立方主义

一个物体有没有可能穿过自己？严格来讲，不是穿过它自己，而是穿过跟它一模一样的副本。如果你有两个全等的图形，能否在其中一个图形上凿一个足够大的洞，让另一个图形穿过去？早在17世纪，鲁珀特王子（Prince Rupert）曾打赌，一个立方体完全有可能从另一个同样大小的立方体中的洞里穿过。他确实是对的！甚至让一个立方体穿过比它小的立方体也是有可能的。由于鲁珀特王子的直觉没有错。如今，人们将这种带洞的立方体称为鲁珀特王子方块（Prince Rupert’s Cube）。（不像我，试图将90,525,801,730命名为马特·帕克数，却不被认可。）想想看，鲁珀特王子方块是什么样子？如果你的正方体蛋糕多得吃不完的话，可以自己动手在立方体上挖出一个这样的洞。

鲁珀特王子方块巧妙地利用了立方体的截面，这让人很意外。将立方体等分两半，我们得到的截面既可以是没什么特别的正方形（从一条棱边的中点处垂直切下去），也可以是稍微有趣的长方形（沿着方块的对角线下切），还可以是特别有趣的六边形。你自己在家试试看，如果没有多余的方块蛋糕，就买些非常接近立方体的烤面包，然后一刀将它们拦腰斩断。如果斜切面经过所有6个面，切出来的截面就会是六边形。（不必冒着身上粘到面包屑的风险，你也可以制造出一样的形状。找一个立方体，不一定是能吃的，将它移到光源下，在某个角度下，这个方块的影子就是一个六边形。）

上述六边形截面大于立方体的任意一个面。因此，如果在立方体上从六边形截面的中心垂直打出一个正方形洞，另一个相同大小的立方体就可以穿过它了，而且还有一点余地。这个六边形截面实际可以容纳比原立方体大3.5%的立方体。再调整一下洞的位置和角度，你甚至可以使比原立方体大6%的立方体穿过。在制作鲁珀特王子方块时，这些多余的空间通常是为了加固六边形孔洞或方块（尤其当立方体特别大时，它很容易断裂崩塌）。推荐你用卡纸亲手制作一个属于自己的鲁珀特王子方块，那很容易。

立方体是一种重要的三维图形，因为它非常规整。在二维图形中，我们所说的正多边形（regular polygon）是指所有边和所有角都相等的多边形。现在我们要把二维图形延伸到三维。在三维图形中，与多边形对应的是多面体，它们是多边形相接形成的三维图形。立方体由6个正方形相接而成，四面体由4个三角形拼接而成。多边形只有角点（corner）和边（edge）；但多面体还有顶点（vertex），也就是各个面的角点交汇的地方。正多面体（regular polyhedron）由全等的正多边形组成，各顶点的相交方式也都相同。

正多面体由古希腊哲学家柏拉图（Plato）于公元前350年提出，所以又称为柏拉图立体（Platonic solid）［三维图形通常被称为立体图形（solid）］。不知道出于什么原因，长久以来，人们一直对美妙的柏拉图立体钟爱有加，为它们蒙上了一层神秘的面纱。柏拉图认为，自然界中不可分割的原子的形状都是柏拉图立体。德国天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）也曾提到，他在1595年7月19日突发奇想：行星轨道之间的比例一定与柏拉图立体有关。不过，在苏格兰出土的正多面体可以追溯到新石器时代，远远早于柏拉图时期。

我们最好制作几个如此神奇的立体图形。立方体非常容易制作：用卡纸裁出6个正方形，然后将它们粘在一起即可。4张正三角形卡纸则可以作出一个正四面体。至于正十二面体，先从比较厚的卡纸上裁下12个正五边形，将其中3个粘在一起形成一个角点。3个正五边形平铺时，会留下一个小缝隙，如果将缝隙黏合，五边形就会立起来，从而形成一个三维顶点。将12个五边形全部拼接起来，每个顶点分配3个，你就会得到一个属于自己的正十二面体。这样你就无须借用别人的多面体了。

遗憾的是，上述方法不适用于正六边形，因为3个正六边形恰好可以严丝合缝地拼在一起。将正六边形互相拼接在一起，像六边形瓷砖一样铺满一个平面。到了正七边形以上更糟糕：没法三个三个地合在一起在平面上平铺。因此，边数大于5的多边形无法形成正多面体。不过，等边三角形还可以构成另外两种三维图形。

除了用3个面形成每个顶点，你也可以用4个面来形成一个顶点。平铺时，4个正三角形会留下120°的空隙，将空隙黏合，会形成一个比正四面体稍钝的顶点。继续用4个面构成其他顶点，将8个三角形拼接在一起，你就会得到一个正八面体。我们还可以继续改变，使每个顶点由5个正三角形组成，这样会留下60°的空隙。将20个三角形拼接在一起，你便会得到难以置信的正二十面体。6个正三角形在同一顶点恰好严丝合缝， 柏拉图立体至此走到尽头。

“三维空间中只有5种柏拉图立体”在数学中是一个非常著名的定理。欧几里得曾在《几何原本》最后一卷给出了证明（第13卷，命题18），这是《几何原本》的最高潮部分。当然，前面也有很多令人兴奋的地方：有关毕达哥拉斯定理的精彩证明是第一卷的压轴重戏，柏拉图立体与其难分伯仲。但不幸的是，柏拉图立体并不如人们所期待的那样神秘。柏拉图错了：棱角柔和的二十面体并不是水的基本组成单元；火也不是由尖利的正四面体组成。开普勒的太阳系模型认为，行星轨道由柏拉图立体嵌套搭建而成，这也被证明是错误的（值得称赞的是，行星轨道之间的实际比例差不多是对的）。此外，我也认为新石器时代出现的柏拉图立体是巧合。那时的人们通过石块撞击摩擦制作各种形状，只是有一些图形凑巧比较像柏拉图立体而已。

然而，柏拉图立体在自然界中确实是存在的，以一种极其亲密的方式，远超你的想象。很多病毒的形状就酷似正二十面体。如果你曾经感染过这类病毒（如疱疹），那么你已经被正二十面体入侵过了。柏拉图立体是最简单的立体图形，所需部件相对其他立体图形是最少的，所以病毒构建它们会非常容易。描述一个正二十面体只需要很少的信息，它们的基因编码只需要记录：“制造大量三角形，每5个形成一个顶点。”病毒所做的正是这些事。 VkSNSEZElga1QERYDtJx4tXJK2LY85Bask/ogL50mmIfYbCnPMaI2IUPEd31NlbB