毕达哥拉斯的难题

欧几里得可能是第一位尝试将数学统一为一个整齐严格体系的数学家，但在他之前，第一位明星数学家已经出现，他就是传奇数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）。代代相传的数学教育使我们将他的名字与三角形建立了根深蒂固的联系， 但其实他还可能是第一位研究纯粹数学的人。他不仅发现了图形与数的规律，而且证明这些规律永远都是正确的。

虽然他名扬在外，但我们对他的生平知之甚少。在欧几里得之前，大约公元前6世纪，毕达哥拉斯出生于希腊萨摩斯岛（Island of Samos）。大约公元前535年，晚年的他去埃及生活了一段时间。之后，他在家乡建立了一个俱乐部——毕达哥拉斯半圆学会（The Semicircle of Pythagoras）。后来，他又在意大利南部的克罗托内（Crotone）建立了一个哲学与宗教学派（毕达哥拉斯学派），并最终在此地去世。毕达哥拉斯学派（Pythagorean Society）在数学上确实取得了很多成果，但他们在更大程度上是一个宗教组织。他们信仰“世界的本源即是数”，但更倾向于通过哲学来达到精神上的纯净。如果你想深入了解，你会找到很多有关毕达哥拉斯学派独特信仰（及他们禁食豆类）的故事。

在数学上，这个学派开展了很多我们现在非常熟悉的工作，包括研究三角数。毕达哥拉斯也发展了和声与音程之比的关系理论。我们认为欧几里得著作中的很多成果都是由毕达哥拉斯学派最先发现的，包括《几何原本》卷四的全部内容。但这个学派主要因毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem）而闻名。毕达哥拉斯定理道出了直角三角形各边之间的永恒关系。有关毕达哥斯拉定理的证明是《几何原本》卷一的主要内容，也是该著作的根基之一。

简单来讲，毕达哥拉斯定理指出，直角三角形两条短边边长的平方和恰好等于其最长边边长的平方。［直角三角形的最长边通常被称为斜边（hypotenuse），它由古希腊人命名。这个定义原本的定义是：斜边边长的平方等于另外两条短边边长的平方和。］欧几里得的原话则是：“在直角三角形中，直角对边边长的平方等于两条直角边边长的平方和。”引用一句孩子们的话：“我们为什么要知道这个定理？”

早期，数学的发展仅仅建立在“需要知道”的基础上，它是日常生活中的实用工具。人们最初研究直角三角形很可能是因为人们真的需要它，比如精确建造一面垂直的墙，或者均匀划分田地。一些在实践中经常使用三角形的人已经注意到两条直角边边长的平方和等于另一边边长的平方，并把这个结论应用于现实生活中。古巴比伦人早在毕达哥拉斯之前的一千多年就已经知道毕达哥拉斯定理描述的事实 ，而且当毕达哥拉斯访问埃及时，这类直角三角形在生产实践中已有实际应用。

毕达哥拉斯对数学的贡献并不在于这个定理本身，而在于他证明了这个定理对所有直角三角形都正确。在毕达哥拉斯之前，数学都是实用的，总是和现实世界中的物理实体相关，而他是第一个不考虑实际用途，将数学作为一门抽象学科研究的人。他证明了这个平方和规律不仅仅对古时人类选择的几种直角三角形成立，实际上对（欧几里得几何空间中的）任意直角三角形都成立。

遗憾的是，毕达哥拉斯本该对数学持有更加开放的态度，但他并没有。他的定理表明，如果一个直角三角形的两条直角边边长都是1（任何单位都可以：厘米、英寸、英里等），那么第三条边的边长一定是 （约1.4142厘米、英寸、英里等）。如果拿出你之前画的正方形，它的对角线长度恰好是 ，但毕达哥拉斯拒绝接受 的存在。

毕达哥拉斯学派认为，任何数都可以表示为两个因数相除的结果。也就是说，对于任意数n，总存在另外两个整数 a 和 b ，使得 a ÷ b =n。但他们错了， 就是一个反例：任意两个整数相除，结果都不会得到 。有记载说，当毕达哥拉斯学派的一个成员意识到他们的错误［似乎是一位名叫希帕索斯（Hippasus）的小伙子，但古文字记载很不明确］，他就被淹死了（也可能是受到别的类似惩罚，历史细节都在时间长河中流失了）。但不管怎样，毕达哥拉斯学派本来可以开启我们现在称为“数学证明”（mathematical proof）的先河，可是当结果不合他们的胃口时，他们却选择视而不见。 LmQpcoP8dJyu+HSB8SukDIQvGIDyaYxOHeDo1Shzd0MoyESRyx+a9sfDIw7uNkb8