01．巴比伦的书吏

横贯如今被称为伊拉克的地区，两条世界上最著名的河流奔腾而过，在它们的流域，一个个引人瞩目的文明由此兴起。这两条河发源于土耳其东部的山区，流经上百英里的肥沃平原，之后合流，并最终注入波斯湾。在西南方向，它们以阿拉伯高原的干旱沙漠地带为界；在东北方向，以荒凉的前托鲁斯山脉和扎格罗斯山脉为界。这两条河就是底格里斯河与幼发拉底河，4 000年前，它们流过了当时属于亚述文明、阿卡德文明与苏美尔文明的古老土地，流经的路线与今天相差无几。

对考古学家来说，位于底格里斯河与幼发拉底河之间的地区叫作美索不达米亚地区，是希腊语“河流之间”的意思。这一地区通常被称为文明的摇篮，这个称号名副其实。河流为平原带来了水源，而水源让平原变得肥沃。丰富的植被引来了羊群和鹿群，继而引来了食肉动物，包括狩猎的人类。美索不达米亚平原是狩猎采集部落的伊甸园，也是游牧部落的聚集地。

事实上，这里的土地是如此肥沃，以至于狩猎采集的生活方式最终被淘汰，取而代之的是一种更加有效的觅食策略。大约前9000年，在新月沃地 以北不远的小山中，诞生了一项革命性的技术：农业。紧接着，人类社会发生了两个根本的变革：为照看庄稼而定居下来，以及得以维持大量人口的可能性。在二者共同的作用下，城市得以出现，而我们现在在美索不达米亚仍然能够找到当时的遗迹，它们来自一些世界上最早的强大城邦：尼尼微、尼姆鲁德、尼普尔、乌鲁克、拉格什、埃利都、乌尔，还有最重要的、建起空中花园和巴别塔的地方——巴比伦。4 000年前，在农业革命势不可当的推动下，这里形成了有组织的社会，出现了政府、官僚和军队等相关标志。前2000年到前500年，这个文明在幼发拉底河沿岸繁荣发展起来，人们笼统地依据其首都的名字称之为“巴比伦文明”。不过广义的“巴比伦文明”还包括苏美尔文明和阿卡德文明。实际上，最早提及巴比伦的已知记载出现在前2250年阿卡德萨尔贡大帝的一块泥板上，而巴比伦人的起源则可能还要再往前追溯两三千年。

“文明”一词意味着人们在定居下来的社会中有组织地生活，而对于文明的起源，我们知之甚少。尽管如此，我们现代世界中的很多方面似乎都应该归功于古巴比伦人。尤其是，古巴比伦人是优秀的天文学家，我们现在的黄道十二宫、一圈为360度，以及一分钟为60秒、一小时为60分钟这些约定俗成的单位划分，都可以追溯到他们的贡献。巴比伦人需要用这些测量单位来研究天文学，而数学服务于天文学有着悠久的历史传统。因此，他们也必须成为数学专家。

同我们一样，巴比伦人也在学校里学习数学。

“今天上什么课？”纳布问道，把自带的午饭放在座位旁。他妈妈总是给他准备不少面包和肉——一般是羊肉。有时候她也会放上一块奶酪来丰富一下。

“数学，”纳布的朋友伽美什沮丧地回答，“为什么不是法律？法律我至少能听懂。”

擅长数学的纳布从来不太能理解为什么同学们都觉得数学很难。“伽美什，你难道不觉得法律很枯燥吗？要把所有现有的法律用语都抄下来，还要背熟。”

伽美什笑了，坚强的毅力和好记性正是他的强项。“不，这很简单，你不用 动脑子 。”

“这正是我觉得它枯燥的地方啊，”纳布说，“而数学——”

“根本学不会，”胡姆巴巴插了进来，他才刚刚来到“泥板书舍”，一如往常地迟到了。“我说，纳布，这道题该怎么做啊？”他指着自己泥板上的一道作业题。“把一个数和它自己相乘，再加上它的两倍，结果是24。这个数是多少啊？”

“是4。”纳布回答。

“真的吗？”伽美什问。胡姆巴巴又说：“是，这个我知道，但你是怎么 得出来 的呢？”

纳布艰难地带着两个朋友把上周数学老师教给他们的演算过程仔细捋了一遍。“24加上2的一半，等于25。开平方得到5——”

伽美什举起双手，显得很困惑。“我从来就没有真正搞明白开平方是怎么一回事，纳布。”

“啊哈！”纳布说，“我们有进展了！”两个朋友看他的眼神好像他疯了一样。“你的问题不是解方程，伽美什。而是开平方！”

“都有问题。”伽美什咕哝着。

“但你首先遇到的是开平方。想掌握一门知识你必须一步一步来，泥板书舍的院长一直这么告诉我们。”

“他还一直让我们不要把土弄到衣服上呢，”胡姆巴巴反驳道，“但我们从来不听——”

“这不一样。这是——”

“ 没有用的 ！”伽美什哀嚎道，“我怎么也不可能成为书吏的，我爸爸会狠狠打我，打到我屁股都坐不下去，妈妈则会用她那副乞求的表情看着我，让我为了家庭努力学习。但我就是学不进去数学！法律我就能记住。它很有意思！‘一位先生的妻子因为另一个男人的原因导致其丈夫死亡，她就应该被钉在木桩上’这种才是我认为值得学的东西，不是开平方之类莫名其妙的东西。”他停下来喘了口气，双手因情绪激动而颤抖。“这些方程和数——我们 何苦 呢？”

“因为它们有用，”胡姆巴巴回答道，“还记得那些割掉奴隶耳朵的法律吗？”

“当然！”伽美什说，“是对侵犯的处罚。”

“毁掉平民的一只眼睛，”胡姆巴巴提示道，“你要赔偿他——”

“一个银 米纳 。”伽美什说。

“打断了奴隶的一根骨头呢？”

“赔偿他的主人这个奴隶价格的一半。”

胡姆巴巴开始收网：“所以，如果一个奴隶值60谢克尔，你就必须能算出60的一半是多少。如果你想执法，就得会数学！”

“是30。”伽美什立即回答道。

“看见了吧！”纳布大喊，“你会数学啊！”

“算这个才 用不着 数学呢，这个怎么算是显而易见的。”这位未来的律师在空气中用力挥舞着双臂，想要发泄他激烈的情绪，“如果是关于现实生活的问题，纳布，那没问题，这样的数学我会做。但绝不是开平方这种人为制造出来的问题。”

“你测量土地的时候就需要开平方。”胡姆巴巴说。

“没错，但我上学不是为了当税务员，我爸爸希望我能当一名书吏，”伽美什指出，“就像他一样。所以我不明白为什么我必须要学这些数学知识。”

“因为它有用。”胡姆巴巴重复道。

“我觉得这不是真正的原因，”纳布轻轻地说，“我觉得数学是关于真与美的学问，是得到一个答案的同时也知道它是正确的。”但朋友们的表情告诉他，他们并不信服这个说法。

“对我来说，数学是得到一个答案的同时就知道它是错误的。”伽美什叹了口气。

“数学很重要，是因为它真实而优美。”纳布坚持道，“开平方是解方程的基础。它们可能没什么用，但是无所谓。它们本身就很重要。”

伽美什刚要说出激烈的反驳言论，就发现老师走进了教室，于是他用一声突然的咳嗽掩盖了自己的尴尬。

“同学们好！”老师欢快地说。

“老师好。”

“让我看看你们的作业。”

伽美什叹了口气。胡姆巴巴看起来也在发愁。而纳布却不动声色。还是这样更好。

我们刚刚偷听的这场谈话——暂且不管它完全是虚构的——当中最惊人的事实也许是，它发生在大约前1100年，发生在传奇中的城市巴比伦。

我只是说这番对话 有可能 发生。并没有关于三个名叫纳布、伽美什和胡姆巴巴的男孩存在的任何证据，更别提他们之间对话的记录了。但几千年来，人性是一样的，而且我这个故事的事实背景也有着坚如磐石的证据支持。

我们之所以对巴比伦文明了解这么多，是因为他们把各种记录都用奇怪的楔子一样的字体——被称为楔形文字——写在了潮湿的黏土泥板上。当黏土被巴比伦的阳光晒干晒硬，这些刻在上面的文字就不会被毁坏了。如果存放泥板的建筑物不小心着火——这种情况时有发生——黏土就被烧制成了陶器，甚至能保存得更加长久。

沙漠最终掩埋了一切，这些记录会被永久地保存下去。巴比伦就这样成了有文字记载的历史开始的地方。人类对于对称性的理解也始于此。对称性在这个过程中逐步演化为一套系统化、量化的理论，这套理论是关于对称性的“微积分”，在各方面都不亚于艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的微积分。如果有一台时光机，甚至只是一些更古老的泥板，我们无疑都会追溯得更早。但是就现有的历史记载揭示的情况来看，是巴比伦数学开启了人类对于对称性的探索，并且对我们如何看待物理世界也产生了深远的影响。

数学以数为基础，但并不局限于数。巴比伦人拥有一套行之有效的符号系统，与我们使用的“十进制”（以10的幂为基础）不同，他们使用“六十进制”（以60的幂为基础）。他们也知道直角三角形，知道类似于现在被称为毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的东西，但是巴比伦数学家似乎并没有像他们的古希腊后人那样，用逻辑证明去支持他们基于经验的发现。他们将数学用于更崇高的天文学（大概是由于农业和宗教上的原因），也用于普通的交易与税收事务。数学思想的双重角色——既能揭示自然界的规律，又能协助人类处理事务——如一根金线般贯穿了整个数学史。

有关巴比伦数学家最重要的一点，是他们开始理解如何解方程。

方程是数学家根据间接证据求解出某个未知数值的方法。“给出关于一个未知数的已知条件，求这个未知数。”可以说，方程就是关于一个数的谜语。我们不知道这个数是多少，但知道与之相关的一些有用信息，而我们的任务就是找到这个未知数，从而解开这个谜语。这个游戏看起来好像和对称性这一几何上的概念相去甚远，但是在数学中，一种问题背景下取得的发现往往能够在完全不同的背景下产生启发。正是这种相互连通给数学赋予了如此强大的智识力量。这也是为什么，一个为商业目的而发明的计数体系也可以向古人揭示行星乃至恒星的运动规律。

这个谜语可能很简单。“一个数的两倍等于60，这个数是几？”即使你不是天才，你也一样能得出这个未知数是30。它也可能会难很多：“一个数乘以它自己，再加上25，结果是这个数的10倍。这个数是几？”不断试错之后你可能会发现答案是5，但试错是一种效率很低的办法，不论是猜谜语还是解方程。如果我们把25换成23，又该怎么解呢？26呢？巴比伦数学家是不屑于试错的，因为他们已经掌握了一个更深刻、更强大的秘密。他们知道一种规则，一种解这些方程的标准步骤。就我们所知，他们是最先发现这种方法的人。

巴比伦的神秘色彩，部分来源于《圣经》中的大量引述。我们都知道“狮子洞中的但以理”的故事 ，发生在尼布甲尼撒二世统治时期的巴比伦。但是后来，巴比伦几乎成了一个谜，一个消失了很久的城市，被彻底摧毁，无法挽回，甚至被认为根本就不曾存在过。直到大约200年前人们似乎一直这么认为。

几千年来，我们今天称之为伊拉克的那片平原上一直分布着许多奇怪的土丘，参加十字军东征的骑士们返程时会从这些残垣断壁上剥下带着花纹的砖石和刻着未知文字的碎片，将它们作为纪念品带回。这些土丘显然是古代城市的遗迹，不过除此之外，人们对这些遗迹知之甚少。

1811年，克劳迪乌斯·里奇（Claudius Rich）首次对伊拉克的土丘遗迹进行了科学考察，他调查了巴格达以南60英里（约100千米）处幼发拉底河畔的一处完整遗迹，很快就判定这正是巴比伦遗迹。他雇用工人进一步发掘，出土了砖、楔形文字泥板，以及精美的圆柱形印章，用这种印章在湿软的陶土上滚一圈就能够得到浮雕一般的文字和图画。他们还发现了许多令人叹为观止的艺术作品，这些作品的雕刻者能与达·芬奇和米开朗琪罗比肩。

但是，更有趣的是那些散落在遗址中的楔形文字泥板的碎片。所幸的是，最初的考古学家们认识到了它们的潜在价值，把它们完好地保存了下来。在上面所刻的文字被破译之后，这些泥板成为我们了解巴比伦文明的宝藏，告诉了我们巴比伦人的生活和所思所想。

根据这些泥板和其他文物可以判断，古代美索不达米亚文明不但历史悠久，而且高度复杂，包括了许多不同的文明和城邦。人们习惯使用的“巴比伦”一词，既代表上述所有文明，也特指以巴比伦城为中心的这一特殊文明。不过，美索不达米亚文明的中心一直在不断迁移，有时集中在巴比伦，有时则转移到其他地方。考古学家把巴比伦历史分为两个主要时期，古巴比伦时期大约从前2000年持续到前1600年，新巴比伦时期则从前625年到前539年，这两个时期之间的巴比伦则被外族统治，包括古亚述时期、加喜特王朝时期、中亚述以及新亚述时期。此外，巴比伦的数学在叙利亚的塞琉古王朝又延续了5个世纪以上。

巴比伦作为一种文明比其所属的社会稳定得多，它基本上连续存在了1 200年左右，其间历次政治动荡造成的干扰都仅仅是暂时的。所以，和具体的历史事件不同，巴比伦文明的许多成就很可能在已知的最早记载之前就已经产生很久了。尤其是数学：有证据表明，尽管对一些数学技巧的现存最早记载可以追溯到前600年左右，但它们实际的出现时间远早于此。所以，本章的主角——那位我起名为纳布-沙玛什的虚构的书吏，我们从三位同学之间一段简短的对话中认识了早年间上学时的他——被认为生活在前1100年左右，出生于尼布甲尼撒一世国王统治时期。

随着故事的发展，我们接下来将会遇到的所有其他人物都是历史上真实存在的，他们的个人故事都有记载为证。但是在古巴比伦遗留下来的数以百万计的泥板中，除了贵族和军事领袖外，很少有关于其他个人的记载，所以纳布-沙玛什只能是一个根据我们已知的巴比伦人的日常生活情况合理加工合成出来的人物。我们不会把任何新的发明归功于他，但是他会接触到巴比伦文明中所有推动了对称性发展的知识，有充分证据表明，所有巴比伦书吏都接受过全面的教育，而数学是其中非常重要的一部分。

我们虚构的这位书吏的名字是两个巴比伦人的真实名字的结合。一个来自书写之神纳布，另一个来自太阳神沙玛什。在巴比伦文明中，以神的名字给普通人命名并不稀奇，当然同时用两个神的名字来命名会显得有点儿过分了。但是为了行文的需要，我们有必要给他起一个具体的、有代入感的名字，而不是仅仅称他为“书吏”。

纳布-沙玛什出生时，巴比伦的国王是尼布甲尼撒一世，这是伊辛第二王朝中最重要的一位君主。但这个国王 不是 《圣经》中同名的那位著名国王；《圣经》中的那一位通常被称为尼布甲尼撒二世，是那波帕拉萨尔的儿子，统治时期为前605年到前562年。

尼布甲尼撒二世的统治时期是巴比伦在物质上和地区影响力上的极盛时代。而在他之前同名的尼布甲尼撒一世的统治下，巴比伦城也同样繁荣，当时巴比伦的权力一直延伸到了阿卡德和北部山区地带。但是阿卡德在亚述-雷什-伊希一世和其儿子提格拉特-帕拉沙尔一世时期成功摆脱了巴比伦的掌控，对环绕在三个方向上的山区和荒漠部落采取了行动，加强了自身的安全实力。因此，纳布-沙玛什出生于巴比伦历史上比较稳定的时期，但等到他长成一个青年以后，巴比伦的文明之光开始暗淡，他的生活将变得更加动荡。

纳布-沙玛什出生于巴比伦老城里一个典型的“上流阶级”家庭中，他的家离利比尔-希加拉运河不远，紧邻著名的伊师塔城门，城门用于仪仗，上面装饰着千奇百态的彩色瓷砖，图案有公牛、狮子甚至是龙。穿过伊师塔城门的街道十分壮观，宽度达20米，石灰岩路面铺在一层沥青上，路基则由砖块铺建。这条街道的名字叫作“愿敌人无法取胜”，是一个典型的巴比伦主街名称，但它更通俗的名字是“游行大道”，按照祭典的规定，祭司要在这条大街上巡游马杜克神。

纳布-沙玛什家的房子由泥砖建造而成，墙壁有6英尺（约1.8米）厚，以便隔绝阳光。外墙开口很少，一般只有一个临街的门，房子共三层，其中顶层由较轻的材料建成，主要是木头。家中有许多奴隶，负责日常家务。奴隶的宿舍和厨房都位于门内的右侧。家人的住处在左侧，包括一个长长的客厅以及卧室和浴室。纳布-沙玛什的时代是没有浴缸的，虽然其他时代有一些浴缸保存了下来。洗澡时，一个奴隶会往沐浴者的头顶和身上浇水，就像现代的淋浴一样。房子的中央有一个露天庭院，屋后还有储藏室。

纳布-沙玛什的父亲是国王法院的一名官员，该国王名字不详，是尼布甲尼撒一世的前任。他父亲的工作主要是处理一些行政事务、管理一整个区域、维护法律和秩序、确保农田得到及时的灌溉、保证赋税的征收。纳布-沙玛什的父亲也接受过书吏的训练，因为对于所有进入巴比伦公务系统的人来说，读写和算术能力是必须掌握的基本能力。

在一部被认为由大地和空气之神恩利尔所制定的法令中，每个人都必须继承父业，而这正是家人对纳布-沙玛什的期望。不过，读写能力同样可以开辟其他的职业道路，特别是成为一名祭司。因此他所受的教育为未来的职业选择铺平了道路。

我们之所以能够了解到纳布-沙玛什的受教育情况，是因为有许多大致来自那一时期的记载一直保存至今。这些记载由受过书吏训练的人用苏美尔语写成。这些记载明确显示，纳布-沙玛什非常幸运地拥有一个好的家庭出身，因为只有富裕家庭的儿子才有机会进入书吏学校。事实上，巴比伦的教育水平之高，吸引了许多其他国家的贵族把他们的儿子也送到这里来接受教育。

纳布的学校叫作泥板书舍，名字大概是取自用于书写和算术的泥板。学院设有一位首席教师，被称为“专家”和“校父”。每个班级有一个班主任，负责让这群男孩子遵规守纪，还有专门的教师负责教授苏美尔语和数学。书舍还设有“级长”，他们被称为“大兄长”，其职责是维持秩序。和所有其他学生一样，纳布-沙玛什住在家中，白天去上学，每月30天中大概有24天要上学，剩下的日子里有三天放假，还有三天是宗教节日。

纳布-沙玛什的学业从掌握苏美尔语开始，尤其是它的书写。他要研究词典和语法教材，还要抄写大量内容：法律术语、技术概念以及种种姓名。之后，他开始学习数学，从这时起，他的学业就成为我们故事的中心内容了。

纳布-沙玛什学了什么呢？除了哲学家、逻辑学家和专业数学家这些学究，一个数对任何人来说都只是一串数字。我写下这句话的年份是2006，2006这个数就是由四个数字组成的一串。但是学究会跳出来提醒我们，这一串数字实质上并不是这个数本身，而只是它的表示形式，而且这种表示形式还是相当复杂的一种。我们熟悉的十进制只用10个数字——符号0到9——来表示所有的数，不论这个数有多大。经过扩展后，它也可以表示非常小的数；更确切地说，它可以表示精度非常高的测量数值。例如光速，根据目前最精确的观测，它的数值大约是每秒186 282.397英里（299 792 458米）。

我们对这样的表示形式太过熟悉，以至于忘记了它其实是多么巧妙，以及我们第一次接触它时想要理解它是多么困难。一切的基础都在于这个关键的特征：一个符号的数值，比如符号2，取决于它相对其他符号所处的位置。 如果脱离上下文的背景，符号2则并不具有独立的固定含义 。在上面表示光速的数中，紧靠在小数点前的数字2确实表示二。但是这个数中出现在另一处的2则表示二百。在2006这个年份中，同样的2表示的则是两千。

如果我们的书面文字当中每个字母的含义也同样取决于它在词中的位置，那我们会非常痛苦的。想象一下，如果alphabet中的两个a有着完全不同的含义，我们阅读起来该有多困难。但是对于数来说，位值记数法（按位置赋予数值的表示方式）是如此方便而强大，以至于很难想象会有人真的采取其他的表示方式。

但记数方式并不一直是这样。我们目前的这种表示方式至多只有1 500年的历史，它被引进欧洲也只有800年出头的时间。即使在今天，不同的文化也在使用不同的符号来表示相同的这10个十进制的基本数字——看看埃及的纸币就知道了。而古代文明则用了各种奇怪的方式书写数字。我们最熟悉的很可能是罗马数字，2006被表示为MMVI；而在古希腊则表示为 ζ。我们的2、20、200和2 000，被罗马人写作II、XX、CC和MM，而被古希腊人写作β、κ、σ和 。

巴比伦文明是已知最早使用与我们现在类似的位值记数法的文明。但二者有一个重要的区别。十进制体系中，一个数字每向左移动一位，它所表示的数值就要乘以10。所以20是2的10倍，200是20的10倍。而在巴比伦计数体系中，数字每向左移动一位则要乘以60。所以“20”表示2乘以60（我们记作120），“200”表示2乘以60再乘以60（我们记作7 200）。当然，他们用的不是“2”这个符号，而是用两个相同的细长楔形符号表示2这个数，如图1-1所示。从1到9的数就用1到9个相同的细长楔形符号组合在一起来表示。对于大于9的数，他们增加了另一个侧放的楔形符号，这个符号表示10，并用若干个该符号组合在一起来表示20、30、40和50。所以，我们的42在他们的表示中就是四个侧放的楔形加上随后的两个细长楔形。

出于某些我们只能猜测的原因，这个累加的体系到59就停止了。巴比伦人并没有用6个侧放楔形表示60，而是又用回了之前表示1的细长楔形，用它来表示1乘以60。两个这样的楔形表示120，但是它们也可能表示2。它们表示的具体是哪一种含义，需要通过上下文背景以及符号之间的相对位置推断得出。例如，如果先是两个细长楔形，中间一个空格，然后又是两个细长楔形，那么前面的两个楔形表示120，而后面的表示2——就如同我们的22里面，两个2分别表示20和2一样。

这种方法可以延伸到很大的数上。一个细长楔形可以表示1，或60，或60×60=3 600，或60×60×60=216 000，等等。图1-1中最下面的三组楔形合起来表示60×60+3×60+12，就是我们所写的3 792。但这有一个很大的问题：这种表示方式是有歧义的。如果你只看到两个细长楔形，它们表示的到底是2，是60×2，还是60×60×2？一个侧放楔形后面有两个细长楔形，它们表示的是10×60+2，还是10×60×60+2，甚至是10×60×60+2×60？到了亚历山大大帝时期，巴比伦人用一对对角楔形表示某个位置上没有数字，从而去掉了歧义。也就是说，他们相当于发明了表示零的符号。

为什么巴比伦人要使用六十进制，而不是我们熟悉的十进制呢？可能是60这个数的一个实用的特征影响了他们：它有很多因子。它可以被2、3、4、5、6，还有10、12、15、20和30整除。这个特征在几个人分配某些物体——比如分谷子和划田地——的时候非常好用。

最后还有一个决定性的特征：巴比伦人的计时方法。虽然他们都是优秀的天文学家，知道把一年分为365天更准确，而 天又更准确，但他们似乎认为，把一年分为360天更为方便，因为360=6×60这种算术关系的诱惑力太强了。的确，在表示时间的时候，巴比伦人不再使用原来的规则，而是把向左移动一位乘以60换成了乘以6，因此本来在计数中表示3 600的楔形图案，实际上在计时中表示的是360。

对60和360的重视一直延续至今。一个整圆被分为360度（每一度对应着巴比伦人的一天）、一分钟被分为60秒、一小时被分为60分钟，这些都体现出过去的影响。古老的文化传统有着令人难以置信的持久力。在现在这个连计算机绘图技术都无比发达的年代，电影制作者仍然在使用罗马数字给作品标注日期，我觉得非常有趣。

上述的知识，除了表示零的符号以外，纳布-沙玛什在受教育的早期阶段已经全都学过了。他已经可以熟练地把上千个小楔形快速地刻在湿泥板上。就像现在的小学生努力理解从整数到分数和小数的转变一样，纳布-沙玛什也一定会学到巴比伦人对二分之一、三分之一，或者对1进行更加复杂的分割的表示方法，这样的分割是为了满足天文观测的严苛要求。

为了避免把整个下午都花在画楔形上，研究人员结合了古今的计数方式来表示楔形数字。他们依次写下每组楔形对应的十进制数，并用逗号隔开。所以图1-1中最后一行的楔形会被记作1，3，12。这种方式节省了大量费力的排版工作，也更易读，所以我们就采用这种方式来表示楔形数字。

巴比伦书吏是怎么写数字“二分之一”的呢？

在我们的算术中有两种方式来表示二分之一。要么我们把它写成一个分数， ，要么就引入著名的小数点，然后把它写作0.5。分数表示法更直观，历史也更悠久；小数表示法更难掌握，但更便于计算，因为这种表示方式是从整数的位值规则自然延伸出来的。0.5中的数字5指的是“5除以10”，而0.05中的5指的是“5除以100”。数字向左移动一位就把它乘以10，向右移动一位就把它除以10。这很合理，而且成体系。

因此，小数运算与整数运算一样，只是你必须密切注意小数点的位置。

巴比伦人也有同样的想法，只不过是60进制的。分数 是1/60的多少倍？显然正确的答案是30/60，所以他们把“二分之一”写作0;30，其中的分号被研究人员用来表示六十进制小数点，而在楔形表示法中，小数点还是用空格来表示的。巴比伦人实现了一些相当高级的计算：例如，他们得出的2的平方根是1;24，51，10，与真实值相差不到十万分之一。他们把这种精确性很好地运用到了理论数学和天文学之中。

纳布-沙玛什学习到的方法中，就本书的主题而言，最令人兴奋的是二次方程的解法。关于巴比伦人解方程的方法我们知道很多。在已知的大约100万块现存的巴比伦泥板中，有大约500块是关于数学的。1930年，东方学者奥托·诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer）发现，其中一块泥板上展现了对于今天所谓的二次方程的完整认识。上面的方程都包含一个未知数以及它的平方，还有不同的具体数字。如果没有平方项，方程就被称为“线性方程”，这种方程是最容易求解的。包含未知数的立方（未知数与自己相乘，然后再与原未知数相乘）的方程被称为“三次方程”。巴比伦人似乎掌握了一种基于数表的巧妙方法，可以求出某些类型的三次方程的近似解。但是我们能确认的就只有这些数表本身。我们只能推测这些数表的用途，而解三次方程是最有可能的。但是诺伊格鲍尔研究的泥板明确表明，巴比伦的书吏们已经掌握了求解二次方程的方法。

一块典型的4 000年前的泥板上写着这样的问题：“一个正方形的面积减去边长等于14，30，求这个正方形的边长。”这个问题包含未知数的平方（正方形的面积）以及未知数本身。换句话说，这是让读者解一个二次方程。而同一块泥板上又几乎是随手写上了解答过程：“取1的一半，得到0;30。0;30乘以0;30，得到0;15。把它与14，30相加，得到14，30;15。这是29;30的平方。现在把0;30与29;30相加。结果是30，正是正方形的边长。”

这是怎么回事？把每一步用现在的十进制方式写出来看一看。

最复杂的是第四步，找到一个平方等于 的数（就是 ）。 是 的 平方根 。平方根是求解二次方程的主要工具，当数学家想要用相似的方法求解更复杂的方程时，就诞生了近世代数。

之后我们会用现代代数的符号来阐述这个问题。但是巴比伦人并没有像后来的代数学家那样，使用这种代数公式求解每个问题。他们是针对一个典型的例子描述了得出答案的具体 步骤 。但他们清楚地知道， 如果改变题目中的数字，完全相同的步骤也同样适用 。

总而言之，他们知道如何求解二次方程，并且他们的方法正是我们现在依然在使用的方法，只是表达形式有所改变。

巴比伦人是怎么发现这种二次方程解法的呢？虽然没有直接证据，但是看起来他们是通过几何的思维方式发现的。来看一个更简单的问题，从中我们也能得出相同的解法。假设有一块泥板上写着“一个正方形的面积加上它的两条边长等于24，求这个正方形的边长”。用更现代的说法就是，未知数的平方加上未知数的两倍等于24。我们可以用图1-2表示这个问题。

图1-2中等号左边正方形的边长和长方形竖直方向的长度对应未知数，等号右边的小方格的边长为1个单位。如果我们把这个细长的长方形从中间分成两半，然后把它们分别粘到正方形的两条边上，我们就得到了一个缺了一角的大正方形。图1-3很明显地告诉我们，应该“把大正方形补充完整”，在等式两边加上缺了的这一角（阴影正方形）。

这样，等号左边就有了一个完整的正方形，而等号右边有了25个单位方格。把它们重新排列成一个5×5的正方形，见图1-4。

因此未知数加1，然后平方，结果等于5的平方。对25开平方，可以得到未知数加1等于5——你即使不是天才，也一样能得出这个未知数是4。

这种几何描述准确地对应了巴比伦人解二次方程的每一步过程。真实的泥板上更复杂的例子使用的也是完全相同的方法。泥板只陈述了方法，并没有说明它从何而来，不过上述的几何描述还得到了其他间接证据的支持，因此它很有可能是泥板上解法的来源。 PlgZbKjQbJYs7vkB79a77FAnC3pZGHpkNO7GgGe5k33TD3SQAVGO1uMYf8zm7IjI