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对于多面体如何填充空间，人们的认识简直就是笑话，但这并不是什么有趣的事。为了查找单个多面体填充空间的不同方法，我进入了最全的线上数学资源库——沃夫朗数学百科全书（Wolfram MathWorld）。在“空间填充多面体”（space-filling polyhedron）词条下，一派死气沉沉，现有的成果令人失望。网站上说，数学家迈克尔·戈德堡（Michael Goldberg）在1974—1980年试图寻找所有空间填充多面体。他找到了27种六面体、16种七面体、40种十一面体、16种十二面体、4种十三面体、8种十四面体、1种十六面体（不存在能填充空间的十五面体，免得你觉得奇怪），2种十七面体、1种十八面体、6种二十面体、2种二十一面体、5种二十二面体、2种二十三面体、1种二十四面体以及1种二十六面体（他认为这是面数最多的可能了）。好了，总算说完了。我对他有如此多的空闲时间感到惊讶，他居然用多面体将空闲时间都填满了。
到了1980年，彼得·恩格尔（Peter Engel）又发现了另外172种面数为17~37的空间填充多面体，后来不断有新的种类加入。目前，这个词条以一句低调的请求结尾：“如果有现代的研究成果，欢迎补充。”我们现在的成果似乎只是罗列了什么样的多面体可以以怎样的方式填充，对其背后的原理没有任何系统的理解，缺乏成形的理论。但是，正如蜂窝猜想，这种事急不得。
即使将探索的对象限制为柏拉图立体，数学家仍然能从中发现许多新东西。在二维中，正多边形中的三角形、正方形和正六边形可以独自镶嵌满整个平面，但在柏拉图立体中，只有立方体才可以充满整个空间。很多人会说正四面体也可以［亚里士多德在他的著作《论天》（ On the Heavens ）中有所提及］，但事实胜于雄辩：尽管人们一再重复这个“事实”，但事实上，它并不是一个事实。正四面体看起来可以无缝填充，但如果真的动手尝试，你会发现总会有非常小的空隙。
我个人认为立方体是个有些偷懒的解，它仅仅是正方形平面镶嵌二维平面的延伸。二维图形平行移动形成的三维图形被称为棱柱（prism）。除了立方体（四棱柱），三棱柱和六棱柱同样可以很好地填充空间。用柏拉图棱柱填充三维空间的方案和二维空间中的方法并没有什么区别。这就好比三维等宽图形。旋转二维的洛勒三角形，理论上确实能得到一个解，但迈斯纳四面体才是第一个真正的三维解。
不过，正四面体确实可做到完美镶嵌，但需要和八面体组合起来。有一种方式是将2个正四面体和1个正八面体组合起来（两种多面体的边长相等）然后不断重复填充。但这不是唯一的选择，最新的成果是由73岁的数学家约翰·康威（John Conway）于2011年给出的，他发现1个正八面体与6个小正四面体组合起来也可以填充满整个空间。这还只是柏拉图立体呢。就在这么点儿范围里，我们都还在不断地发现新东西！
正四面体组成的正八面体可以完美地填充空间
如果你想找到最佳的空间填充多面体，可以尝试对柏拉图立体做一些小改变。例如，将正八面体的顶点都截去，截出正方形的截面，就会得到截角八面体（truncated octahedron）。它曾是“最佳空间填充体”的候选者，由开尔文勋爵于1887年在其论文《最小分割面积的空间分割》（ On the Division of Space with Minimum Partitional Area ）中提出。当数学家想分享他们的想法时，通常会撰写论文详细描述并发表，从而便于所有人获取。开尔文认为这是截角八面体最美妙的性质。他不会想到，在一个世纪之后，数学家证明他的猜想是错误的，但他仍然名垂青史。