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定义2.1 关系式中包含多元未知函数及其偏导数的方程称为偏微分方程。
考虑到二阶偏微分方程在数学、物理及工程技术中的广泛应用，接下来着重介绍二阶偏微分方程。根据空间微分算子的性质，二阶偏微分方程可分为双曲型、抛物型和椭圆型三类 [24] 。二阶二元线性偏微分方程及其特征方程 [74] 形式为
式中，
a
11
、
a
12
、
a
22
、
b
1
、
b
2
、
c
与
f
是关于自变量
x
和
t
的函数，方程（2.1.1）在平面（
x
，
t
）上的某一子区域上是连续可微的，且在点
Z
（
x
0
，
t
0
）的邻域内可以根据
的符号分为三类：
Δ
＞0，方程（2.1.1）在点
Z
处为双曲型偏微分方程；
Δ
=0与
Δ
＜0分别称为抛物型和椭圆型偏微分方程。为保证其解析解的存在性和唯一性，偏微分方程（2.1.1）不仅受限于初始条件，还受限于边界条件。
以一维空间（ x ∈[0， L ]）为例，偏微分方程的边界条件可分为狄利克雷（Dirichlet）、纽曼（Neumann）和混合（Robin）三类。具体而言，针对二阶偏微分方程
其边界条件通常有以下三种类型。
第一类狄利克雷边界条件：
式中，函数 y 1 （ t ）和 y 2 （ t ）分别表示状态 y （ x ， t ）在边界 x =0与 x = L 处的运动规律。
第二类纽曼边界条件：
式中，函数 y 1 （ t ）和 y 2 （ t ）分别表示状态 y （ x ， t ）在边界 x =0与 x = L 处外法线方向导数的运动规律。
第三类混合边界条件：
式中，函数
y
1
（
t
）和
y
2
（
t
）分别表示在边界
x
=0和
x
=
L
处状态
y
（
x
，
t
）和其外法线方向导数线性组合的运动规律；
与
为已知函数。
在上述三类边界条件中，若令 y 1 （ t ）=0且 y 2 （ t ）=0，则称上述边界条件为齐次边界条件，否则称为非齐次边界条件。