前言

数学是人类精神能创造出的最美丽、最有力量的事物。

——斯特凡·巴拿赫

当你深入了解万事万物，你会发现数学无所不在。

——施克里特院长

数学是奇怪的。在数学世界里，数字可以无限增长——“无限”还可以有诸多不同的形式。质数可以帮助蝉生存下来。一个（数学上假想的）球可以被“切割”，再“重组”成原来的两倍甚至几百万倍大的球，并且没有任何空隙。有一些形状，其分数维数和曲线能足足填满整个平面。在听一次沉闷的讲座时，物理学家斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆写起了数字。他从 0 开始，按螺旋方式书写，然后圈出了所有的质数，发现大部分质数位于一条长对角线上——这个事实至今还没有被充分地解释。

我们常遗忘数学的奇妙，因为我们习惯把数学等同于在学校和日常生活中用到的数字计算。但出人意料的是，我们的大脑很擅长数学思维，如果我们愿意的话，也能够完成十分复杂和抽象的数学计算。毕竟，早在几万年或几十万年前，我们的祖先无须解微分方程和学习抽象代数，也能活得足够长，并把基因传给下一代。当他们寻找下一顿饱腹之餐或栖身之所时，沉思高维几何或者质数理论也没有任何帮助。但事实上，我们的大脑生来就有潜力去做这些事，并且随着时间流逝，还会发现数学宇宙中越来越多的真理。进化给了我们这项技能：但这是如何给的，为什么？为什么我们人类如此擅长做一些看起来只不过是智力游戏的事情？

数学其实与现实生活深深交织在一起。挖掘得足够深，我们就会发现那些看似构成物质或能量的细小单位（例如电子或光子）其实是非物质性质的概率波，而我们得到的只是一些“幽灵似的名片”——形式略复杂但很美丽的数学方程式。某种程度上，数学支撑着我们周围的物理世界，构建了一个隐形的基础设施。但数学又超离现实，进入可能性的抽象领域，也许永远在进行纯粹的思维练习。

在本书中，我们介绍了数学中一些不同寻常又妙趣横生的领域，包括那些即将出现的令人兴奋的新发展。某些情况下，它们与科学技术有些联系，如量子物理学、宇宙学、量子计算机学等等。在其他情况下，它们迄今还是对纯数学领域的研究，纯粹是对仅存在于头脑中的陌生世界的冒险。对这些内容，我们不会因为复杂抽象就选择回避。在向普通读者解释数学时，一个极大的挑战便是数学和现实生活距离太远。但最终，我们相信总能找到一些办法，将今天数学前沿领域探索的拓荒者们所做的事与熟悉的世界联系起来，哪怕我们的描述做不到像学者理想选择的那样精确。也许可以这样说，有些事情不论如何复杂晦涩，如果不能通过合理的解释让一个正常智力的人理解，那解释的人就要去提升自己的理解水平了。

这本书的写作有点不同寻常。我们中的一位作者（戴维）曾从事科学书籍写作达三十五年，写过许多关于天文学、宇宙学、物理学及哲学的书籍，甚至还写过趣味数学百科。另一位作者（阿格尼乔）是才华横溢的年轻数学家，IQ超过 162 的神童。在写本书时，他刚刚在匈牙利完成 2017 年国际数学奥林匹克竞赛的备战。从十二岁开始，阿格尼乔就在戴维那里学习数学和科学，三年后我们决定一起写这本书。

我们坐在一起构思要涉及的话题。例如戴维想到了关于高维空间、数学哲学、音乐中的数学等，阿格尼乔则非常想介绍大数（他的兴趣领域）、计算法和质数等。从一开始我们就决定选择数学最不寻常、最奇特的一些领域来入手，并尽可能地与现实世界的问题及日常经验联系起来。我们还约定不因为某些话题晦涩难懂就回避它，而把它看成某种“真言”，你如果不能用通俗的语言去解释，那就是没有真正理解它。戴维主要负责各章的历史、文化和轶事方面，而阿格尼乔的主要精力更多放在技术层面。阿格尼乔对戴维写的部分进行事实核查，然后由戴维将各部分内容组合成书。这样的合作非常顺利！我们希望你能喜欢面前这本书。