下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
现在，我们要在三维中再变几个魔术。准备一个充好气的气球，我们要在上面画一个三维图形。我们不是在气球曲面上画图，而是利用气球确定图形的边在三维空间中的位置，就像我们之前为研究球面几何所做的那样。你可以想象，当你把气球移走，会得到一个与你所画形状相同的三维线框。首先在气球上标记一些点当作顶点，然后将它们连起来形成边。边可以不直，你想怎么画都行，唯一的要求是：这些边不能相交。
最终的结果可能是你从来都没有见过的图形，但有一点我可以肯定，该图形的面数与顶点数之和减去边数，所得结果一定是2。快看！四周静悄悄一片，大家窃窃私语：“他是怎么做到的？”很少有人觉得自己受骗了。
这个小魔术概括起来就是：对于任何画在气球上的图形，顶点数和面数之和总比边数多2。无论你尝试多少次，只要没有作弊，这个规律就永远不会被打破。唯一的作弊手法是：让边彼此相交（或者说，让面彼此相交），但我们的游戏禁止这样操作。这个性质被莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，他的姓念作“oil-er”，读错的话你的学霸值会被扣掉几分噢）注意到了。他在1750年写给数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）的信中提到了这一性质。“面数+顶点数-边数”的结果现在被称为欧拉示性数（Euler characteristic），对于任何画在气球上的图形，这个数都等于2。
另外还有一种作弊手法：如果你画出一个带洞的图形，它的欧拉示性数将不再等于2。你可以找来一个中间有一个洞的甜甜圈状气球（真有这样的气球，它非常适合在数学爱好者的聚会上使用），然后在它的表面画出一个图形，该图形的顶点数和面数之和不再比边数多2，而是等于边数。
对于中心有洞穿过的图形（但任何一面都没有洞穿过），“面数+顶点数-边数=0”这个关系式总是成立的。就是说，所有带一个洞的图形的欧拉示性数是0。这种甜甜圈状的曲面被称为环面（torus）。对于带两个洞的环面，欧拉示性数是-2。每增加一个洞，欧拉示性数就会减少2。反过来，如果你知道一个多面体的欧拉示性数，你就可以利用以下公式计算它有多少个洞：欧拉示性数=2 -（2×洞数）。