不规则滚动

下面介绍一些极其另类的等宽图形，它们与勒洛三角形及其他正曲边形相差甚远。我们现在要做的是看看能在滚动时保持等宽的图形可以有多奇怪。这些图形应该都可以像圆那样在两把平行的尺子之间轻松地滚动。

第一回合：不同的角度

我们的第一个挑战是：多边形的边数依然保持奇数，并且边长依然相等，但各角不再相等。你可以轻松画出一个不太规则的五角星形。画这样的图形，星形是一个不错的开始。在下面的例子中，我们利用五角星形构造等宽图形，而不是五边形。首先，选择边长（10cm是个不错的选择，这样画出的图形就可以兼容你先前构造的图形），然后随意画出前3条边，只需保证第三条边与第一条边交叉即可。剩下的两条边就不能随意画了，因为只有一个点可以保证最后两条边的长度都为10cm，从而确保完成这个五角星形。

用这个变形的五角星形构建等宽图形的方法和构建勒洛三角形一样简单。只需将圆规的尖脚扎在每个角点，然后画出对边的弧边即可。由于五角星形各边长度相等，我们画的圆弧会恰好经过五角星形的相邻角点。不管最后画出的图形多么古怪、多么扭曲，我们都可以肯定它是等宽的。你可以将它剪下，与其他宽度为10cm的等宽图形对照验证，或者更进一步，制作两个不同的等宽图形，彼此验证。

如果你不仅要更进一步，还希望有所突破，可以尝试其他奇数边图形，上述方法依然奏效，比如用不规则七角星形或九角星形生成等宽图形。这里唯一的困难是确保角点的顺序要正确。如果顺序不合适，圆弧会与边相交，这样画出的图形就不再等宽了。一旦你掌握了其中的技巧，就可以随意增加边数，没有上限。不过当边数超过9，画出的图形看上去有点像稍微变形的圆，就像超市手推车的轮子。

第二回合：不同的边长

现在，我们要增加一点难度：我们要用边长不相等的奇数边图形生成等宽图形。这有点复杂，用前面方法画出的弧不再恰好经过角点。为了解决这个问题，我们可以延长各边，把相差的部分补足。下面，我们就用边长分别为9cm、6cm、5cm的三角形试验一下。严格遵循上面的教程，最终会得到一个不规则等宽图形，它的宽度依然是10cm。

如果你画出几个这样的图形，会发现这些等宽三角形的宽度总是等于原始三角形最长两条边的边长之和减去最短边的边长。这其实是很显然的，仔细观察最短边，在一个方向上，它会延长至与最长边等长的位置，在另一个方向上，它会延长至与第二条长边等长的位置，所以总宽度就等于最长边的长度加上第二长边的长度减去最短边的长度，因为最短边被计算了两次。懂了吗？此外，每条边的补充长度还等于对边长度减去最短边的长度。

奖金回合：任意边数

现在是作图超级联赛时间：画出任意多边等宽图形，奇数边或者偶数边。之前介绍的方法可以推广到任意不等长奇数边图形。我最喜欢的例子是用边长分别为8cm、7cm、6cm、5cm、4cm（顺序非常重要！）的五角星形构建等宽图形。运用之前的方法，先在最长边与最短边之间画弧。

画这类图形的一个困难之处在于要确保图形的边不会向内弯曲。如果图形有些边向内部弯曲，就成为凹图形（concave shape，这个术语非常好记，因为边向内弯曲形成凹陷）。凹图形肯定不是可滚动的等宽图形，因为一些边无法接触地面。一旦掌握了画凸图形（convex shape，不是凹的）的窍门，就可以画出任意不等长奇数边的等宽图形了。

如何画出偶数条边的等宽图形？这才是真正的挑战。边数为奇数的多边形含有奇数个顶点。因此，当一个奇数边多边形转化为等宽图形时，每条边都对应一条弧边，除了一个顶点，其他每个顶点都对应一条延长边。因为其中一个顶点没有延长边，所以我们画出的等宽图形仍然是奇数边。要画出偶数边等宽图形，只需把所有延长边稍微增长一些即可。

先前我们将9cm×6cm×5cm的三角形的各边延长了0cm、4cm和1cm。将这些延长边适当等长延伸一些，我们就会得到一个新的等宽图形。要画出这样的图形，一个简单的做法是：将圆规的半径增加1cm，并把延长部分增加1cm、5cm、2cm。或者，尽兴一点，你想增长多少就增长多少，你有无穷多种选择。调整第一条延长边的长短，所有不规则奇数边多边形就可以产生无数个不同形状的偶数边等宽图形。每个初始多边形都可以得到整整一族（family）解。