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并不是所有图形都像圆一样好画。有了圆规，我们可以快速地画出一两个圆，但要画一个五边形，就不那么容易了。用直尺画一个五边形倒是很容易，但如果想要画一个5条边都相等的正五边形（regular pentagon），你会发现很容易将它画成梨形。众所周知，几何起源于古希腊。那时的人们就非常钟爱正五边形，如果能画出一个正五边形，你甚至可以加入一些秘密的数学俱乐部。当然，我没办法保证你也能加入，但是我可以教大家小小地做一下弊。
拿出一条长纸带，打一个简单的纸结，慢慢拉紧并小心地压平。最终，这个纸结就会变成一个正五边形。不信的话，你可以用尺子量量每边的长度。如果你仍然不信，可以阅读书后“疑难解答”中我对这五条边边长相等的理论证明。用这个方法，你可以在任何场合用非常短的时间得到正五边形，它也因此得到了“应急五边形”（emergency pentagon）的称号。
用纸带打结，折出正五边形
不过，这个“应急五边形”并不能让你得到加入古希腊秘密数学俱乐部的许可（并且在大多数紧急情况下没什么用）。在公元前300年左右，古希腊人沉迷于用圆规和直尺构建图形。直到如今，人们依然被古希腊人及他们构建图形的方法深深吸引，因为最早的一批数学家就在那时产生，并且几何也是数学的第一个分支领域。因此，我们有充足的理由认为，直尺和圆规是数学的起源。这也说明，为什么数从来都不曾成为“真正的数学”。
但毫无疑问，计数比画图更古老，数的出现确实早于几何。有证据显示，数的使用可以追溯到史前时期，那时人们常常在湿黏土上刻画记号，用以计数。一些远古黏土板留存至今，上面常常记录着金钱交易、追踪家畜数目、预测潮汐随月亮的运动规律等。也有一些黏土板上刻有我们认为是“练习”的内容，这些练习是一些传授重要算数技能的谜题，人们学会这些算数技能后可将其应用于实际。这些练习看起来很像是数学，但缺少两个重要属性：第一，没有人能够严格证明他们所运用的数学理论确实是正确的；第二，他们学习这些技能不是为了好玩。
人们最初使用几何的时候，确实是出于实际目的，比如划分田地或者建造房屋。形状仅仅是辅助计数的工具，用以提升社会文明，但到了古希腊时期，这种情况发生了改变。古希腊人开始追求纯粹的数学本身。在他们看来，数学是一种游戏。不仅如此，他们不仅仅想找到问题的答案，更想证明答案百分百可信，即的的确确是问题的解。这种全新的数学研究方式被一个人发挥到极致，他就是欧几里得（Euclid）。
欧几里得出生于公元前300年左右（古希腊人的一个不按常理出牌的方式是不记录出生日期），不过据我们所知，“欧几里得”可能是一个团体的笔名。但毋庸置疑，他（们）编写的13本著作流传至今，其中最有名的一本莫过于《几何原本》。他（们）试图在书中囊括当时人们掌握的全部数学知识， 并 严格证明它们的正确性。
欧几里得不希望人们完全相信他（们），或者信奉任何事物。他们认为每一步都必须经过严格的证明。但遗憾的是，我们不可能凭空证明 每一件事 ，你必须从一些公认正确的事实开始，然后看看可以从这些假设证明出什么。因此，欧几里得选了一些最显而易见的事实作为公理，假设它们是正确的，并且无须证明。其中主要的两条公理是：可以用直尺画出一条直线；可以用圆规画出一个圆。你绝对不会想到这两个东西能帮助你证明多少东西！
画3个圆，你就能得到一个正三角形
现在我们可以动手试试。首先，试试你能否用直尺和圆规（以下简称尺规）画出一个3条边都相等的三角形，即等边三角形（equilateral triangle），也叫正三角形（regular triangle）。如果你觉得太简单，那就再试试画一个正方形（显然，它的4条边长度都相等），或者正六边形（regular hexagon）。但当你尝试画五边形时，真的挑战才终于开始了。这些实验显示，你不需要事先假定三角形存在。《几何原本》中的第一条证明就是如何用尺规画出正三角形。一旦你接受了直线与圆的存在，那么正三角形、正方形、正五边形、正六边形的存在将是很自然的结论。
与数的抽象类似，这是另一种抽象的实例。我们了解的数学始于人们将图形从物理现实中剥离出来，并试图以抽象的方式去理解它们。直角就是从田间两根篱笆的交角抽象出来的概念。形状不像数那样受限于计数系统。在几何中，无论我们如何表达，圆就是圆，直线就是直线。那些假设存在的外星人会与我们争执怎样写一个数，但他一定会认同，五边形就是五边形（无论以什么语言。所以我们会继续使用几何语言——尺规来表达图形）。
在直线上画些圆弧，你就能得到一个正方形
然而有趣的是，外星人的证明可能起源于和希腊人不同的假设。用纸条折出正五边形在欧氏几何看来并不算是合理的作图方法，因为它超出了最开始的两条假设，但我们的天外来客可能会觉得无所谓。人类向来热衷于画图，因此，我们对图形的理解在很大程度上依赖于画的过程，但外星人朋友或许更爱折纸，对折纸的几何学有更深的了解。事实上，图形中的问题比欧几里得想象的更多。