、 k ₂ 、 k ₃ 为正常数，则称系统（2.2.1）～（2.2.3）是指数稳定的。

证明：根据式（2.2.4）和式（2.2.5），可知 V （ t ）满足微分不等式

进一步得

由式（2.2.4）可得

因此，系统（2.2.1）～（2.2.3）是指数稳定的。

定理2.2 （Lyapunov直接法-实用指数稳定性定理） 设 y （·， t ）∈ D 为系统（2.2.1）～（2.2.3）的状态向量（ D 是定义在 H ² （[0， L ]）上包含平衡态 y （·， t ）=0的一个开子集）。对于∀ y （·， t ）∈ D ，设连续可微函数 V （ t ）≥0及其导数满足

式中，若 d ₁ 、 d ₂ 、 d ₃ 为正常数，则称系统（2.2.1）～（2.2.3）是实用指数稳定的。

证明：根据式（2.2.6）和式（2.2.7），可知 V （ t ）满足微分不等式

进一步得

由式（2.2.6）可得

因此，系统（2.2.1）～（2.2.3）是实用指数稳定的。

在后面章节探讨基于Lyapunov直接法的DPS稳定性分析时还将用到分部积分技术。

定理2.3 （分部积分技术） ^[124] 设 u = u （ x ）和 v = v （ x ）是两个关于 x 的函数，各自有连续导数 和 且 存在，根据函数乘积求微分法则， 存在，那么可得分部积分技术公式为 76B876XN3g3G72TLMHRVYj87mguQtoa9dAcKq1WWEn/VkZ74JL5oJrxFDjS0Bqey