等宽图形

在我打出这些字的时候，我面前的桌面上放着一枚百慕大（Bermuda）的三角形硬币——百慕大铸币厂于1998年制造的限量版3美元硬币。限量是非常正确的选择：这种三角形硬币一点也不实用。历史上的硬币通常都是圆形的，因为圆形更容易铸造，并且没有尖锐易损棱角的硬币更适合随身携带（尖锐的棱角会不断与口袋或钱包的衬里摩擦，甚至戳出一个大洞）。在现代社会，将不同面额的硬币设置成不同的直径可以让机器很容易区分它们，比如自动售卖机：圆形硬币可以顺着售卖机内部的轨道滚下，不管硬币朝向如何，售卖机都可以根据直径识别它们。如果采用方形的硬币，则问题多多，因为在滚动过程中，它的宽度（与圆的直径类似）会不断改变。

我很想知道换成三角形硬币会发生什么，于是我从网上搜获了一枚（购买价格已远超原本的面值三倍），这样我便可以仔细研究一番。真品认证书上列出了一系列官方数据：它由20克925纯银制成（这让我觉得我没有被骗），总发行量为6,500枚，直径为35mm。且慢！为什么三角形会有直径？三角形的跨距应该会随着测量位置不同而改变，但真的是这样吗？于是我拿了一把尺子，在几个不同方向上测量这枚硬币，跨距确实都是35mm，认证书的标注（以及精度）没有错。这是因为这枚3美元面值的百慕大硬币不是普通的三角形。

实际上，这个图形我们已经见过了。回翻“构造平面图形”那一章的插图（第32页），为了画出等边三角形，我们绘制了3个相交的圆。这个硬币的形状就隐藏在几条时常被我们忽视的作图线中。若用直线连接3个交点，就能连成一个三角形，若用3条圆弧连接，就能连成曲边图形，3美元硬币正是这种形状。另外，这个图形也隐藏在比萨问题的解法中。

这个三边图形除了可以完美平分比萨，还有一个非常重要的性质：不管怎么放置，它的高度总是相同的。这意味着它可以滚动起来。如果将翻滚者的两个圆片并排平放在桌面上，夹在两把平行的直尺间，它们很容易滚动起来，因为圆的宽度不会改变（出于某些原因，我们用“宽度”来描述这种性质，而不用“高度”和“直径”）。接下来，我们再找一些卡纸，将圆规两脚的距离扩大到10cm，像第二章那样画出3个包围等边三角形的相交圆（不必画出整个圆，只需画出形成三边形的3条边即可），并将这个图形剪下，然后如法炮制，再剪出第二个。如果将它们夹在两把平行的直尺间，它们依然可以轻松地滚动。你也可以将其中的一个替换成圆，不管怎样，直尺间的距离总是保持在10cm。

如果你嫌上面的操作太麻烦，可以找一些20便士或50便士的硬币。它们都是正七边形，不过是曲边七边形。你也可以用卡纸做出这个图形：将圆规的针脚固定在正多边形的每一个顶点，画出经过对边两端点的圆弧。利用这个方法可以画出任意奇数边的正曲边多边形。不管是50便士硬币，还是你用圆规和卡纸画出的图形，都可以在两把平行的尺子间完美地滚动，所以奇数边的七边形50便士和20便士硬币依然可以在自动售卖机中使用，尽管它们不是圆形。不过，澳大利亚从1969年开始就一直使用十二直边硬币，英国也在2017年引入一种直边硬币，售卖机可以接受合理范围内的宽度变化，所以将硬币做成曲边或许是多余的。

曲边等边三角形有很多奇妙的性质，这使得它获得一个专属名字：勒洛三角形［Reuleaux triangle，命名自19世纪德国工程师弗伦茨·勒洛（Franz Reuleaux）］。它除了可以用于铸造硬币，还可以用在钻头中，这种形状的钻头可以打出近似正方形的洞。但在现实中，它的用处并没有这么大，因为很少有方形截面的钉子，而圆形截面钉子和方形孔又不相容。然而，美国专利局在1978年确实接收了一项勒洛三角形钻头的专利（专利号为4074778），它用于开采煤矿。我猜这项专利直到现在仍然无人竞争，鲜有人用。 LmQpcoP8dJyu+HSB8SukDIQvGIDyaYxOHeDo1Shzd0MoyESRyx+a9sfDIw7uNkb8