04．嗜赌的学者

“我以上帝神圣的福音书与我的名誉向你发誓，如果你把你的发现教给我，我不仅不会把它们对外发表，而且作为一位虔诚的基督徒，我愿以我的信仰对你承诺，我会将它们记为密码，这样在我死后就没有人能够看懂它们了。”

据说这个庄重的誓言是在1539年许下的。

文艺复兴时期的意大利是孕育创新的摇篮，数学也不例外。在那个时代革故鼎新的氛围中，数学家决心突破经典数学的局限。其中一位解出了神秘的三次方程。而现在，他却指控另一位窃取了他的秘密成果。

这位愤愤不平的数学家是尼科洛·丰塔纳（Niccolo Fontana），绰号叫作“塔尔塔利亚”（Tartaglia），是结巴的意思。被指控的那位窃取知识成果的小偷，是一位数学家和医生，也是一个无可救药的流氓和积习难改的赌徒。他名叫吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano），也称杰尔姆·卡当（Jerome Cardan）。大约1520年，吉罗拉莫这个彻头彻尾的败家子想方设法取得了父亲的遗产。挥霍一空之后，他转向赌博，以此作为收入来源，并且有效地利用他的数学才能来估算获胜的概率。和他一起赌博的同伴并不可靠，有一次，他怀疑一个玩家作弊，就用刀划破了对方的脸。

那是一段难对付的日子，而吉罗拉莫也是个难对付的人。他还是一位很有原创力的思想家，写出了历史上最著名、最有影响力的代数学著作之一。

我们之所以对吉罗拉莫有这么多的了解，是因为他在1575年把自己的一切都写进了《我的生平》这本书中。书是这样开头的：

我着手在写的这本生平之书，是参照哲学家皇帝马可·奥勒留的先例来写的。他被称颂为世上最聪慧、最好的人。我深知凡人所做出的任何成就都是不完美的，更难免受人诽谤；但同时我也知道，其他任何有可能实现的人生目标，虽然看上去更为诱人，但都不如认识真理来得更有价值。

我愿申明，写这本书既不是爱慕虚荣，也没有添油加醋；而是尽可能只记录我的切身经历，以及一些我的学生……知道或参与的事件。从我的一生中截取的这些瞬间，又被我用叙述的口吻写了下来，形成了这本属于我自己的书。

和当时许多数学家一样，吉罗拉莫也研习占星术，并且记下了自己出生前后的星象：

听说我的母亲曾经用过很多种堕胎药，但都没有成功，我还是在1500年9月24日正常出生了，时间就在入夜后的半小时到三刻钟之间……因为各个星体的位置互相不协调，火星对每个星体都产生了不好的影响，而它与月亮的相位呈刑相。

……如果不是上一次合相发生在水星掌管的处女座29度位，我很可能已经是一个妖怪了。而且无论是水星、月亮还是上升星座的位置都不相同，在整个处女座第二区间中也没有出现这样的情况。所以我差点儿就成了一个妖怪，而的确就在千钧一发的时候，我从母亲的子宫里被扯了出来（确实是“扯”出来的）。

我就这么出生了，或者说是被我母亲用暴力方法弄了出来，几乎夭折。我拥有一头卷曲的黑发。我是被浸泡在热葡萄酒中苏醒过来的，要是对其他婴儿这么做可能会致命。母亲生产了整整三天才生下我，而我竟然活了下来。

《我的生平》中有一章列出了吉罗拉莫的著作，其中排在第一位的是《大术》（The Great Art），是他提到的三部“数学论著”中的一部。另外，他还写过天文、物理、道德、宝石、水、医药、占卜和神学方面的著作。

他的著作中只有《大术》与我们的故事有关，这本书的副标题——“代数的法则”——就说明了原因。书中，吉罗拉莫不仅集合了巴比伦人就已了解的二次方程的解法，还加入了新发现的三次和四次方程的解法。与奥马尔·海亚姆的解法不同，《大术》中的解法并不依赖圆锥曲线的几何形状，而是纯粹的代数方法。

我之前提到过两种数学符号，它们在一些表达式中会同时出现，比如x 3 ，表示未知数的三次方。第一种符号用字母（如这里的x）来表示数——未知数，或者任意的已知数。第二种符号用上标数字来表示幂次——因此这里的上标 3 表示三次方x×x×x。现在我们要讲到第三种符号，也是我们需要用到的最后一种符号。

这第三种符号非常漂亮，看上去是这样：。这个符号表示“平方根”。比如，即“9的平方根”，意思是这个数乘以自身等于9。因为3×3=9，所以 =3。但不是所有平方根都这么简单。最臭名昭著的就是2的平方根，。在一个非常不可靠的传说中，这个平方根导致让它获得关注的数学家——米太旁登的希帕索斯（Hippasus of Metapontum）——被抛下了船。要想用小数精确地表示它，数字会无限延续下去。它的开头是这样的：

1.414 213 562 373 095 048 8，

但不能在这里停下来，因为以上这个小数的平方实际上是

1.999 999 999 999 999 999 995 223 566 639 074 381 44，

显然并不完全等于2。

与之前介绍的符号不同，这次我们终于知道这个符号的来源了。它是字母r的变形，代表radix，即“根”（root）的拉丁语。数学家就这样理解根号，并把读作“根号2”。

立方根、四次方根、五次方根等则是在“根号”前加一个上标的小数字来表示，即：

一个数的立方根就是立方等于这个数的数，四次方根、五次方根等以此类推。所以8的立方根是2，因为2 3 =8。同平方根的情况一样，用小数也只能近似地表示2的立方根。它是这样开头的：

1.259 921 049 894 873 164 8

并且向后延续。如果你有足够的耐心，数字可以永远地延续下去。

正是这个数出现在了古老的立方倍积问题当中。

到公元400年的时候，数学的最前沿已经由希腊东移到了阿拉伯、印度和中国。欧洲堕入了“黑暗时代”，虽然不像人们描绘的那么暗无天日，但那也是足够黑暗的一段时期。基督教的传播带来的副作用是，学习和研究都集中在教堂和修道院之内，这是很不幸的。很多修士抄录了欧几里得等大数学家的著作，但几乎没有人理解他们所抄的内容。古希腊人可以从两端开凿穿山隧道，最终使隧道在中间相会；而早期的盎格鲁-撒克逊人测量土地时则必须在地上摊开图样，而且还是全尺寸的。可见，此时甚至连按比例尺制图的概念都已经失传了。如果盎格鲁-撒克逊人想要绘制一幅精确的英格兰地图，那这张地图就必须跟英格兰一样大。他们也绘制过传统尺寸的地图，但都不太精确。

而到了15世纪末，数学活动的中心再一次移回了欧洲。在中东和远东地区的创造力枯竭的时候，欧洲重新焕发了活力，努力挣脱罗马教会的控制，不再受制于教会对新事物的畏惧。讽刺的是，此次知识运动的新中心正是意大利——罗马教会起火的后院。

这场欧洲科学和数学的重大变革始于一本书的出版。1202年，比萨的莱昂纳多（Leonardo of Pisa）出版了《算盘书》（Liber Abbaci）。很久之后人们给他起了绰号“斐波那契”（Fibonacci）——意为波那乔的儿子，而如今他就是以这个名字闻名于世，尽管这个名字19世纪才被创造出来。莱昂纳多的父亲吉列尔莫是贝贾亚（位于今阿尔及利亚）的一名海关官员，在工作中必定接触过许多来自不同文化背景的人。他把印度人和阿拉伯人发明的新式数字符号教给了儿子，这些符号正是我们如今使用的十进制数字0到9的前身。后来莱昂纳多写道，他“太喜欢这些（数学上的）教导了，以至于在前往埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯出差时也在继续学习数学，并且十分享受与当地学者进行辩论”。

乍看标题，莱昂纳多这本书似乎是关于算盘的，这是一种机械运算装置，通过在线上滑动的珠子，或者沙沟之中的鹅卵石进行运算。但就像拉丁语中calculus这个词起初表示这些鹅卵石中的一块，后来却获得了专业性更强的另一种含义（计算）一样，abbaco这个词也不再专指算盘，而是演变出了“计算之艺术”的含义。《算盘书》，或称《计算之书》，是第一本将印度-阿拉伯符号和方法推广到欧洲的算术著作。这本书用很大的篇幅讲了这种新式算术在实际问题，比如货币兑换中的应用。

书中有一个问题，是关于兔子繁殖数量增长的理想模型的，从中产生了这样一个引人注目的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，如此等等，其中从2开始的每个数都是前面两个数的和。这个“斐波那契数列”是莱昂纳多赖以成名的关键——并不是因为它对兔子繁育问题有多大意义（它在这一问题上其实毫无意义），而是因为它引人注目的数学形式以及在无理数理论中所起的重要作用。莱昂纳多完全不会知道，这个小小的思维游戏足以使他一生中所有其他的工作都黯然失色。

莱昂纳多还写过其他几本书，他1220年的《实用几何》（Practica Geometriae）中包含了很大一部分的欧几里得几何学，以及一些古希腊三角学的内容。欧几里得《几何原本》的第十卷讨论了由嵌套的平方根组成的无理数，其形式为。莱昂纳多证明了用这种形式的无理数不足以求解三次方程。这并不是说三次方程的解无法用尺规作出，因为把平方根用其他的形式组合起来可能能得到解。但这第一次暗示了，只用欧几里得的方法可能无法求解三次方程。

1494年，卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）将大部分既有的数学知识汇总在了一本关于算术、几何与比例的书中，其中包括了印度-阿拉伯数字、商业贸易中的数学、欧几里得理论概要，以及托勒密三角学。这本书一个贯穿始终的主题就是大自然的设计元素都以比例的形式呈现——比如人体、艺术中的透视法，以及色彩理论。

帕乔利延续了“修辞”代数的传统，使用文字而不是符号来表述数学关系。未知数叫作“东西”，在意大利语中是cosa，有一段时间，研究代数的人就被称为“东西家”（cossist）。他还使用了一些标准的缩写形式，继承了由丢番图开创的缩略代数方法（但没有改进和发展它）。对此，莫里斯·克莱因（Morris Kline）在他的杰作《古今数学思想》中做出了有力的论述：“帕乔利（这本书）对1200至1500年之间算术和代数的发展只是一个很有意义的数学注解，并不比比萨的莱昂纳多的《算盘书》内容更多。事实上，（帕乔利书中的）算术和代数……是根据莱昂纳多的书而写的。”

帕乔利在他的书的末尾评论道，对于三次方程的求解，我们的理解和对化圆为方一样有限。但情况很快就会改变。第一个重大突破发生在16世纪30年代的博洛尼亚，起初并未引起人们的注意。

吉罗拉莫·卡尔达诺是米兰律师法齐奥·卡尔达诺（Fazio Cardano）的私生子，他的母亲基娅拉·米凯里亚（Chiara Micheria）是一位年轻寡妇，在上一段婚姻中已经生有三个孩子。1501年，吉罗拉莫出生于帕维亚，那里隶属于米兰公国。当瘟疫传播到米兰时，怀孕的基娅拉在劝说下搬到了乡下，在那里生下了吉罗拉莫。而她另外三个年纪大一些的孩子留在了米兰，全部死于这场瘟疫。

根据吉罗拉莫的自传，

我的父亲穿着紫色的斗篷，这种衣服在我们周围是不常见的；他时时刻刻都戴着一顶黑色小无檐帽……他从55岁起牙齿就掉光了。他熟读欧几里得的著作；由于大量的伏案学习，他确实有些驼背，肩膀也不再舒展……我的母亲很易怒；她记忆力极强，敏捷而聪慧，是一个丰满、虔诚的小个子女人。父母两人都是急性子。

虽然法齐奥的职业是律师，但他精通数学，足以给达·芬奇提出几何方面的建议。他在帕维亚大学和米兰的皮亚蒂基金会教授几何学，也教他的私生子吉罗拉莫学习数学和占星学：

在我很小的时候，我的父亲就教我算术的基础知识，同时让我接触了一些神秘的东西；我完全不知道他是从哪里学来的这些。不久之后，他又教我阿拉伯占星学的原理……我12岁之后，他开始教我欧几里得《几何原本》的前六卷。

这个孩子的健康状况不是很好，想让他继承家业的期望落空了。吉罗拉莫成功说服了持怀疑态度的父亲，让他到帕维亚大学学习医学，虽然父亲更希望让他学习法律。

1494年，法国的查理八世入侵意大利，随后的战争断断续续地持续了50年。帕维亚大学因战事爆发而关闭，吉罗拉莫转到帕多瓦继续学业。无论从哪方面讲，吉罗拉莫都是一流的好学生，法齐奥去世时他正在竞选学生代表的职位。虽然很多人不喜欢他的直言不讳，但他还是以一票的优势当选上任。

也正是在这个时候，他将遗产挥霍一空，开始赌博，在混乱的余生中一直都没能戒掉赌瘾。不止如此：

我从很小的时候起就醉心于剑术，认真进行各个等级的练习。直到后来，经过不懈的训练，即使在最勇武的人当中我也有了一席之地……夜里，即使违反公爵的禁令，我也会佩剑在居住的城市中潜行……我用黑色羊毛兜帽遮住自己的脸，穿着羊皮做的鞋子……我经常整夜游荡，直到天明，流着汗，冀望着用我的乐器奏响一曲小夜曲。

这简直让人不敢想象。

在1525年获得了医学学位之后，吉罗拉莫想要加入米兰的医师学会，但是被拒绝了——名义上因为他是私生子，但其实更大程度上是因为人人都知道他处事不够圆滑。由于未能加入这个有名望的学会，吉罗拉莫便到萨科附近的村庄做了医生。这给他带来了微薄的收入，但境况时好时坏。他娶了民兵队长的女儿露西娅·班达里尼（Lucia Bandarini）为妻，搬到了离米兰更近的地方，希望多挣点儿钱以维持家用，但医师学会再一次拒绝了他。由于不能合法行医，他又重新开始赌博，但连他高超的数学专业知识都没能让他富裕起来：

或许我压根儿就不配被赞美。由于我无疑对棋盘和骰桌有着无度的痴迷，我知道我一定只配得到最严厉的谴责。多年来我两种都赌，赌棋超过四十年，赌骰子差不多二十五年；而且不只是每年赌，而且是——说出来我自己也很羞愧——每天都赌，并且会立刻失去理智、财物和时间。

最后一家人家徒四壁，家具和露西娅的首饰早就被当掉了。“我本拥有长久而光荣的事业。但我远离了荣誉和收入，却选择了无谓的炫耀和不合时宜的欢愉！我毁掉了自己！我已经死了！”

他们的第一个孩子出生了：

在经历了两次流产以及生下两个只活了四个月的男婴之后，以至于我……有时怀疑是凶星作祟，我的妻子终于产下了我的第一个儿子……他右耳失聪……左脚的两个脚趾……被一块肉膜连在一起。他的背有点儿驼，但未到畸形的程度。这个男孩平静地生活了23年。后来，他恋爱了……娶了一个没有嫁妆的妻子，名叫布兰多尼亚·迪塞罗尼。

这时，吉罗拉莫过世的父亲拯救了他们，以一种迂回婉转的方式。法齐奥的大学教职还一直空缺着，而吉罗拉莫得到了这份工作。此外，尽管没有执照，他还偶尔兼职行医。他让好几个病人起死回生——从那时的医疗状况来看，可能只是由于幸运——这给他带来了很高的名望。甚至医师学会的一些成员也向他请教医疗问题，他一度看起来终于有可能进入这个受人敬重的机构了。但是吉罗拉莫的耿直再一次让这件事打了水漂：他发表了一篇文章，尖刻抨击了学会成员的才能和素质。吉罗拉莫深知自己不善处世，但显然并不认为这是什么过错：“作为一名讲师和辩论者，我的真诚和准确远胜于审时度势。”1537年，由于不够审慎，他最新的一次申请又被驳回了。

但是他的名声越来越响亮，以至于学会最后完全没有了选择的余地，两年后他就成了其中的一员。情况开始好转，在他出版了两本数学著作之后，一切都更加顺利了。吉罗拉莫的事业在好几个方面齐头并进。

差不多就在这段时间，塔尔塔利亚取得了一个重要的突破——他成功求解了一大类三次方程。几经劝说，他很不情愿地把自己的重大发现透露给了吉罗拉莫·卡尔达诺。6年后，当塔尔塔利亚拿到一本卡尔达诺代数著作《大术：代数的法则》的抄本，发现里面完整揭露了他的秘密发现时，他的暴怒就完全不足为怪了。

卡尔达诺并未剽窃荣誉，因为他完全承认了塔尔塔利亚的贡献：

当前，博洛尼亚的希皮奥内·德尔费罗（Scipione del Ferro）解决了未知数的三次方和一次方之和等于一个常数的问题，这是一项非常优雅且了不起的成果……与之相仿的是我的朋友，布雷西亚的尼科洛·塔尔塔利亚……他在与（德尔费罗的）学生安东尼奥·玛利亚·菲奥尔（Antonio Maria Fior）的一场竞赛中解决了同样的问题，并且在我的百般恳求之下，把结果交给了我。

尽管如此，塔尔塔利亚看到自己珍贵的秘密被公之于世还是感到恼怒，更让他恼怒的是，他发现人们只会记住书的作者，而不是这个过去的秘密真正的发现者。

这是塔尔塔利亚对此事的看法，而绝大部分现存的证据都以这样的观点作为基础。理查德·威特莫（Richard Witmer）在自己翻译的《大术》中也指出：“我们几乎只依赖于塔尔塔利亚的书面描述，这无论怎么想都是不客观的。”后来，卡尔达诺的一个助手洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari）称两人那次会面时他在场，当时两人并没有定下任何保密协议。费拉里后来成了卡尔达诺的学生，他解出了——或者帮助别人解出了——四次方程，所以也并不能认为他比塔尔塔利亚更加客观。

对可怜的塔尔塔利亚来说，解法被公布给他带来的损失不仅仅是失去荣誉那么简单。在文艺复兴时期的欧洲，秘密的数学发现可以换来真金白银，方式不只有卡尔达诺喜爱的赌博，还包括公开竞赛。

人们常说，数学不是一种面向观众的竞技性活动，但是在16世纪却并非如此。那时的数学家通过在公开竞赛中相互挑战，可以过上还不错的生活。竞赛中，每个人都要给对手设置一系列问题，谁答对得多，谁就获胜。这种竞赛虽然不如徒手搏斗或者比剑刺激，但观众照样可以投注打赌谁会获胜，即便他们完全不懂题目是如何解出来的。除了奖金，胜者还可以吸引学生跟他学习，而这些学生都是要交学费的。所以公开竞赛实在是利润丰厚，一举两得。

塔尔塔利亚并不是第一个发现三次方程代数解法的人。1515年前后，博洛尼亚的教授希皮奥内·德尔费罗就解出了若干种类型的三次方程。德尔费罗去世于1526年，他的论文和教职都由女婿安尼巴莱·德尔纳韦（Annibale del Nave）继承。我们可以确切地知道这些，是因为在E.巴尔托洛蒂（E.Bartolotti）的努力下，这些论文于1970年前后在博洛尼亚大学图书馆重见天日。巴尔托洛蒂认为，德尔费罗可能发现了三类三次方程的解法，但是他只传下来其中一种：未知数的三次方加未知数等于一个数。

德尔纳韦，以及德尔费罗的学生安东尼奥·玛利亚·菲奥尔，把这一解法保存了下来。菲奥尔决心做一名数学老师，以此赚钱。他想到了一个有效的营销策略：1535年，他在一场求解三次方程的公开竞赛中向塔尔塔利亚发起了挑战。

有传闻说已经有人找到了三次方程的解法，而没有什么比得知一个问题有解更能鼓舞数学家的了。在没有答案的问题上白费功夫的风险已经被排除，如今的主要威胁仅仅是，你可能不够聪明，找不到那个必然存在的答案。你只需要强大的自信，而数学家极少缺乏自信——哪怕它其实是错误的。

塔尔塔利亚同样发现了德尔费罗的解法，但是他怀疑菲奥尔还知道其他类型三次方程的解法，从而拥有极大的优势。塔尔塔利亚在记录中表明，他为此十分担忧，终于在竞赛快要开始前解出了其余类型的三次方程。于是现在，塔尔塔利亚成了占优势的一方，并一举击败了倒霉的菲奥尔。

这场大胜的消息不胫而走，卡尔达诺在米兰听说了此事。当时他正在写他的代数著作，和所有真正的作者一样，卡尔达诺也决心要把所有最新的发现都写进书中，否则他的书在出版之前就已经过时了。所以卡尔达诺找到了塔尔塔利亚，希望能把他的解法套出来，写到自己的《大术》中去。但塔尔塔利亚拒绝了，他说他打算自己写一本书。

但是最终，卡尔达诺的坚持不懈有了回报，塔尔塔利亚吐露了秘密。他在得知卡尔达诺的书即将面世的情况下，究竟有没有要求卡尔达诺发誓保守秘密呢？还是说，他无法招架卡尔达诺的花言巧语，但后来又反悔了？

无疑，在《大术》出版后，塔尔塔利亚是极度愤怒的。没过一年，他就出版了自己的《各种问题和发明》一书，在其中毫不含糊地大力抨击了卡尔达诺。书中详细列出了他们之间所有的通信往来，内容应该与原件一字不差。

1547年，费拉里站出来支持他的主人。他发出了一份挑战书——在塔尔塔利亚关心的所有问题上向他发起辩论挑战。他甚至提供了200斯库多作为奖金。费拉里的观点很明确：“我要让人们知道，你写的东西都是造谣中伤和可耻的诽谤……与吉罗拉莫先生相比，你根本不值一提。”

费拉里将这份战书分发给了意大利的很多学者和公众人物。9天之内，塔尔塔利亚以他自己对事实的陈述作为回应，而两位数学家在18个月间你来我往，一共交换了12封挑战书。辩论似乎遵循了一场真正决斗的标准规则。受到费拉里羞辱的塔尔塔利亚被允许挑选自己的武器——辩论主题。但他坚持要和卡尔达诺辩论，而不是向他提出挑战的费拉里。

费拉里冷静地指出，无论如何都是德尔费罗而非塔尔塔利亚首先解出了三次方程。既然德尔费罗都没有因为塔尔塔利亚对这一荣誉的不当索求而大惊小怪，为什么塔尔塔利亚就不能这样呢？这是一个非常有力的论点，塔尔塔利亚或许也意识到了，因为他考虑过退出辩论。但他并没有这么做，其中一个可能的原因在于他的家乡布雷西亚的几位市议员。塔尔塔利亚正在谋求那里的一个讲师职位，而这些当地的政要可能想看看他如何为自己正名。

无论如何，塔尔塔利亚终究是同意了参加辩论。这场辩论于1548年8月在米兰的一座教堂举行，观看者众多。辩论过程没有留下任何为人所知的记录，除了塔尔塔利亚曾提到，辩论在晚餐时间匆匆结束，这暗示出这场辩论可能并不太激动人心。不过似乎结果是费拉里轻松取胜，因为之后他获得了一个肥差，成了米兰总督的估税员，不久就腰缠万贯了。而塔尔塔利亚从未声称自己赢得了辩论，也没有得到布雷西亚的那份工作，并且承受了无数的反责。

塔尔塔利亚不知道的是，卡尔达诺和费拉里采取了完全不同的防守策略。他们去了博洛尼亚，翻阅了德尔费罗的论文，包括记载首个真正的三次方程解法的那一篇。后来他们两人都坚称《大术》中的内容来自德尔费罗的原始著作，并不是塔尔塔利亚出于信任告诉卡尔达诺的，而之所以提到塔尔塔利亚只是为了记录卡尔达诺自己是如何得知了德尔费罗的著作。

但故事最后峰回路转。1570年，就在《大术》第二版发行之后不久，卡尔达诺被宗教裁判所监禁了。监禁的理由在此前看起来非常无辜：并不是因为这本书的内容，而是题献。卡尔达诺决定把书献给一个名不见经传的学者安德烈亚斯·奥西安德尔（Andreas Osiander）。此人是宗教改革中的一个小人物，但人们强烈怀疑他就是尼古拉·哥白尼《天体运行论》中一篇匿名前言的作者。《天体运行论》第一次提出了行星围绕太阳而不是地球运行的日心说，而教会把这一观点视为异端，在1600年把坚持日心说的焦尔达诺·布鲁诺活活烧死——在罗马鲜花广场把他赤身裸体地倒挂在火刑柱上，还塞住了他的嘴。1616年和后来的1633年，伽利略也因相同的原因遭受了很多苦难，不过幸好对那时的宗教裁判所来说，只对他实行软禁就足够了。

要理解吉罗拉莫和他的同胞们的成就，我们必须回顾一下解释二次方程解法的巴比伦泥板。如果按照他们的步骤计算并用现代符号表示，会发现巴比伦书吏记下的二次方程x 2 -ax=b的解实际上是

这等同于每个学生都要熟记的二次方程求根公式，现在在每一本教科书中都能找到。

文艺复兴时期的三次方程解法与此相似，但更加复杂。用现代符号表示是这样的：假设x 3 +ax=b，那么

在不断发展的公式当中，这一个还算是相对简单的（相信我！），但你需要事先掌握大量的代数概念才能把它描述得很简单。这是目前我们遇到的最复杂的公式，用到了我介绍过的全部三种符号：字母、上标数字以及符号，既有平方根也有立方根。你没必要理解这个公式本身，当然也没必要对它进行计算。但你需要了解它的一般形式。首先我要介绍几个术语，这些术语在接下来的讲述中十分有用。

像2x 4 -7x 3 -4x 2 +9这样的代数表达式叫作多项式，意思是“很多项组成的式子”。这样的表达式是由未知数的不同次幂相加构成的。2，-7，-4和9这些与未知数的幂相乘的数叫作系数。表达式中未知数最高次幂的次数叫作多项式的次数，所以这个多项式是四次多项式。多项式对应的方程2x 4 -7x 3 -4x 2 +9=0的解叫作多项式的根。

现在我们可以拆分一下卡尔达诺的公式。它由系数a和b构成，进行了一些加减乘除（但只被特定整数除，即2、4和27）。其中有两个难点：首先是平方根——实际上同一个平方根出现在了两个地方，但一个是被加上，另一个是被减去；然后是两个立方根，而且是里面包含了平方根的立方根。因此，除了简单的代数运算（我指的是移项等运算）之外，这个解的结构就是“开平方，然后开立方；重复一次；把两次的结果相加”。

这就是我们所需的全部背景知识了，但我认为这些是必须要知道的。

文艺复兴时期的数学家最初没能发现，这个公式并不只能解某一种类型的三次方程，而后来者很快就意识到了这一点。这是一个适用于所有类型三次方程的完整解，只需要增减一些简单的代数运算就可以了。从最简单的开始，如果三次项从x 3 变成5x 3 ，你只需要把整个式子除以5——这一点文艺复兴时期聪明的数学家们肯定还是能想到的。然后是一个有些微妙的想法，要想到这一点，我们对于数的理解需要经历一场无声的革命：在必要时允许系数a和b为负，这样就可以省去很多徒劳无功的方程分类。最后，还有一个纯粹的代数技巧：如果方程含有未知数的平方，你总能把它解决掉——把x替换成x加一个仔细选定的常数，如果你选对了，平方项就会神奇地消失。在这里，不区分正数和负数同样有所帮助。文艺复兴数学家担心有些缺失的项会导致不同的情况，但是用现代的眼光来看，这显然不再是问题：缺失的项并没有真的消失，只是系数为0而已。同样的公式全都适用。

问题解决了吗？

没有完全解决。我说谎了。

我的谎言在于，我说卡尔达诺的公式可以解出所有的三次方程。但是在某种层面上，这么说是不对的，而这一层面实际上还很重要。但我这个谎言也没有十分夸张，因为这全都取决于你如何理解“解出”这个词。

卡尔达诺自己也发现了难点所在，这很能说明他是个关注细节的人。三次方程一般有三个解（如果排除负数解则会更少）或一个解。卡尔达诺发现，当方程有三个解——比如1，2，3——时，公式似乎无法以可理解的方式给出这样的三个解，因为公式中开平方的部分会包含一个负数。

具体来说，卡尔达诺发现三次方程x 3 =15x+4有一个很明显的解是x=4。但当他尝试用塔尔塔利亚的公式求解时，得到了如下的“结果”：

这看起来毫无意义。

在当时的欧洲数学家中，几乎没有人有勇气去思考负数的问题，而他们的东方同行接受负数要比欧洲早得多。早在公元400年，印度的耆那教教徒就提出了基本的负数概念，而在1200年，中国的“筹算”体系就使用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数——虽然只限于某些特定的情况。

如果说负数是一个谜，那负数的平方根就更令人困惑了。难点在于正数和负数的平方都是正数 ——我不会在这里解释原因，不过只有这样，才能保证代数法则协调一致。所以即便你把负数使用得游刃有余，也必须接受它们没有合理的平方根。因此，任何含有负数的平方根的代数表达式也都是无意义的。

但是卡尔达诺根据塔尔塔利亚的公式得到的正是一个这样的表达式。如果你通过其他方式已经知道了方程的解，却无法从公式得到，那确实是极其令人不安的。

1539年，忧心忡忡的卡尔达诺向塔尔塔利亚提出了这个问题：

我已经仔细研究了很多你没有给我答案的问题的解法，其中有一题是未知数的立方等于未知数加一个常数。我确信自己已经掌握了公式，但当一次项系数的三分之一的立方在数值上大于常数项二分之一的平方时，公式给出的解就无法适用于方程了。

这里卡尔达诺所描述的正是会出现负数平方根的情况。很明显，他对整体问题的把握非常到位，并且发现了一个难关。我们不太清楚塔尔塔利亚对自己公式的理解是否也达到了同样的水平，因为他的回复是这样的：“你还没有掌握解决此类问题的正确方法……你的方法完全错误。”

可能塔尔塔利亚只是存心不愿意帮忙，也可能是他没有明白卡尔达诺指的究竟是什么。不管怎么说，卡尔达诺已经触及了在接下来250年困扰全世界数学家的难题。

即使在文艺复兴时期，也已经出现了一些迹象，表明有某些重要的事正在发生。同样的难题也出现在《大术》的另一个问题之中：找出和等于10，积等于40的两个数。得出的“答案”是5+ 和5- 。卡尔达诺发现，如果忽略-15的平方根意味着什么，而是假装它和其他的平方根一样，那么就可以验证这些“数”确实是方程的解。如果这两个数相加，平方根相互抵消，两个5相加等于10，与要求相符。如果它们相乘，会得到5 2 -（） 2 ，等于25+15，正好是40。卡尔达诺不知道该如何解释这种奇怪的运算。“因此，”他写道，“算术的精微在不断发展，极致的精致也就意味着极致的无用。”

1572年，拉斐尔·邦贝利（Rafaele Bombelli）——博洛尼亚一位羊毛商人的儿子——在自己的《代数学》一书中指出，使用类似的运算，把一个“假想的”平方根当作一个真实的数来处理，就可以把卡尔达诺古怪的解变换为正确答案x=4。他写这本书是为了打发自己的业余时间，当时他正为宗座财务署——教皇的法律和财政部门——收回一片沼泽地。邦贝利发现

以及

于是这两个奇怪的立方根的和就变成了

正好等于4。无意义的平方根通过某种方式变得有意义了，并且给出

了正确答案。邦贝利或许是第一个意识到可以对负数的平方根实施代数运算，并得到可用的结果的数学家。这强烈地表明这些数存在一个合理的解释，但具体应该如何解释我们仍然不知道。

卡尔达诺著作的最高数学成就并不是三次方程，而是四次方程。他的学生费拉里把塔尔塔利亚和德尔费罗的方法成功推广到了包含未知数四次方的方程上。费拉里的公式中只包含平方根和立方根——四次方根就是平方根的平方根，所以并不需要专门用到它。

《大术》中并没有涉及五次方程——含有未知数五次方的方程——的解。随着方程次数的增加，解法也越来越复杂，但大多数人还是相信，只要拥有足够精细的技巧，五次方程也能够被解决——你可能必须要用到五次方根，而且任何公式都会非常杂乱。

卡尔达诺并没有下功夫求解五次方程。1539年之后，他又回到了他广泛涉猎的其他活动中，尤其是医学。而此时，他的家庭生活以最可怕的方式分崩离析了：“我的（小）儿子，在结婚后不久就被指控试图毒杀仍处于产后陪护期的虚弱的妻子。2月17日他被逮捕，53天后的4月13日，他在监狱被砍了头。”当卡尔达诺努力与苦难和解时，祸不单行。“一座房子——我的房子——在短短数日之内经历了三场葬礼，是我的儿子、我的小孙女迪亚雷吉娜，以及孩子的保姆的。我那襁褓中的孙子也快要夭折了。”

尽管经历了所有这些痛苦，卡尔达诺对于人类的境况却抱持着无可救药的乐观态度：“虽然如此，我仍然拥有这么多的祝福，如果它们属于另一个人，他应该会觉得自己是幸运的吧。”