让大硬币穿过小孔的方法

几年前，我和朋友在美国自驾游。当时我们正沿着内华达一条非常笔直的公路开着。沙漠中几乎没有障碍物，所以公路应该很直，这样可以尽可能走最短的路线，但是，公路突然向右转，然后又向左转了回来，再次恢复笔直状态，就像什么也没发生过。公路似乎在躲避什么只有公路自己才能看得见的物体。

肯定与许多先前来过这里的游客一样，我们开始琢磨为什么公路会这样突然转向。在修建公路之时，转向之处曾经有一棵树或者什么建筑吗？一个想法吸引了我：公路规划者总是在平面地图上以直线规划公路，但在现实世界中，这些直线必须面对一个事实：地球表面不是平面，而是弯曲的球面。相对于平面，直线在球面上的表现会不同。公路上出现的转向表明平面几何（flat geometry）与球面几何（spherical geometry）之间存在差异，急转弯则是弥补上述差异的一种方法。不过我的朋友要我把这其中的数学留到拉斯维加斯再想。

你可以在气球上再现球面几何。虽然气球不是严格的球面，但是很容易获得。只要不过分充气，它基本符合我们对球面的要求。接下来，就请准备好一只充好气的气球、一只签字笔和一段绳子。在气球的正中间画一条线代表赤道。下面，我们要画一条和赤道平行的线，这需要一些精细的操作。首先，画出与赤道等距的两个点，两点之间的距离为气球周长的 ⅓。在数学上，我们将直线定义为两点之间的最短路径。为了找到这条最短路径，准备好的绳子就派上用场了。连接两个点，在气球不发生形变的情况下尽可能拉紧。你会发现不管怎样，绳子都不会与赤道平行！它会先远离赤道然后再靠近回来。如果你的实验效果不明显，可以找一个比气球更大、表面更硬的球再试一试。

从气球的例子拓展，我们可知地球的纬线不是直线，你可能早已观察到它产生的效应了。例如，地图上的国际航线一般是弯曲的，飞机看起来像是沿曲线而不是直线飞行，这是因为飞机的航线是球面上的最短路径。球面上的直线在肉眼看来之所以不是直的，是因为我们的眼睛在球面世界之外，而直线是随着曲面弯曲的。如果你被困在球面上，它们确实是最短的路径。回到之前的公路，我认为弯曲是由于内华达公路规划者在平面地图上所画的直线没有转化为球面上的直线。

从小时候起，我们一直默认存在互相平行的直线。铁轨这样的物体更加加深了我们的错觉，但实际情况并非我们想的那样简单。欧几里得也在《几何原本》中提到了这一点。我曾经说过，欧几里得设定了两个初始假设：直尺可以画直线，圆规可以画圆。实际上，他将它们表达成了4个公设（postulate），今天的数学家将它们称为公理（axiom）。无论怎样命名，它们都是一些看起来非常简单、不证自明的命题，我们可以安心地假定它们的正确性，无须进一步证明。按照他给出的顺序，我用自己的语言表达欧几里得公设：

·任意两点可用一条直线连接。

·直线可以延长至任意长。

·你可在任何位置以任意半径画圆。

·所有直角都是相同的（即周角的¼）。

著《几何原本》时，欧几里得试图从这4条公理出发证明平行线的存在，但是他失败了，而且不仅他一个人遇到这个困难，在那个时代，不管数学家怎样努力，也无法用欧几里得的4个公理证明平行线的存在。《几何原本》一直没有跳过这个坎儿。

欧几里得的解决方案是认为平行线的存在理所当然，并直接将其列为第五公设。但即使是欧几里得自己，也觉得这样做可能属于作弊。这个命题并不像前4条公设那样显然——平行线的存在是一个更复杂又更微妙的概念，似乎需要证明。在《几何原本》中，前4条公设的叙述简单明确，总共不过34个词（原著），而第五公设竟然用了35个词。这完全就是古希腊版本的“漏引参考文献”的论文啊。

这可是一张巨大的免死金牌！我们知道，数学是一场游戏，你自己确定初始规则，然后照章行事。事实证明，欧几里得选的这套规则并不是唯一的选择……不过，数学家们用了整整2,000年时间，才找到其他同样靠谱的规则。1823年，鲍耶·亚诺什（János Bolyai）和尼古拉·罗巴切夫斯基（Nicolai Lobachevsky）各自尝试，保留欧几里得前4条公设，但去除有关平行线的第五公设。令他们出乎意料的是，即使不用欧几里得规则，几何学照样成立，只不过和现在的几何有些奇怪的不同。

他们尝试在新体系下重现欧几里得的所有证明，但他们发现得到的结果有微妙的不同。即使像三角形这样简单的几何图形都变得非常不同。在《几何原本》第一卷中，欧几里得证明了三角形的一些标准定理，包括那个古老的结论：三角形的内角和等于180°。然而，在证明这个定理的过程中，他使用了平行线公设。在平行线不存在的球面上，他的证明将不再成立——三角形的内角和不再等于180°。即使只是简单地在气球上画三角形，你也相当于使用了数学的另一套游戏规则。

在球面上，如果一个三角形非常小，它看上去仍然很正常：3个内角的和大约仍为180°。但是，如果你画的三角形比较大，其内角和也会随之变大。让我们一起来看看吧。准备好充气的气球和签字笔。首先用笔从气球的顶端或者底部开始，沿气球表面画一条 ¼ 赤道长的直线，使其恰好触及赤道；然后转90°，沿赤道再画一条 ¼ 赤道长的直线；接着再转90°，从该点直接连接起点画一条直线。非常神奇，这条直线与最初那条直线形成另一个90°角。你得到的是一个“真正”的直角三角形——3个角全是直角的三角形。于是，内角和变成了270°（不是180°——向欧几里得致敬！）。因此，球面三角形的内角和为180°~540°，具体数值取决于三角形覆盖的球面面积。

在球面上，你甚至可以画出比三角形的边数还少的新图形。对于平面上的两点，它们之间只有一条直线，尽管我讲段子喜欢直来直去，但是一条直线除了直来直去好像也没有别的方法画出来了。然而，在球面上，你可以在两点之间画出两条直线。再拿出充好气的气球、签字笔和一段绳子。在气球球面上画两个点，然后用绳子将它们连接起来，你会发现有两个位置绳子都可以绷紧。新的图形诞生了：两条直线形成的图形被称为二角形（lune）。（二角形在常规的欧氏几何中是不存在的……我开始觉得欧式几何有些单调无味了。）

实际上，我们有两种非欧几里得几何，它们分别对应第五公设的两种反驳。原始的第五公设假设，对于任意一条直线及直线外一点，过这一点有且只有一条直线和原直线平行。对第五公设的第一种反驳是：过直线外一点没有平行线。从这种观点出发，我们建立了椭圆几何（elliptic geometry），它与我们前面所说的球面几何（spherical geometry）非常相似。 另外一种观点认为，过直线外一点的平行线多于一条，从它出发，我们就会进入诡异的双曲几何（hyperbolic geometry）的世界。

双曲几何是真的弧线球。双曲几何与球面几何相比，一个最根本的区别是：在球面上行走，你覆盖的面积比预期少，但在双曲面上行走，你覆盖的面积会比预期的多。如果你曾用纸包过球形物体，应该对此有所察觉：纸面与球面无法严丝合缝，最终会出现很多丑陋的褶皱。相反，如果你用纸去包裹一个双曲面，纸会被拉扯直至发生断裂，因为双曲面一直在向远处扩张。幸运的是，双曲面可以用毛线编织来制作。你可以先织一个圆盘，再给它增加外圈的同时每次都增加几针。（你也可以找个会织毛线的人来帮你做双曲面，可以用感情或金钱打动他，或者只是把钩针还给他。）织出来的东西必须一上一下不停弯曲，双曲面多出来的面积才有地方放，这样才能织出一个双曲面。