下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
醒呀！太阳驱散了群星，
暗夜从空中逃遁，
灿烂的金箭，
射中了苏丹的高翎。
对我们大多数人来说，奥马尔·海亚姆（Omar Khayyám）这个名字一直和讽刺长诗《鲁拜集》紧密地联系在一起，尤其是爱德华·菲茨杰拉德优雅的英译本。但对于数学史学家来说，海亚姆如此出名还有更重要的缘由。在西欧的学者纷纷堕入中世纪的黑暗时代，为了神学辩论而放弃了定理证明之后，是波斯和阿拉伯数学家擎起了古希腊人失掉的火把，继续推动数学向前发展，而海亚姆就是其中杰出的一位。
海亚姆的一个伟大成就，是他利用古希腊几何学的巧妙方法找到了三次方程的解。他的方法不可避免地超出了欧氏几何所默认的尺规作图的限制——因为尺规工具本来就不是针对这样的问题创造出来的。古希腊人已经强烈地察觉到了这一事实，但却无法证明，因为他们缺乏必要的视角：不是几何学，而是代数学的视角。不过海亚姆的方法并没有超出尺规作图 太远 。他依赖于一种被称为“圆锥曲线”的特殊曲线，之所以叫这个名称是因为这种曲线是由一个平面去截圆锥而得到的。
科普写作中一个传统的说法是，每多一个方程，书的销量就会减半。如果真的是这样，那可不妙了，因为如果我不把个别方程展示出来，就没有人能够理解本书中一些关键的主题了。比如下一章是关于文艺复兴时期数学家的发现的，他们找到了求解任意三次和四次方程的公式。我可以不把四次方程的公式具体展示出来，但我们无论如何也要了解一下三次方程的公式。否则，我能告诉你的就只能是这样了：“用某些数和另一些数相乘，再加上某些数，然后开平方，再加上一个数，然后开立方；之后换一些略微不同的数重复相同的步骤；最后，把两次的结果相加。哦，我忘记提了——你还得做一些除法。”
有些作者对科普书中不能包含方程的说法提出了挑战，他们甚至会写 专门关于 方程的书。他们似乎遵照了过去娱乐圈里的一句话：“如果你不幸装上了假肢，就用它来跟人打招呼吧。”在某种意义上，可以说本书就是关于方程的；但就像写一本关于山的书不需要读者去爬山一样，写一本关于方程的书也不需要读者去解方程。就算如此，如果读者从来没有见过一座山，他们可能也无法理解一本关于山的书。所以在这本书里把几个我精心挑选的方程展示出来，对你我来说都是很有帮助的。
我的基本原则很大程度上是为你着想的：“展示”方程。我只需要你 看到 方程，而不需要你对它 做 任何操作。必要的时候我会把方程拆分成几个部分，并且解释其中哪些特征对本书的叙述很重要。我 绝不会 要求你解方程或者对它做任何计算，在书中我也会尽可能地避开这些过程。
一旦熟悉了方程，你就会发现它们其实很容易理解。它们清晰、简洁，有时还很优美。关于方程的真相是，它是一种简单、明晰的语言，用来描述计算的某种流程，就像菜谱一样。我会尽量用语言来表述这些“菜谱”，或者略过不重要的细节让你明白大体上是怎么一回事。但在极少数情况下，用语言表述过于麻烦，我不得不使用一些符号。
本书中有三种重要的符号，我现在介绍其中的两种。首先是我们的老朋友x，就是“未知数”。它代表一个我们尚且不知道的数，但我们正拼命地想要求出它的值。
第二种符号是一些小的上标数字，比如 2 ， 3 或 4 。它们表示一个数与自身相乘的次数。所以5 3 就表示5×5×5，也就是125，而x 2 就表示x×x，这里的x就是我们前面所说的未知数。这些上标读作“平方”“立方”“四次方”等，统称为当前数的 乘方 或 幂 。
对于为什么要叫这样的名称，我一无所知。不过它们总要有个叫法。
要么是巴比伦人解二次方程的方法流传到了古希腊人那里，要么是这方法被古希腊人重新发现了。海伦是一位生活在公元前100年到公元100年之间亚历山大城的数学家，他用古希腊术语讨论了一个典型的巴比伦式的问题。公元100年前后，尼各马可（Nichomachus）——可能是来自朱迪亚的阿拉伯后裔——写了一本《算术入门》，其中抛弃了古希腊人用诸如长度、面积等几何量来表示数的传统。对尼各马可来说，数表示的就是自己的量，而不是什么线段的长度。尼各马可属于毕达哥拉斯学派，这体现在他的著作中：他只研究整数和整数之比，并且从来不用符号来代表数。在接下来的1 000年里，这本《算术入门》被奉为算术学的圭臬。
符号的使用是在公元500年前后，通过一位名叫丢番图的古希腊数学家的工作进入代数学的。关于丢番图我们唯一知道的就是他的寿命，而且这一点的真实性还值得怀疑。在一本古希腊代数问题合集中有这样的一个问题：“丢番图的童年占了他寿命的六分之一。经过十二分之一的寿命后，他长出了胡子。又过了七分之一，他结了婚，五年后他的儿子出生。儿子活了丢番图寿命的一半，而丢番图比儿子晚去世了四年。丢番图的寿命是多少？”
使用丢番图这位古代代数学家自己的方法或者更现代的方法，可以算出他活了84岁。这个岁数可以算是长寿了，如果这个代数问题是以事实为依据的话——但是这一点令人怀疑。
关于丢番图的生平，我们知道的就只有这么多。但关于他的著作，我们从后来的抄本以及其他文献的引述中知道了很多。他写过一本关于多边形数的书，其中一部分流传了下来。这本书沿用了欧几里得的形式，用逻辑推理来证明定理，不过这本书几乎没有数学上的意义。他的13卷本《算术》远比这本多边形数的书重要得多。多亏了13世纪的一份对于更早抄本的希腊文抄本，其中6卷才得以保存至今。在一份发现于伊朗的手稿中似乎出现了另外四卷的迹象，但不是所有的学者都相信它来源于丢番图。
《算术》由一系列的问题组成。丢番图在前言中说，这本书是他为一个学生写的练习册。他用一个特殊的符号代表未知数，并且用不同的符号——看上去是“dynamis”（平方）和“kybos”（立方）这两个单词的缩写——来表示这个未知数的平方和立方。丢番图的符号体系缺乏条理，他把两个符号相邻排列来表示它们相加（我们现在用这种方法来表示相乘），但又用一个特殊的符号表示减法。他甚至发明了自己的等号，虽然这可能是后来的抄录者添上的。
《算术》的内容大体上是关于解方程的。保存下来的第一卷探讨了线性方程；其他五卷研究了不同类型的二次方程（一般包含多个未知数），以及一些特殊的三次方程。一个重要的特征是，这些方程的解都是整数或有理数。现在我们把解位于整数或有理数范围内的方程称为“丢番图方程”。《算术》中一个典型的例题是：“找出三个数，使它们的和以及其中任意两个数的和都是一个完全平方数。”你可以尝试一下解这个问题——这绝不容易。丢番图的答案是41、80和320。这三个数的和是441=21 2 。每两个数的和是41+80=121=11 2 ，41+320=361=19 2 ，以及80+320=400=20 2 。这个解答非常巧妙。
丢番图方程在现代数论中非常重要。一个著名的例子是费马“最后的定理”
：将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者更一般地讲，将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，是不可能的。对于平方来说这很简单，早在毕达哥拉斯时期人们就已经找到了很多满足条件的数：3
2
+4
2
=5
2
或5
2
+12
2
=13
2
。但是对于立方、四次幂、五次幂，或者任何高于二次的幂来说，都找不到相应的数。大约在1650年，皮埃尔·德·费马在他自己的那本《算术》书页的空白处潦草地记下了这一猜想（他并没有给出证明，因此这一猜想虽然名为“定理”，但名不副实）。数学界花了将近350年的时间试图证明它，直到安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles），一位生活在美国的英国数论学家，最终证明了费马是正确的。
数学的历史传承有时延续得非常长久。
代数学真正登上数学的舞台是在830年，这时舞台中心已经从古希腊转移到了阿拉伯世界。那一年，天文学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子密（Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi）写了一本名为al-Jabr w'al Muqâbala的书，大致上可以译为《还原和化简的方法》，指的是一些标准的操作，可以把方程转换成易于求解的形式。这本书在12世纪的第一个拉丁文译本名为Ludus Algebrae et Almucgrabalaeque （《还原和化简的方法》），英文中表示“代数”的词algebra就来自这个译名，源自阿拉伯语的al-jabr。
花拉子密的著作当中既有受巴比伦与古希腊的前人影响的痕迹，也以600年前后印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）所提出的一些思想为基础。书中说明了线性方程和二次方程的解法。紧随花拉子密的后继者发现了一些特殊三次方程的解法。其中一位是塔比特·伊本·科拉（Tâbit ibn Qorra），他是医生、天文学家和哲学家，生活在巴格达，是一名异教徒；还有一位是活跃于埃及的哈桑·伊本·海什木（al-Hasan ibn al-Haitham），在后来的西方著作中通常被称作阿尔哈曾（Alhazen）。但是他们当中最著名的还是奥马尔·海亚姆。
奥马尔的全名是吉亚斯丁·阿布·法斯·奥马尔·伊本·易卜拉欣·内沙布里·海亚姆（Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyámi）。“al-Khayyámi”的字面意思是“制造帐篷的人”，一些学者认为这正是他的父亲易卜拉欣所做的生意。奥马尔1047年出生于波斯，在乃沙不耳度过了他高产的一生中绝大部分的时光。在地图上这里现在叫作内沙布尔，是伊朗东北部霍拉桑省靠近马什哈德的一个城市，距离伊朗与土库曼斯坦的边界很近。
在一个有名的传说（并没有已知的事实依据）中，奥马尔年轻时离开家，师从生活在乃沙不耳的著名伊玛目
莫瓦法克（Mowaffak）学习伊斯兰教义和《古兰经》。在那里他与两个同窗哈桑·沙巴（Hasan Sabah）和尼札姆·穆勒克（Nizam al-Mulk）建立了友谊。他们三个人立下约定，如果任何一个人飞黄腾达——作为莫瓦法克的学生，这很有可能——就要与另外两个人同享他的财富和权力。
几年过得飞快，转眼间这几个学生完成了学业，而他们的约定依然有效。尼札姆去了喀布尔。奥马尔没有那么大的政治野心，做了一段时间“制造帐篷的人”——这也是他的名字的另一种可能的解释。科学和数学成为他的爱好，他把几乎所有的业余时间都花在了上面。最后，尼札姆回来了，谋得了一份稳定的政府公职，成了苏丹阿尔普·阿尔斯兰（Alp Arslan）的行政长官，在乃沙不耳有一处官署。
因为尼札姆现在富贵了，奥马尔和哈桑就去找他兑现约定。尼札姆请求苏丹允许他帮助这两个朋友，获准之后他果真履行了承诺。哈桑得到了一份俸禄丰厚的公职，而奥马尔只希望能在乃沙不耳继续他的科学研究，他会在那里祈祷尼札姆健康平安。尼札姆为奥马尔安排了政府俸禄，让他可以腾出时间进行研究，就这么兑现了当年的约定。
哈桑后来因试图扳倒一位上级官员而丢掉了他的闲差，而奥马尔这边则是风平浪静，被任命到一个负责改革历法的委员会中工作。波斯历法基于太阳的运行规律，而新年第一天的日期总是无法确定，非常混乱。这份工作正需要一位有能力的数学家，而奥马尔运用他的数学和天文学知识算出了任意一年的第一天应该在什么时候到来。
差不多在同一时期，他开始动笔写《鲁拜集》，大致可以翻译为“四行诗集”。“鲁拜”（rubai）这种诗体，每一首都是一个四行的诗节，有特定的押韵格式——更准确地说，每行都只能押两种韵脚中的一种——而“鲁拜集”则是把多个这样的诗节合在一起。其中有一节很明显与他改革历法的工作相关：
啊，人说是我的计算呀，
却曾把岁时改正，
岂知那只是从历数之中，
消去了未生的明日和已死的昨晨。
奥马尔的鲁拜有着鲜明的非宗教色彩。其中很多都颂扬了酒及酒的作用，比如：
日前，茅店之门未闭，
黄昏之中来了一个安琪；
肩着的一个土壶，他叫我尝尝；
土壶里原来是——葡萄的酒浆！
也有对酒的挖苦和暗讽：
莫问是在纳霞堡
或在巴比仑，
莫问杯中的是苦汁或是芳醇，
生命的酒浆滴滴地浸漏不已，
生命的绿叶叶叶地飘堕不停。
还有些诗节嘲讽了宗教信仰，其中一节想要知道苏丹对自己家仆的看法，以及伊玛目对自己讲经成果的看法。
与此同时，蒙羞的哈桑被驱逐出了乃沙不耳，与一伙土匪混在了一起，利用自己所受的上等教育当上了他们的首领。1090年，这伙土匪在哈桑的指挥下夺取了里海南岸厄尔布尔士山中的阿拉穆特堡垒。他们盘踞于此从事恐怖活动，哈桑成了臭名昭著的“山中老人”。他的手下因为吸食哈希什（大麻的浓缩物）被称为“食哈希什者”（Hashishiyun），他们在山中建了6个堡垒，经常从中突然窜出，杀害他们精心选定的宗教人士和政治人物。他们的名称就是“刺客”（assassin）一词的来源。就这样，哈桑也用自己的方式获得了作为莫瓦法克的学生应有的财富和名声，虽然他那时已经不愿意和昔日的同窗分享他的财产了。
在奥马尔计算天文表、研究三次方程解法的时候，尼札姆继续追求着他的政治事业，而极具讽刺意味的是，他最终被哈桑的匪帮暗杀。奥马尔活到76岁，据说死于1123年。哈桑则死于次年，活了84岁。匪帮的刺客不断制造政治动荡，直到蒙古人于1256年占领了阿拉穆特才把他们荡平。
让我们回到奥马尔的数学成果上来：前350年前后，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）发现了一种特殊的曲线——“圆锥曲线”，学者认为他想要用这种曲线来解决立方倍积问题。阿基米德提出了圆锥曲线的理论，而佩尔加的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）在他的著作《圆锥曲线论》中将其系统化，并进行了延伸。而让奥马尔·海亚姆特别感兴趣的是，古希腊人发现用圆锥曲线可以求解一些特定的三次方程。
这种曲线被称为圆锥曲线是因为它可以通过用平面切割圆锥而得到，用来切割的平面被称为截面。更准确地说，被切割的是对顶圆锥，就像两个尖顶相对的圆筒冰激凌那样。单个的圆锥由一系列相交于同一点的线段构成，这些线段的另一端形成一个圆，被称为圆锥的“底面”。但在古希腊几何中，线段都可以被任意延长，于是沿着通往圆锥顶点的方向延长这些线段就会得到对顶圆锥。
圆锥曲线有三种主要的类型：椭圆、抛物线和双曲线。椭圆是一种封闭的卵形曲线，在截面只截对顶圆锥中的一个圆锥时得到。（圆是一种特殊的椭圆，在截面正好垂直于圆锥的轴时得到。）双曲线包含两条对称的开口曲线，原则上可以延伸到无穷远，在截面同时经过对顶圆锥的两个圆锥时得到。抛物线是一种过渡形态，只有一条开口曲线，截面必须平行于圆锥表面的某一条从顶点到底面的线段。
在距离圆锥顶点非常远的地方，双曲线会无限接近于两条直线，被称为渐近线。用一个与当前截面平行并且经过顶点的平面截圆锥也会得到两条直线，渐近线与这两条直线互相平行。
古希腊几何学家对圆锥曲线的全面研究构成了他们在欧几里得思想之外最重要的进展。这些曲线在当今的数学中依然十分重要，但如今数学家的关注点却与古希腊人大相径庭。从代数的观点来看，它们是仅次于直线的最简单的曲线。圆锥曲线在应用科学中也起着重要的作用。太阳系中行星的运行轨道是椭圆，这是开普勒从第谷·布拉赫对火星的观测数据中推算出来的。牛顿确立著名的万有引力“平方反比定律”所依据的观测结果之一正是椭圆轨道。这转而又让人们认识到，宇宙的某些方面呈现出清晰的数学模式。行星运动可以被计算出来，由此开创了全新的天文学。
图3-1 圆锥曲线
奥马尔现存的数学研究中的绝大部分都是关于方程理论的。他研究了两种解法。第一种解法沿袭自丢番图，被他称为“代数”解法，更好的形容应该是“算术”解法。第二种他称之为“几何”解法，意思是解可以通过几何手段，由一定的长度、面积或体积构造出来。
奥马尔灵活运用圆锥曲线，得到了任意三次方程的几何解法，并写进他于1079年完成的著作《代数学》中。由于那时候人们对负数还没有认识，要保证方程每一项的系数总是正的，就要通过移项进行不同的排列，导致必须区分大量的不同情况。而现在在我们眼中，这些情况本质上都是同一个方程，只是系数的正负号不同。奥马尔根据各项在方程左右两边的位置把三次方程划分为14种，分别是：
（立方体的）体积=（其中一个面的）面积+边长+一个数体积=面积+一个数
体积=边长+一个数
体积=一个数
体积+面积=边长+一个数
体积+面积=一个数
体积+边长=面积+一个数
体积+边长=一个数
体积+一个数=面积+边长
体积+一个数=面积
体积+一个数=边长
体积+面积+边长=一个数
体积+面积+一个数=边长
体积+边长+一个数=面积
上面列出的每种情况中各项的系数都为正。你可能会觉得奇怪，为什么没有包括下面这样的情况：
体积+面积=边长
因为，在这种情况下我们可以在方程两边约去未知数，把它降为二次方程。
奥马尔的解法并不是完全原创的，而是建立在先前古希腊人用圆锥曲线求解各种不同的三次方程的基础上。他系统地发展了前人的思想，并用其解出了上述所有的14种三次方程。奥马尔指出，以前的数学家已经找到了很多种情况下的解法，但它们都很特殊，每种情况下的解法使用的是不同的作图方法。在他之前没有人把所有可能的情况都找全，更别提求解了。“而我，正相反——我希望能精确地找出所有的情况，并区分哪些可解哪些不可解，这样的探求从来没有停止过。”他所说的“不可解”是指“没有正数解”。
为了体会一下奥马尔的方法，我们来看他如何解“一个体积，若干个边长和某数相加等于若干个面积”这一问题。我们把这个问题写作
x 3 +bx+c=ax 2 .
（因为不用考虑系数的正负，我们可以把方程右边的项移到左边，并把系数a改成-a：x 3 -ax 2 +bx+c=0。）
在奥马尔的指导下，求解应按照以下的步骤。（1）作三条长度分别为c/b、
和a的线段，其中c/b与a在一条水平直线上，
与之垂直。（2）作一个以水平线段为直径的半圆。延长竖直线段与半圆相交。用d表示加粗竖直线段的长度，如图作一条长度为cd/
的加粗水平线段。（3）作一条双曲线（加粗）经过刚刚作出的这个点，渐近线（双曲线会无限接近的特殊直线）用灰色线表示。（4）找到双曲线和半圆的交点。图中两条标为x的加粗线段的长度，就都是这个三次方程的（正数）解。
图3-2 奥马尔·海亚姆的三次方程解法
像往常一样，我们只需关注求解的整体方式，具体细节无关紧要。无非是进行一些欧几里得式的尺规作图，加入双曲线，再来一些尺规作图——结束。
奥马尔用相似的作图方法解出了全部14种情况，并证明了方法的正确性。他的分析是有漏洞的：如果系数a、b、c的值不合适，他在作图中所需的点有时会不存在。比如上述的作图方法中，双曲线可能根本不会与半圆相交。但这些都是吹毛求疵，他的工作令人钦佩，也十分系统。
奥马尔的诗中有一些数学的意象，仿佛暗指了自己的工作，同样也是以那种我们熟悉的自我贬抑的语气：
“是”与“非是”虽用几何可以证明，
“上”与“下”虽用名学可以论定，
人所欲测的一切之中，
除酒而外呀，我无所更深。
其中有一节尤其引人注意：
我们不过是活动的幻影之群，
绕着这走马灯儿来去，
在个夜半深更，
点在幻术师的手里。
这让人想起柏拉图著名的洞穴之喻
。除了人类的境况，它同样很好地描述了代数学中的符号操作。对于这两者，奥马尔都是天才的记录者。