02．家喻户晓的名字

很多古代最伟大的数学家都生活在古埃及的亚历山大城，一座发源于尼罗河西岸五个丰饶的绿洲之中的城市。这几个绿洲散布在埃及的西部沙漠之中，其中之一是锡瓦绿洲，因其冬涨夏落的盐湖而闻名。盐对土壤造成了污染，也给考古学家带来了很大的麻烦，因为这些盐渗入了古代的岩石和泥砖遗迹之中，逐渐毁坏了建筑物的结构。

锡瓦最著名的旅游景点是阿古米，一座从前供奉阿蒙神的神庙。阿蒙神太过神圣，以至于他的形象完全是抽象的，但他与另一个更加具象的实体——太阳有关，也是太阳神“拉”的由来。锡瓦的阿蒙神庙建于埃及第二十六王朝，在神庙中显现的著名的神谕，与两个重大的历史事件都有关联。

第一个历史事件是冈比西斯二世军团的覆灭，他是征服了埃及的波斯国王。据说前523年，冈比西斯二世想利用阿蒙神的神谕使他的统治合法化，于是向西部沙漠中派遣了一支军团。军团抵达了巴哈利亚绿洲，但却在前往锡瓦的途中被一场沙尘暴所灭。很多埃及学学者怀疑“冈比西斯失落的军团”只是一个神话，但在2000年，阿勒旺大学的一支石油勘探队在这一地区发现了一些残存的纺织品、金属以及人类遗骸，猜想这些可能正是那支失落的军团的遗存。

第二个事件发生在两百年之后，是真实的历史事件：亚历山大大帝到访了锡瓦，这是一次意义重大的朝圣，他和冈比西斯二世一样，都希望通过阿蒙神的神谕来确立自己的统治合法性。

亚历山大是马其顿国王腓力二世的儿子。腓力的女儿，马其顿的克莱奥帕特拉，嫁给了伊庇鲁斯的国王亚历山大一世，而腓力二世在这两人的婚礼上遇刺身亡。有人认为凶手是腓力的同性情人保萨尼亚斯，他因为国王对他的抱怨和诉求不予理睬而心怀不满。也有人认为这是波斯国王大流士三世设计的一个阴谋，假如是这样的话，这个阴谋的结果适得其反，因为马其顿军队迅速宣布亚历山大为新的国王，而今天的我们都知道，这位20岁的君主接下来征服了几乎所有的已知世界，其中包括在前332年兵不血刃地征服了埃及。

为了证明他作为法老的资格，从而巩固他在埃及的统治，亚历山大前往锡瓦朝圣，向神谕请求确认自己的神性。他独自一人拜受了神谕，在返程途中宣布了神谕的裁定：是的，神谕确认他的确是一个神。这一裁定成为他统治权力的主要来源。后来，有谣言称神谕显示他为宙斯之子。

我们并不清楚埃及人是真的信服了这种薄弱的证据，还是只是发现在亚历山大控制的庞大军队面前，赞同他的说辞是明智的。或许他们厌恶波斯人的统治，认为选择亚历山大是两害相权取其轻——在埃及前首都孟菲斯，人们正是由于这个原因对亚历山大敞开了怀抱。无论历史背后的真相如何，从那时起，埃及人便拥戴亚历山大为他们的国王。

在去锡瓦的途中，亚历山大看中了一片在地中海和后来被称为马留提斯湖的湖泊之间的埃及领土，决定在那里建造一座城市。这座城市被他“谦虚地”命名为亚历山大城，由希腊建筑师狄诺克拉底根据亚历山大自己绘制的基本蓝图设计建造。一些人认为这座城市诞生于前331年4月7日；另一些人对此提出了质疑，认为日期应该接近前334年。亚历山大没有来得及看到他创造的城市：他第二次去的时候，是被埋葬在那里的时候。

这些久负盛名的传奇就这样一直流传着，而事实真相却可能更为复杂。现在看来，那座后来变成亚历山大城的城市的绝大部分在亚历山大到来时就已经存在了。埃及学学者很早就发现，很多铭文并不是那么可靠。比如卡纳克大神庙，被拉美西斯二世到处刻满了旋涡装饰图案。但神庙的大部分都是他的父亲塞提一世建造的，而且在拉美西斯的铭文下面就能看到塞提的铭文痕迹，有时还很清晰。这种篡夺很常见，甚至并不算是失敬的行为。相反，“污损”前任的雕像——比如划坏法老雕像的面部——绝对是极其不尊重的做法，因为毁坏前任的身份象征是在故意剥夺他在死后世界的地位。

亚历山大在古亚历山大城的建筑上刻满了他的名字。可以说，他把名字刻进了城市本身。其他法老只是篡夺了过去的建筑或纪念碑，而亚历山大篡夺了整座城市。

亚历山大城成了一个重要的港口，通过尼罗河支流与一条运河连接红海，从此通往印度洋和远东地区。这里以一座著名的图书馆成为知识的中心。此外，这里还诞生了历史上影响最为深远的数学家之一：几何学家欧几里得。

我们对亚历山大的了解比对欧几里得多得多，虽然欧几里得对人类文明的长远影响可以说远大于亚历山大。如果在数学领域存在一个家喻户晓的名字，那一定是“欧几里得”。我们对欧几里得的生平所知甚少，但对他的著作却很熟悉。几个世纪当中，数学和欧几里得在整个西方世界几乎就是同义词。

为什么欧几里得如此著名？有的数学家比他更伟大，也有的比他更重要。但在将近2 000年间，整个西欧所有学数学的学生都知道欧几里得的名字，阿拉伯世界也是如此，虽然程度略小。他是有史以来最著名的数学著作之一——《几何原本》——的作者。印刷术发明后，这部著作是最早以印刷形式出版的图书之一，发行了超过1 000个不同的版本，数目仅次于《圣经》。

我们对欧几里得的了解比对荷马还是多一点儿的。欧几里得于大约前325年在亚历山大城出生，于大约前265年去世。

刚说出这些话，我便不安地意识到应该把它们收回。欧几里得是真实存在过的人，并且是《几何原本》的唯一作者，这只是三种说法中的一种。第二种说法是存在他这个人，但他并不是《几何原本》的作者，至少不是唯一的作者。他可能只是一个数学家小组的领导者，《几何原本》是这个小组合写的。第三种说法——争议很大，但仍然是有可能的——是存在这样一个写作小组，他们用“欧几里得”作为集体的笔名，与20世纪中叶那个大部分由法国的年轻数学家组成、以“尼古拉·布尔巴基”（Nicolas Bourbaki）这个名字发表作品的小组 类似。尽管如此，这当中最有可能的似乎还是欧几里得真实存在过，他是单独的一个人（而非小组），并且独自写作了《几何原本》。

这并不是说这本书中所有的数学内容都是欧几里得一个人的发现。他所做的其实是对古希腊大量的数学知识进行了收集和编纂。他把前人的知识借来，为后人留下丰富的遗产，也以此确立了自己在这一学科中的权威。《几何原本》一般被视为一本几何学著作，但其中也有关于数论和某种原型代数的内容——这些都是以几何学的形式呈现的。

关于欧几里得的生平我们知道的很少。后世的评注中包含了一些关于他的零星信息，但是都没有得到现代学者的证实。评注者说，欧几里得在亚历山大城教书，通常据此可以推断他出生于那里，但我们并不确切知道这一点。450年，在他去世700多年以后，哲学家普罗克洛斯在一本对欧几里得数学的详尽评注中写道：

欧几里得……集合了《几何原本》，按序整理了欧多克索斯的很多定理，完善了泰阿泰德的很多定理，并且对那些只经过前人松散证明的内容进行了无可辩驳的论证。欧几里得生活在托勒密一世时期；因为阿基米德生活于紧随托勒密一世之后的时代，而他曾提到过欧几里得。而且，据说国王托勒密曾经向欧几里得询问有没有除了《几何原本》之外学习几何学的捷径，欧几里得答道：“在几何学中没有‘御道’。”因此，他比柏拉图等人年轻，又比埃拉托色尼和阿基米德年长，因为埃拉托色尼曾在某处提到，他和阿基米德是同辈。欧几里得追求柏拉图主义，由此他将《几何原本》的最后一卷全部用来描述所谓的柏拉图立方体 的构造方法，这与他的哲学观念是一致的。

《几何原本》中对一些问题的处理方法提供了不算直接但强有力的证据，表明欧几里得某个时候一定在雅典的柏拉图学园学习过。有很多知识只有在那儿才能学到，比如欧多克索斯和泰阿泰德的几何学。而对于他的性格，我们只能从帕普斯的只言片语中了解到，他笔下的欧几里得“非常公正，并且很喜欢那些不论通过何种方式推动数学发展的人，为人谨慎，从不冒犯他人，虽然是一位当之无愧的学者，却从不骄矜自负”。有一些逸事流传了下来，比如斯托比亚斯记述的这一个：欧几里得的一个学生问他学习几何能得到什么回报，他就叫来仆人说，“给他一枚硬币吧，因为他一定要从学习中获利”。

古希腊人对待数学的态度与巴比伦人或古埃及人有着很大的区别。后两者很大程度上注重数学的实用性，即便“实用”可能指的是对齐金字塔的轴线，让法老的灵魂（ka）能够升向天狼星的方向。但对于古希腊的数学家来说，数学并不是偶尔用来支持神秘信仰的工具，它就是信仰的中心。

亚里士多德和柏拉图都提到过一个以毕达哥拉斯为中心的学派，他们活跃于大约前550年，认为数学，尤其是数，是万物的基础。这一学派发展出了关于宇宙和谐的神秘思想，一部分是基于他们发现了弦乐器上的和谐音符之间遵循着简单的数学模式。如果一根弦发出某个音，那么其一半长度的弦就会发出比前者高八度的音——这两个音构成的音程是最和谐的。他们研究了各种有规律的数，特别是多边形数，这些数目的物体可以排成正多边形。例如，“三角形数”1、3、6、10可以排成三角形，“正方形数”1、4、9、16可以排成正方形，见图2-1。

毕达哥拉斯学派信奉某些狂热的数学命理学——比如认为2是雄性的，而3是雌性的——但是他们这种认为自然的深层结构具有数学性的观念一直延续至今，成为大多数理论科学的基础。虽然古希腊几何学后来不再那么神秘，但古希腊人普遍认为数学的终极目标就是它自身，它是哲学的一个分支，而非一种工具。

我们有理由相信，古希腊数学做到的还远不止这些。可以确信的是，可能曾经是欧几里得学生的阿基米德，利用他的数学才能为战争设计过功能强大的机械和引擎。极少数遗留下来的复杂的古希腊机械装置设计巧妙、制造精确，暗示着古希腊拥有高度发达的制造工艺传统——这就是“应用数学”的古老版本。最有名的例子可能是在安提基特拉小岛附近的海中发现的机械装置，它被用于天文现象的测算，由一大堆相互咬合的齿轮以复杂的方式组装而成。

欧几里得的《几何原本》很符合古希腊数学这种阳春白雪的观念——可能是因为这种观念很大程度上就是以《几何原本》为基础发展出来的。《几何原本》侧重于逻辑和证明，并没有实际应用的迹象。它对我们这本书最重要的地方不在于它已经涵盖的部分，而在于它没有涉及的内容。

欧几里得做出了两项伟大的创新。第一是提出了证明的概念：一个数学命题只有根据一系列逻辑步骤从一个已知为真的命题推导出来，才能被他认定为真命题。第二则是认识到任何证明过程一定都开始于某个初始命题，但这个初始命题却无法被证明。所以欧几里得预先陈述了五条基本假设（即公设）作为之后所有推论的基础。其中四条简单明了：过两点能且只能作一直线；线段可以无限延长；以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆；凡是直角都彼此相等。

但第五条公设却很不一样。它冗长而复杂，内容又完全称不上有多么合理或者显然。它主要的推论是平行线的存在——平行线是两条向同一方向无限延伸但永不相交的直线，永远保持相等的距离，就像无限长的笔直公路两侧的人行道一样。欧几里得实际的表述是，若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一侧的内角之和小于两个直角之和，则这两条直线在这一侧必定相交。后来数学家发现，这一假设在逻辑上等价于通过（直线外）一点有且仅有一条该直线的平行线。

几百年来，第五公设一直被认为是一个瑕疵——要么可以通过其他四条公设推出它，从而去掉它，要么可以用更简单的、像其他公设一样显然的命题代替它。到了19世纪，数学家才认识到欧几里得加入第五公设是完全正确的，因为他们可以证明它确实无法从其他公设推导出来。

对欧几里得来说，逻辑证明是几何学的基本特征，而时至今日，它也一直是整个数学的基础。一个缺少证明的命题，不论它有多少间接证据的支持，也不管它的推论可能有多么重大的意义，一定是存疑的。而物理学家、工程师和天文学家则有些瞧不起证明，觉得它学究气，而且只是皮毛而非根本，因为他们有一种十分有效的办法可以代替证明：观察。

例如，设想一个天文学家想要计算月球的运行轨迹。他会写下决定月球运动的数学方程，然后可能就会陷入僵局，因为似乎找不到精确求解的方法。因此天文学家可能会随意修改方程，引入各种用来简化的近似。数学家会担心这些近似可能会严重影响最后的结果，于是想要证明它们不会带来麻烦。而天文学家则有一种完全不同的办法来检验他的近似是否合理。他可以观测月球是否沿着他计算的轨迹运行。如果是，这就验证了他的方法是正确的（因为得到了正确的结果），同时也证实了背后的理论（同理）。这并不是循环论证，因为一种在数学上不成立的方法几乎不可能预测出正确的月球运动轨迹。

没有观察和实验这样的奢侈条件，数学家只能依靠内在逻辑验证他们的理论。一个命题的推论意义越重大，就越需要证明这一命题为真。所以当人们都希望一个命题为真，或者一个命题 如果为真 会导出重要推论的时候，证明就变得尤为关键。

证明不能凭空得来，也不能沿着先前的逻辑无限地回溯上去。它们必须以一个未加证明的初始假设作为起点，而按照定义，初始假设也不需要证明。如今我们把这类未被证明的初始假设称作 公理 。公理就是数学的游戏规则。

任何不认同公理的人只要愿意，是可以修改公理的，但修改公理以后，这部分数学就完全变成另一种游戏了。数学本身并不宣称某个命题为 真 ：它只宣称，如果我们做出了种种假设，那么这个命题一定是来自假设的逻辑推论。但这并不是说公理是无法撼动的。数学家会争论某个公理体系是否比另外一个更适用于某种目的，或者一个公理体系是否具有本质上的优点和趣味。但是这些讨论与基于任何一个特定公理体系的数学游戏的内在逻辑无关，而是关于哪些游戏更有价值、更有趣、更好玩。

从欧几里得的公理中推出的结果——他长长的、精挑细选的逻辑推理链条——产生了无比深远的影响。例如，他以那个时代无可挑剔的逻辑，证明了但凡承认他的公理就必然可以得出以下这些结论：

· 直角三角形斜边上的正方形面积等于这个三角形另外两条边上正方形的面积之和。

· 存在无穷多个素数。

· 存在无理数（不能用分数准确表示的数），比如2的平方根。

· 有且仅有5种正多面体：正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

· 可以用尺规把任意一个角分为相等的两份。

· 可以用尺规作出3条、4条、5条、6条、8条、10条和12条边的正多边形。

我用现代的方式表述了这些“定理”——定理就是得到了证明的数学命题。不过，欧几里得采取的视角与我们有着很大区别：他并不直接研究数本身。我们眼中的数的性质在欧几里得那里都是用长度、面积和体积来表述的。

《几何原本》的内容主要分为两类。一类是定理，告诉你某些东西是正确的。另一类是作图，告诉你如何作出某些东西。

一个典型而著名的定理是第一卷的命题47，一般被称为毕达哥拉斯定理。这条定理告诉我们，直角三角形的最长边与另外两条边满足一种特殊关系。但是如果不做进一步的引申和解释，它并不会给出实现某个结果的方法。

而在本书中起到重要作用的一种作图则是第一卷的命题9，在这个命题中，欧几里得解决了“二等分角”的问题。在古代有限的技术条件下，欧几里得二等分角的方法可以说是十分简单同时又很巧妙了。

（1）给定两条线段的夹角；（2）以线段的交点为圆心用圆规作一个圆，这个圆与两条线段各自有一个交点（黑色圆点）；（3）分别以这两个交点为圆心作两个半径相等的圆，这两个圆又有两个交点（这里标出了其中一个）；（4）这两个点都在我们要作的角平分线（虚线）上。

照此步骤重复作图，就可以把一个角四等分、八等分，或者十六等分——每重复一次，等分的数目就增加一倍，于是我们就得到了2的任意次幂，即2、4、8、16、32、64等数目的等分角。

我前面提到过，《几何原本》对我们的故事影响最大的地方不在于它涉及的内容，而在于它没有涉及的内容。欧几里得没有给出以下问题的解决方法：

· 把一个角分为相等的三份（“三等分角”）。

· 作一个正七边形。

· 作一条长度与给定圆的周长相等的线段（“圆周求长”）。

· 作一个与给定圆面积相等的正方形（“化圆为方”）。

· 作一个立方体，使其体积是给定立方体的两倍（“立方倍积”）。

有人说，古希腊人自己把欧几里得不朽巨著中的这些疏漏视为瑕疵，并付出了很多努力予以修补。但数学史研究者几乎没有找到支持这一说法的证据。事实上，上述问题古希腊人都能解决，但只能使用欧几里得体系之外的方法来解决。欧几里得的所有作图方法都只使用了一把没有刻度的直尺和一把圆规。而古希腊几何学家可以用一种被称为圆锥曲线的特殊曲线三等分角；他们还可以用另一种被称为割圆曲线的特殊曲线化圆为方。另一方面，他们似乎并没有意识到，如果可以三等分角，就可以作出正七边形。（我指的 就是 正七边形。有了三等分角可以很容易地作出正九边形，但也有一种非常巧妙的方法可以作出正七边形。）事实上，他们显然完全没有跟进三等分角的后续研究。他们似乎无心于此。

后来，数学家开始用一种完全不同的视角看待欧几里得留下的这些疏漏。他们不再寻找新的工具来解决这些问题，而是开始思考如果只用欧几里得有限的工具——直尺和圆规——可以得到哪些结果（而且不允许用带刻度的直尺作弊：古希腊人早就知道，使用滑尺与两个对齐刻度的“纽西斯作图法”可以准确有效地三等分角。其中一种方法是阿基米德发明的）。搞清楚什么样的结果可以或不可以用尺规作图得到，并给出相应的证明，花费了很长时间。直到19世纪末我们才终于确认，上述的问题全部无法仅用尺规作图来解决。

这是一个重大的进步。数学家不再去证明某种特定方法可以解决某个特定问题，而是尝试去证明它的反面，一个很强的命题：没有任何一种这样那样的方法能解决这样那样的问题。数学家开始认识到数学中固有的局限性。数学家哪怕只是开始表述这些局限性，就标志着一种奇妙的转变，他们可以证明这些 的确是 真正的局限性了。

为了避免误解，我想指出三等分角问题的几个重点。

首先，作图必须是 精确 的。这是古希腊理想化的几何形式所设定的严苛条件，在这样的理想体系中，直线没有宽度，点没有大小。要求把一个角分为 严格 相等的三部分，意味着这三部分不只到小数点后十位、后百位或者后十亿位的数字彼此相等，而是到 无限位 的数字都相等，即三等分的作图必须是无限精确的。不过也正是出于同样的原则，我们可以把圆规的一脚无限精确地放置在任何一个已经给出的，或者之后会被作出的点上；可以让圆规的半径无限精确地等于任意两点之间的距离；也可以画一条 无限精确 地穿过两点的直线。

但这些情况在混乱的现实中都不成立。那么欧几里得的几何学在现实生活中就没有用处了吗？当然不是。举例来说，如果你用一把真的圆规在一张真的纸上按照欧几里得的命题9作图，你会得到一条相当不错的角平分线。在计算机绘图发明以前，制图人员在工程图纸中都是这样平分角的。理想化并不是缺陷，而是数学得以指导现实生活的主要原因。在理想模型中进行逻辑推论是可能的，因为我们确切地知道对象具有哪些性质。但混乱的现实世界不是这样的。

但理想化也有其局限性，有时会让模型不适用于现实的情况。比如，无限细的直线就不如油漆刷出的粗线适合用来在马路上标记车道。模型必须针对合适的现实背景。欧几里得的模型针对的是帮助我们找出几何命题之间的逻辑依赖关系。它也有可能帮助我们理解现实世界，但这只是额外收获，绝不是欧几里得思想的核心。

下一个重点与上述讨论相关，但指向截然不同的方向。作图将一个角在百分之一或十万分之一的误差下近似地三等分，是完全没有问题的。误差水平是铅笔线宽度千分之一的话，对于工程制图来说完全足够了。但数学上的问题是要进行理想的三等分。任意一个角都能够被 无限精确 地三等分吗？答案是“不能”。

一个常见的说法是“无解是不能被证明的”，但数学家知道这是在胡说八道。无解自有其迷人之处，尤其是需要新的方法来证明它们的时候。那些方法往往比从正面求解更强大，也更有趣。当有人发明了一种新的方法来区分哪些图形可以用尺规作出而哪些不能的时候，你就拥有了 全新的视角 。随之而来的是全新的思想、全新的问题、全新的解法，以及全新的数学理论和工具。

人无法使用未被创造出来的工具。如果没有手机，你不可能用手机给朋友打电话。如果没有农业的发明或者火的发现，你也不可能吃到菠菜舒芙蕾。所以创造工具至少和解决问题一样重要。

角的等分与另一个更加优美的问题紧密相关：作正多边形。

多边形（英语polygon，来自希腊文“很多个角”的意思）是由线段构成的封闭图形。三角形、正方形、长方形、像◇这样的菱形，都是多边形。圆不是多边形，因为它的“边”是曲线，而不是一系列的线段。如果一个多边形的所有边长都相等，所有邻边组成的夹角也都相等，那么它就是一个正多边形。以下分别是3、4、5、6、7、8条边的正多边形：

它们的专业名称分别叫作等边三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形和正八边形。而在讨论正65 537边形（我们在本书中确实会碰到它！）的时候，采用阿拉伯数字表示边数显然更为方便。

对于哪些正多边形可以由尺规作出，欧几里得和他的前辈们一定进行过大量的思考，因为他给出了很多正多边形的作图方法。这实际上是一个令人着迷而又十分棘手的问题。古希腊人知道如何作出

3，4，5，6，8，10，12，15，16，20

条边的正多边形。而我们现在知道

7，9，11，13，14，18，19

条边的正多边形是无法被作出的。在上面这些数中，唯独17没有出

现。我们会在适当的时候讲到正十七边形，它的重要性是多方面的，不只体现在数学上。

在谈论几何问题的时候，什么都代替不了用真正的直尺和圆规在纸上把图形作出来的感觉。通过实际的作图，你可以体会到几何对象是如何组合在一起的。接下来我会向你介绍我最喜欢的作图过程——作正六边形（见图2-7）。这是我从20世纪50年代末我叔叔给我的一本叫作《凡人必度量》（Man Must Measure）的书中学到的，这本书非常有趣。

把圆规的半径自始至终固定为一个值，这样所有圆的大小就都是相等的。（1）作一个圆。（2）在这个圆的圆周上任取一点，以之为圆心再作一个圆，与初始圆相交于两个新的交点。（3）以这两个新的交点为圆心再作两个圆，它们又与初始圆交于两个新的交点。（4）再以 最新的这两个交点 为圆心作两个圆，这两个圆与初始圆的交点是同一个点。现在，把初始圆上的这六个点相连，就可以得到一个正六边形。如果追求美感（在数学上并不必要）的话，可以再进行第（5）步把图形补充完整：以第六个交点为圆心再作一个圆。此时六个圆共同相交于初始圆的圆心，组成了花朵的图案，优美动人。

欧几里得的方法与这个很相似，更加简单，但没有这么漂亮。他还 证明了 他的方法的可行性，就在《几何原本》第四卷的命题15当中。 dLUG3IQQ6FcV71g0OX9EVa7nk9ye3noYqtOWXcB9J8AonMeVyaQ+kex+ujpkK2DF