第4章
变形

在本章开始之前，我们要做一些好玩的事。快把剪刀准备好，但当心别让剪刀伤着自己。在这一章中，除了剪刀外，我们还要用到一副圆规（好吧，其实是一个圆规）。找一些足够厚但又稍微有点褶皱的卡纸，比如纸箱的纸板，从上面裁出两个直径为10cm（即半径为5cm）的圆。你既可以使用圆规来确定尺寸，也可以将本书的模板裁下，放在卡纸上，绕着它的圆周剪出两个圆。裁剪完毕后，再确定它们的圆心（如果你是用圆规画圆，就不需要这一步了，因为圆规尖脚扎出的孔洞就是圆心），然后从边缘往圆心方向裁出一条细开口，长度为半径的29%（半径为5cm的圆，要裁的长度大约为1.5cm）。开口要足够宽，确保两个圆能够相互嵌入。将这两个相互嵌入的圆片放在桌子上，让它们滚动起来，我们便可欣赏到这个奇异装置的怪异运动方式了。

这个装置名为翻滚者（Wobbler）。只有当两个圆相交的部分恰到好处，它才会一直翻滚。如果两个圆相交过多，翻滚者翻滚几下就会停在位置A，见第65页图所示，两个圆片与桌面的夹角都是45度；如果相交太少，那么翻滚者就会停在位置B，有一个圆片直立着，与桌面成直角。只有开口的长度恰好是半径的29.2893%，翻滚者才能一直翻滚下去。当然，由于摩擦力和空气阻力的作用，它还是会慢慢减速停下来（而且我们也不可能精确地切出小数长度的开口），但是让翻滚者滚过整张桌面甚至整间屋子还是有可能的。

翻滚者之所以能够不停地滚动，是因为它的重心（centre of gravity，物体质量的中心）高度在翻滚过程中一直保持不变。它的稳定水平足以让它在世界水平的比赛中保持冠军水准。由于提升重心需要做功和消耗能量，物体不会自己往高处跑。因此，如果物体在平面上滚动需要不断提升重心高度，那么它就不会自动滚起来。这就是为什么圆可以做成轮子：在滚动过程中，圆的重心会一直保持在同一高度。这也是为什么正方形轮子会很糟糕：即使用力撞击它，它也不会滚动。要让正方形滚起来，需要大力抬起它使其单角着地，然后让它再从另外一个方向落下去。圆可以在平面上自动滚动下去，但是要使方块不断滚下去，你就得不断地施加作用力。

你可以证明，当翻滚者处于位置A和位置B时，其重心高度是一样的。这其中运用到的最复杂数学原理也只是毕达哥拉斯定理。你可以在书后的“疑难解答”找到完整的证明，包括开口的长度为什么要取半径的29.2893%（简单来说，这样可以使两个圆盘的中心距离恰好是 ×半径长度）。神秘的 再一次出现，把我们带回到平方根。不过，要证明重心高度不变却要费一番周折，数学家戴维·辛马斯特（David Singmaster）于1990年成功地给出了这个证明。这个翻滚者的重心虽然高度不变，却会前后摇摆，这就是为什么翻滚者会在前进过程中东倒西歪，就像喝多了一样。

我能找到最早提及翻滚者的文献出自1966年《美国物理期刊》（ American Journal of Physics ），作者为A. T.斯图尔特（A. T. Stewart）。当时他将其命名为二圆滚动者（Two-circle Roller）。人们使用圆形的轮子已经有上千年的历史。轮子可以看作是人类的第二项伟大发明（排名仅次于火，比切片面包稍微靠前）。因此，我很惊讶直到20世纪60年代，人们才发现这种使圆滚动的新方法。这种方法对椭圆（ellipse）也奏效。正如正方形是四边等长的长方形，圆则是长半径与短半径相等的椭圆。虽然椭圆不能像传统轮子那样滚动，但你仍然可以利用两个椭圆圆片制成一个翻滚者。不过要注意的是，不同椭圆的开口长度是不同的。

然而，在完美有效的滚轮中，我们不能过早排除正方形。在特定的曲面上，正方形也可以非常轻松地滚动起来，比如我们可以让路面颠簸一点来抵消正方形滚动时重心的上下移动。要让正方形优雅地跳舞，只有一种曲线能够满足我们的要求，那就是悬链线（catenary）。之所以起这个名字，是因为它是由一条锁链两端悬挂形成的图形；另外，锁链（chain）在拉丁文中是“ catena ”。举起一段锁链的两端，你就能看到这种曲线了（注意，绳子太轻，靠自身重力可能无法形成悬链线）。将悬链线翻转，反复拼接在一起，正方形就可以轻松地在这种路面上滚动啦。不仅正方形如此，几乎所有的图形，我们都可以找到一种奇怪的颠簸路面，使其在上面轻松滚动。