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奇怪的事情每天都在发生；也许最为奇怪的是，人类，这样一个与类人猿接近的物种，究竟是如何掌握数学这门学科的。
——埃里克·坦普尔·贝尔《数学的发展》
物理是建立在数学之上的，这并不是因为我们对物理世界有多了解，恰恰相反——我们了解的物理世界仅仅是它们的数学特征。
——伯特兰·罗素
过去的十万年，智人的智力并没有多大的改变。如果我们将孩子们从披毛犀和乳齿象仍然在地球上奔驰的年代带到现代的学校里，他们会成长得和典型的 21 世纪小孩一样好。他们的大脑能够吸收算术、几何及代数知识。如果他们愿意，还可以继续钻研，也许有一天会成为剑桥或哈佛的数学教授。
我们的神经构造让我们进化出了做高级计算的能力，以及理解集合论和微分几何学这类概念的能力。早在这些能力还没有使用时，就已准备好了。事实上，我们为什么具备这种与生俱来的高等数学潜力，它又没有什么显而易见的生存价值，这有点神奇。与此同时，拥有其他对手没有的智力、逻辑思考能力、提前计划和做假定推测的能力，也是我们这个物种能出现并延续下来的原因。我们的祖先没有其他动物的生存特长，例如速度和力量，只能被迫依靠智慧和远见来生存。逻辑思维能力成为我们一项强大的超能力，并由此逐渐发展出以复杂方式进行交流，用符号表示并理性地理解我们周围的事物的能力。
像所有的动物一样，我们在运动过程中实际上做着许多数学计算。如接球这样简单的动作（或躲避天敌和抓捕猎物）需要同时对各个方程进行高速求解。如果我们要一个机器人编制程序来做同样的事，计算的复杂性就会变得清晰。但人类的强大在于从具象转向抽象的能力——情境分析、假定推测和提前计划。
农业的出现需要人们准确地追踪四季变化，贸易和定居社区的出现则意味着要进行交易和记账。出于日历和商业交易这两项实际需求，人们必须发展出某种测量和计算，初等数学就这样产生了。其中一个产生数学的区域是中东。考古学家发掘的苏美尔人黏土交易代币可追溯到公元前 8000 多年，上面展示出苏美尔人已经在使用数字的雏形。但在早期，苏美尔人似乎并没有把这个概念与被计数的东西区分开来，他们用不同形状的代币来表示不同的物品，例如羊或油罐。当双方有许多代币进行交易时，代币封存在被称作“印玺”的容器中，只有打碎了才能看到里面有多少。逐渐地，人们会在印玺上标记出里面代币的数量。这种符号表现形式逐渐演变为一种书写的数字系统，而代币被广泛用来计算任何物品，最终演变为一种早期货币形式。同时，数字的概念从被计数的物体类型中抽离出来，例如 5 就是 5，无论是指“5 只羊”还是“5 片面包”。
在这个时期，数学和日常生活的联系似乎很紧密。对农民和商人而言，计数和记账是非常实用的工具，既然这些方法有用，谁还管这一切背后是什么原理呢？简单的算术看起来是深深根植于我们的世界中的：一只羊加一只羊等于两只羊，两只羊加两只羊等于四只羊。没有比这更简单的事了。但是再仔细观察一下，我们就会发现有一些奇怪的事情发生了。在计算“一只羊加一只羊”的时候，我们假设两只羊是一样的，至少在计算时它们的任何差异都不重要。但事实上，没有两只羊是一模一样的。我们所做的是从羊身上抽象出它被感知到的特征——“同一性”和“分离性”——然后再用另一种抽象来处理前述的特征，我们称之为加法。这就迈出了一大步。在实际生活中，将一只羊与另一只羊相加可能意味着把它们放在同一片草地上。但实际上，它们是不同的羊；再仔细想想，我们对于“羊”的定义——就像世界上其他东西一样——并不是真的与宇宙中的其他部分分离开来。除此之外，尽管我们可以说出羊的一些特性，但物理学告诉我们，这不过是一些非常复杂的分子的暂时组合，还有一个事实令人稍稍感到不安，那就是我们认为是物体的东西（比如羊），是进入我们大脑的感官信号构建出来的，并且处在不断变化之中。然而在数羊时，我们选择不去考虑这些巨大的复杂性，更确切地说，在日常生活中甚至都意识不到它们。
在所有学科之中，数学是最精确、最稳定的。科学和人类在其他领域探索到的充其量是对理想的无限接近，并且总在随着时间不断改变。正如德国数学家赫尔曼·汉克尔所说，“在大部分学科中，一代人会推翻另一代人的成果，而一代人建立起来的又被另一代人推倒。只有数学，是每代人都在旧的结构上增加一段新的故事”。从一开始，数学就与其他学科有着难以避免的区别，因为数学始于我们大脑对事物的抽象理解，我们将这种理解视为事物不变的本质。在此基础之上，产生了自然数的概念，它是衡量数量的一种方式，也产生了数量组合的方式——加法和减法。我们认为，无论事物怎样不同，它们都可以被计算为“一个/两个/三个……”。因此，数学从一开始就具有这样永恒不变、坚不可摧的特征，而这也是它的巨大力量所在。
数学是存在的，这一点毫无疑问。例如毕达哥拉斯定理，某种程度上就是我们现实的一部分。但是当数学没有被使用或者没有用现实中的物质表示出来的时候，它在哪里呢？在被人发现的几千年之前，它在哪里呢？柏拉图主义者认为数学对象，如数字、几何形状以及它们之间的关系，是在我们、我们的思想和语言及物理宇宙之外独立存在的。它们具体存在于哪处仙境并不明确，但是人们普遍认为它们应该就在“宇宙的某个角落”。平心而论，大部分数学家都赞同这一学派，也相信数学是被“发现”的，而不是“发明”出来的。当然大部分数学家可能不会太在意思考数学存在的哲学，只是喜欢做数学，他们和大部分泡在实验室或解决理论问题的物理学家一样，不会去想很多形而上学的问题。尽管如此，事物的最终本质——还有数学的本质——仍然很有趣，即使我们永远无法得出一个最终的答案。普鲁士数学家及逻辑学家利奥波德·克罗内克尔认为，只有整数是天然存在的，或用他的话说，“上帝创造了整数，其他一切是人类创造出来的”。英国天体物理学家亚瑟·爱丁顿走得更远，他说：“数学是我们想象出来的。”数学究竟是被发明的还是被发现的，抑或是两者的结合？这场由精神与物质引发的争论将一直持续下去，最终可能没有简单的答案。
有一件事是清晰的：如果一条定理被证明为真，它便永远为真。这和个人观点或主观想法无关。伯特兰·罗素说：“我喜欢数学，因为它与人类无关，与这个星球或者整个偶然的宇宙也没有特定的关系。”大卫·希尔伯特也说过类似的话：“数学没有种族或地理的边界之分；在数学中，文化世界就是一个国家。”数学这种客观的普遍特性正是它的巨大魅力，但对训练有素的人来说，这并不会降低它在美学上的吸引力。英国数学家G.H. 哈代说：“美是对数学的第一项考验：世上不存在丑陋的数学。”来自理论物理领域的保罗·狄拉克也表达了相似的观点：“基本的物理定律被描述为一种伟大的美和力量的数学理论，这似乎是我们大自然的一个基本特征。”
然而数学普遍性的另一面，让数学显得冷酷和乏味，缺乏激情和生命力。因此，我们可能会发现，尽管世界上其他智能生物可能与我们共享相同的数学体系，但这绝不是与之交流许多事情的最佳方式。搜寻地外文明计划（SETI）研究者塞思·肖斯塔克曾说，“许多人建议我们用数学和外星人交流”。实际上荷兰数学家汉斯·弗罗伊登塔尔已经设计出一套基于数学的语言体系——Lincos宇宙语言。“但是，我个人认为，用数学的方式很难去描述‘爱’或‘民主’这类观念。”
科学家，当然也包括物理学家的最终目标，是将他们在世界上观察的万物都用数学的方式描述出来。宇宙学家、粒子物理学家等在研究中最开心的事莫过于测量和量化事物，然后发现这些数量之间的关系。数学是宇宙的核心，这一观点有着古老的根源，至少可以追溯到毕达哥拉斯学派的信奉者。伽利略认为世界是用数学语言写就的一部“鸿篇巨制”。更近一点，在1960 年，匈牙利裔美国数学家及物理学家尤金·维格纳写了一篇名为《数学在自然科学中不合理的有效性》的文章。
在现实世界中，我们无法直接看到数字，因此不能立即感受到数学就在身边。但是我们能看到形状，行星与恒星的形状近似于球体、物体被抛出或在轨道上运行的弯曲路径、雪花的对称形状等等，所有这些都能用数字之间的关系表示。能转化为数学的还有电磁行为、星系旋转，以及电子在原子内的运动方式。这些模式以及描述它们的方程式，证实个体特有的事件，似乎呈现了我们所处的不断变化的复杂环境中隐含的深刻、永恒的真理。德国物理学家海因里希·赫兹首次确凿地证明了电磁波的存在，他曾说：“人们无法逃避这样的一种感觉，即这些数学公式就像是独立存在的、具有自己的智慧一般，它们比我们更有智慧，甚至比它们的发现者更有智慧……我们从它们身上得到的东西比当初投入的要多。”
毫无疑问，现代科学是建立在数学这块基石上的，但这并不意味现实世界本身就完全是数学的。自伽利略时期开始，科学就将主观与客观或可测量的东西区分开，并且专注于后者。它尽可能排除任何与研究者有关的对研究结果的影响，只关注不受人类大脑和感情影响的东西。现代科学的发展方式几乎保证了它在本质上是数学的，但这也使得它留下了许多科学难以处理的难题，最明显的是人类意识的问题。也许有一天，人类能够建立出一个很好的全面模型来研究大脑如何工作，诸如记忆、视觉处理等方面。但是为什么我们还会有一种内在体验，还会有一种“某事即将发生”的预感……这仍然而且永远是传统科学和数学的盲区。
在数学与现实世界的关系这个问题上，一方面柏拉图主义者认为，数学是早已存在的一片土地，等待着我们去开拓；另一方面也有人坚持认为，数学是人们为了自己的目的在前进过程中发明出来的。两方的观点都有局限。对柏拉图主义者来说，他们很难解释像圆周率这样在物理宇宙或人类智慧之外的东西。而非柏拉图主义者则很难否认诸如无论我们有没有发明出数学，行星都会以椭圆形的轨迹绕着太阳运行这样的事实。第三种数学哲学学派介乎两者之间，其观点是，在描述现实世界时，数学并不像它被认为的那样成功。的确，数学方程对于告诉我们如何将宇宙飞船送入月球或火星，或者设计一款新飞行器，抑或提前几天预报天气很有用，但这些方程仅仅是对现实描述的粗略估计，并且仅适用于我们周围所有事物的一小部分，现实主义者会说，鼓吹数学成功时，我们低估了绝大多数的现象，它们过于复杂，无法转化成方程，或者本质上是无法用这种分析进行简化的。
有没有可能，我们的宇宙实际上并不是以数学为基础的呢？毕竟，我们生活的空间和其中的物体并没有直接向我们呈现出任何数学。人类将宇宙的各个方面进行合理化和近似化，以便构建一个数学模型。正是在这一过程中，我们发现数学能很好地让我们去理解宇宙。这并不一定意味着数学只是我们创造的一种便利工具。但是，假如数学本来就不存在于宇宙之中的话，那我们又是怎么将它发明出来，并用来理解宇宙的呢？
数学大致可以分为两个领域：纯数学和应用数学。纯数学只研究数学，而应用数学则将数学理论应用到解决现实世界的问题中去。然而，在纯数学中，许多理论研究往往看似不实用，后来证明是能给科学家和工程师带来惊人的帮助。1843 年，爱尔兰数学家威廉·哈密顿提出了四元数的概念——普通数的四维概括，这在当时没有实际用途，但在一个多世纪后，却被证明是机器人、计算机图形和计算机游戏发展的有效工具。在1611 年，约翰内斯·开普勒首次解决了“三维空间中球体堆砌最有效方式”的问题，该方法如今已被人们用于如何在噪声信道中有效传递信息。最纯粹的数学学科——数论——大部分被认为没什么实用价值，却在安全密码的开发方面带来了重大突破。由伯恩哈德·黎曼创立的处理曲面的新几何学，在五十年后被证明是爱因斯坦建立的新引力理论——广义相对论的理想选择。
1915 年 7 月，史上最伟大的科学家之一爱因斯坦造访哥廷根大学，与同时代最伟大的数学家之一大卫·希尔伯特相见。接下来的 12 月，两人几乎同时发表了描述爱因斯坦广义相对论中有关引力场的方程。但得出这些方程本身是爱因斯坦的目标，希尔伯特则希望这一系列方程成为迈向更宏伟计划的基石。希尔伯特的热情，还有他大量工作背后的驱动力，是希望找到可能成为所有数学之根本的原则和公理。在他看来，一部分探索目标是要找到一套最小的公理集合，从而不仅能推导出爱因斯坦广义相对论的方程，还可以推导出物理学中的任何理论。而库尔特·哥德尔提出的不完全性定理削弱了这种尝试可能获得答案的信心，数学并不能解决所有的问题。我们仍然不确定，我们生活的世界的本质在多大程度上真的是数学的，还是仅仅在表象上可以用数学解释而已。
数学中的一整块知识可能永远不会投入使用，只能帮助开启更多的纯研究途径。另一方面，就我们所知，许多纯数学可能以意想不到的方式在我们的物理宇宙中展现，或者说，哪怕不是这个宇宙，也是在宇宙学家猜想的规模难以把握的多元宇宙中广泛存在。也许数学中真实有效的一切都能在我们现实生活中的某个地点、某个时间以某种形式体现。现在，让我们踏上一段忙碌的旅程，伴随人类大脑在数字、空间和理性的前沿进一步探索，经历一场奇妙而华丽的冒险。
在接下来的章节中，我们将深入探索数学中一些离奇、惊人又与我们所知的现实世界有着真实联系的领域。的确，有些数学领域看上去深奥难懂、异想天开，甚至毫无意义，像是一些奇怪而复杂的想象游戏，但数学本质上是实用之物，来源于商业、农业和建筑。它的发展方式已经远超我们祖先想象，但它的核心仍然与我们的日常生活有着密不可分的关联。