第3章
平方根的秘密

1994年，美国国家航空航天局在官网不起眼的地方挂起了一串奇怪的数字代码，现在你仍然可以找到它。如果你点开美国国家航空航天局官网的“每日天文”（Astronomical Picture of the Day）栏目，会发现一个隐藏目录“htmltest/gifcity”，其中有一个名为“sqrt2.10mil”的神秘文件。找到并打开它后，你的电脑屏幕就会被一大堆数字塞满。这个文件中一共有1,000万个数字，下面是最开头的一些数字：

这些足够了吗？我不知道为什么美国国家航空航天局要生成这么一大串数字。不过，我倒是有个不错的猜测：它是数学家们非常熟悉的数：2的平方根（square root）或称 。一个数与它自身相乘被称为平方。 和自己的乘积恰好是2。至于为什么美国国家航空航天局会把 的前1,000万小数位计算出来，我猜测纯粹是因为美国国家航空航天局的工程师觉得这么做很有趣。

数学家对平方数（square number）异常地着迷。写下1，2，3，…，然后将它们都平方，你就会得到平方数序列：1（1×1），4（2×2），9（3×3），…。通常我们不会用两个相同的数相乘来表示一个数的平方，而是在这个数字的肩上写下上标（ ² ），比如1 ² =1，2 ² =4，3 ² =9。你会在各类数学难题和游戏中频繁见到平方根和平方。例如：重新排列1~16，使每对相邻数的和是一个平方数。（先别着急解答……）

我也无法逃脱这种着迷：我很喜欢平方。有一次，我和几个朋友在酒吧喝酒，我们的桌号是36，于是我就这个数开始侃侃而谈。这时我忽然发现还有其他“形状”的数，而且36不仅是平方数，还是所谓的三角数（triangle number）。我从来没有想过有些数既是三角数又是平方数，这让我一时吃惊得说不出话来。我猜当时酒吧服务员应该也被这件事震惊了，因为他们都呆站着盯着我。

平方数和正方形之间可以直接联系在一起。如果你有一些物体的数量刚好是某个平方数，你就可以把它们排列成正方形阵列。其他形状数也类似，三角数代表你可以将这个数量的物体排列成三角形。36可以排成6×6的正方形，也可以排成8×8的三角形。除了平凡的1以外（我通常直接忽略它，因为它实在太普通了），36是最小的既是平方数又是三角数的数。比它小的平方数（4、9、16） 都不是三角数。当时我很想找到一个比36大的三角—平方数（triangle-square number）。幸运的是，与我同行出来喝酒的两个朋友都是数学家，于是我们马上开始搜寻。但我们喝了许多酒，也始终找不到一个这样的数。

我们当时想的所有找三角—平方数的简单方法都不奏效，看来非得在吧台把电脑拿出来不可。于是我们取出电脑，新建了一个空电子表格，在一列中列出几千个平方数（参见第2章有关“作弊”的脚注，38页）。在这里，我们需要一些代数技巧：记某个数为n，那么它的平方就是n ² ；三角数要稍微复杂一些，第n个三角数可以表示成n×（n+1）÷2，因为两个三角数可以组成n×（n+1）的矩形。电子表格很擅长做这些计算，很快我们就在另一列中生成了几千个三角数。多么美妙的一晚！（但我绝不鼓励醉酒推导。）接下来，我们只需找到两列中相等的数。36的下一个数是1,225，然后是41,616、1,413,721和48,024,900。

不过，我们这三位一起去喝酒的数学家，即使加上这几台笔记本电脑，也不能算走在数学研究最前沿。总会有人继续深入和推广：数学家已经发现了与各种形状相对应的数。五边形、六边形都属于多边形（polygon），所以就应该有各种多边形数（polygon number）。下面我就抛出一些例子：前5个五边形数（pentagon number）分别是1、5、12、22和35，前5个六边形数（hexagon number）分别是1、6、15、28和45。（书后的“疑难解答”介绍了更多例子。）在0和1之后，最小的平方—五边形数（square-pentagon number）是9,801（紧接着就是庞大的94,109,401）。在100万之内（在0和1之后），只有两个三角—五边形数（triangle-pentagon number）：210和40,755。目前还没有人找到同时是三角数、平方数和五边形数的数。数学家们已经搜寻到了包含22,166个数字的数，但仍然没有找到三角—平方—五边形数（triangle-square-pentagon number）。不过，除非有人能证明这样的数根本不存在，否则搜寻仍将继续下去。

我们不禁要问“为什么”。我们现在问的几个好问题都是“为什么”。比如，下面就是一个很好的问题：为什么数学家要花费这么多宝贵的时间去找寻这些奇怪的数？肯定不是因为这些数有用——这些数没有任何实用价值。搜寻它们只是一种数学游戏，找到它们是为了获得成就感。数学中的很多问题类似于猜火车游戏或者集邮。嗯，这两个比喻可能不是很恰当，但道理确实是这样。你也可以把数学想象为大型狩猎活动或者迷人的电子游戏，其乐趣在于探索未知，攻坚克难。

让我们回到最开始的难题。

如果你已经自己尝试过重排1~16，使相邻两数之和等于一个平方数，那你已经具有数学家的潜质了。下面是你将要得到的正确答案：

当你逐渐接近这个答案，我想你会兴奋得如同在广袤的热带草原上看到非洲顶级猎食者的捕猎场景，或者在赫特福德郡郊外发现罕见的英国铁路太平洋（LNER Pacific）牌蒸汽机 。钻研数学的乐趣与这两者不相上下。实际上，我们认为正是人们对平方数的痴迷使得数学得以诞生。如今，数学已经产生出各种各样对人类大有裨益的成果，但那绝不是数学最初的动机，也不是现在数学存在的动机。当然，有些数学领域确实是出于实用目的才产生的，但即使是这类数学，其根源都是人们最开始对趣味的追求。数学本就该如此。 LmQpcoP8dJyu+HSB8SukDIQvGIDyaYxOHeDo1Shzd0MoyESRyx+a9sfDIw7uNkb8