被遗忘的柏拉图立体

虽然这5种限量版柏拉图立体名扬至今，但实际上还有4种古人一无所知的柏拉图立体。（真的是，刚刚是平行线，现在又来这个。）我们可以让二维正多边形的边穿过另外一条边（即星形多边形），而不是形成角点，当然也可以让柏拉图立体的面相交而不是形成新边。欧几里得认为面不能相交，但我们可以做不同的假设。12个正五边形和20个正三角形分别形成新的柏拉图立体——大十二面体（the great dodecahedron）和大二十面体（the great icosahedron）。下面我们又进入奖金回合：用星形多边形制作星形多面体，这是星形的二次方。使用12个五角星形，每3个形成一个顶点，就可以形成大星形十二面体（the great stellated dodecahedron）；每5个形成一个顶点，就可形成小星形十二面体（the small stellated dodecahedron）。

几个世纪以来，人们不断发现星形柏拉图立体。最早的实例来自威尼斯的教堂：艺术家保罗·乌切洛（Paolo Uccello）于1430年完成的一幅镶嵌图案中出现了小星形二十面体。1813年，法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy）男爵继续推广欧几里得的工作，将理论发展完善，证明星形柏拉图立体只有大星形十二面体、小星形十二面体、大二十面体和大十二面体这4种。你可以用卡纸制作这4种图形 ，不过面的相交要费些脑筋。

所有柏拉图立体，无论是不是星形的，都有一个共同的奇妙特征：每一个柏拉图立体里面都能怡好放入另一个柏拉图立体。这可以作为多面体派对上的一个小魔术：如果你在柏拉图立体的每个“面”（构成柏拉图立体的多边形）的正中心画一个点，那么肯定恰好能在里面放入一个柏拉图立体，它的顶点恰好和这些点重合。后者就被称为前者的对偶（dual）。十二面柏拉图立体的12个面的中心点恰好能和内部一个二十面柏拉图立体的12个顶点重合；二十面体的20个面的中心点恰好能和内部一个十二面体的20个顶点重合。同样的，立方体和正八面体互为对偶，四面体的对偶仍然是四面体。星形多面体也具有类似的特征，大星形十二面体和大二十面体互为对偶，小星形十二面体和大十二面体互为对偶。