01　类比的力量

什么是“类比”与“类比推理”

据说，在鲁班发明锯子之前，人们砍树全靠斧子，干活儿又累又慢。有一次在上山时，鲁班的手在无意间被一种山上长的野草叶子划破了。野草的叶子怎么会这么锋利呢？鲁班不由得驻足仔细观察，他发现，这叶子长长的，边缘有许多锋利的小齿。既然带有小齿的野草可以划伤手，那么更硬的“齿”能否划伤木头，甚至使其断成两截呢？带着这个想法，鲁班仿照野草的小齿制作了带齿的工具，锯子就这么被发明出来了。

从远古时期，人类就开始了对月球的凝望。在很长一段时间里，月球被视为神灵的领地，是圆满和平滑的。直到 1609 年，伽利略将他的望远镜转向月球，才发现它的表面并非完美的，而是布满了混乱的峭壁和陨石坑。

伽利略在望远镜里看到，月球黑暗的部分里有一些光点，这些光点逐渐变大、变亮，最后跟其他光亮的部分融为一体。伽利略觉得，这个现象很像早上的太阳照射在地球的山上，太阳爬得越高，山的阴影就缩得越小，最后整座山都沐浴在阳光之下。他认为，阴影和其他光学现象在地球和月球上应该是一样的。因此，伽利略下结论：月球的表面一定不是光滑的，而是高高低低，跟地球一样有山有谷。

这两则小故事的背后就是类比的力量。

那什么是类比呢？ 类比 ，是对两个事物进行比较，突出它们被认为相似的方面，其主要目的是用我们熟悉的事物去解释我们不熟悉的事物。 类比推理 ，是一种基于类比的思维方式，即根据两个（或两类）事物的某些属性相同或相似，推出它们的另一属性也相同或相似。有人认为，类比是建立或揭示不同想法之间关系的智力“超链接”。

我国古代名著《战国策》中记载了一则邹忌的故事，算是类比推理的绝佳案例。

在上面这则故事中，邹忌分析了自己的妻妾和客人对自己不说实话的原因，并把这一套推理用在了相似的场景，即齐威王与宫妇、朝臣、其他诸侯国的关系，得出“王之蔽甚矣”的结论，最终使得齐威王大力纳谏，成就伟业。

在前面伽利略的故事中，伽利略基于一个事实——阴影和光学现象不因地球和月球而变化——和相似的观测现象，推测出月球上也应该和地球上一样有山有谷的结论。

类比推理是人类的思想基础，甚至也是一些非人类动物的思想基础。从人类发展历史来看，类比作为产生新发现的辅助手段，被广泛认为起着重要的启发式作用。化学先驱约瑟夫·普里斯特利（Joseph Priestley）认为，类比是探索研究的最佳指南，所有非偶然的发现都是在它的帮助下做出的。

从类比的对象来看，类比可以分为 概念与操作的类比、结论的类比、方法的类比 。通过类比，我们往往可以发现一些新的结论。

比如，我们已知 在具有固定周长的所有长方形中，正方形的面积最大。 那么，我们能不能通过类比，将这个结论推广到三维空间呢？

为此，我们首先得对这个命题所涉及的“二维”和“三维”概念进行类比。

由此，我们可以推测出这一命题的三维类比结论： 在具有固定表面积的所有长方体中，立方体的体积最大。

类比的例子

下面我们举几个类比的例子。

(1) 非十进制与十进制的类比

我们知道，在十进制中，被 9 整除的数的特征是其各位数字之和能被 9 整除。其推理过程基于数的位值表示，例如：

因此，297 能被 9 整除当且仅当其各位数字之和，即 2+9+7=18，能被 9 整除。

于是，我们可以做这样的类比： 在七进制中，被 6 整除的数的特征是各位数字之和能被 6 整除。 其推理过程可以类比十进制的推理，例如：

因此， 能被 6 整除等价于其各位数字之和，即 4+3+5=12，能被 6 整除。

类似地，我们知道，在十进制中，循环小数化分数有下面的结论：

如果不采用无穷级数求和，推导过程如下：

设

则

所以

那么对于其他进制来说，比如在七进制中，通过类比也能得出类似的结论：

比如，

(2) 祖暅原理

祖暅原理是一则涉及几何求积的著名命题，它是这么说的：“幂势既同，则积不容异。”“幂”是截面积，“势”是立体的高。这句话的意思是：两个同高的立体，若在等高处的截面积相等，则它们的体积相等。也就是说， 夹在两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，那么这两个立体的体积相等 （图 1.1）。

如果把这个原理应用到二维呢？我们还可以进行类比。首先，要有一些概念的对应关系。

由此，我们可以得到祖暅原理的二维类比结论： 夹在两条平行线之间两个平面图形，被任一平行于这两条平行线的直线所截，如果两条截线段的长度相等，那么这两个平面图形的面积相等 （图 1.2）。

(3) 三角形与四面体的重心

我们可以按下述方式找出三角形的重心： 三角形的三条中线交于一点，这个点即为三角形的重心 （如图 1.3 所示的 点）。

那对于四面体，是不是也可以类似地找到它的重心呢？

为此，我们也需要运用概念上的类比。

我们可以这样类比： 将四面体的一条棱及其对棱的中点连接起来的三角形称为四面体的中面，那么一共有 6 个中面，且这 6 个中面交于一点，则这个点就是四面体的重心 （图 1.4）。

虽然我们暂时不去证明 6 个中面是否交于一点这个结论，但至少，我们预感这么类比出来的结论应该是对的。

(4) 微积分求面积与体积

在使用微积分这一工具求面积的时候，我们把平面图形看成由无数个小长方形组合而成的图形（图 1.5）。大家请注意：不要被“微积分”这个名称吓倒，其实，微积分的原理小学生一般都能理解，圆的面积就是使用微积分思想来求的。

类比一下，我们可以把这种方法应用到在三维空间中求物体体积的问题中。这时候，我们把立体图形看成由无穷多个柱体组合而成。这里， 二维中的长方形就被类比成了三维中的柱体 （图 1.6）。

(5) 分割到无穷

图 1.7 中的大正方形边长为 1，首先被分成 4 个相等的正方形，将左上角的正方形涂色，再将右下角的正方形一分为四，然后将其左上角的小正方形涂色……如果我们一直持续这一过程，那么最后被涂色的部分占整个大正方形的面积的多少？

这个问题最直接的解法要用到小学生很难理解的无穷级数求和。假如不用无穷级数求和，那还可以这么考虑：去掉右下角的 块，在剩下的部分中，涂色部分占 （如图 1.8 左）；而在被去掉的 块里，再去掉这个 块的右下角的 块，那么涂色部分依然占整个面积的 （如图 1.8 右）。依此类推，每次都去掉右下角的一小块，涂色部分的面积在不同的尺度上都是整个面积的 ，因此整体上涂色部分面积为整个正方形面积的 。

基于这个思路，我们是不是可以类似地解决下面这个问题？

在这道题中，三角形对应于前面问题中的正方形。在正方形问题的解法中，我们在正方形中去掉一块放大后与原图一样的部分（即右下角的 ）。对应地，我们也找出图 1.9 的图形中放大后与原图一样的部分，显然是点 对应的三角形。如图 1.10 所示，把它去掉后，在剩下的部分里，黄色区域的占比为 。因此，全部黄色部分面积在整个正三角形中的占比也是 。

(6) 直线分平面与平面分空间

我们再来看一个经典的问题：

如果采用递归的思想，我们知道： 条直线最多把平面分成的块数是 条直线最多把平面分成的块数的基础上再加 。从而， 条直线能把平面分为：

（块）

验算一下：当 时，平面分成的块数分别为 2, 4, 7。满足题意。

题解到这里，当然不算结束，因为核心问题还没有解决。刚才的归纳只是一种猜测，还需要证明其正确性。为什么 条直线最多把平面分成的块数是 条直线最多把平面分成的块数的基础上再加 呢？这就涉及“ 直线 – 交点 – 线段 – 平面 ”之间的关系。

我们知道，如果一条直线上有 个点，那么这些点将把这条直线分成 段。如果原来有 条直线，那么在加上第 条直线后，这第 条直线最多与之前的 条直线有 个交点，而这些交点将把第 条直线分成 段，其中每一段都把原来的一个区域一分为二，因此多出了 块。图 1.11 给出了 的情况。

我们完全可以把这个推理方法应用到非直线的平面图形划分平面的问题中，比如下面的问题：

我们可以沿用之前的递归思想和“交点–线段–平面”的分析方法。如果在 个圆的基础上增加一个圆，那么这个圆最多与前面的 个圆有 个交点（把图 1.11 中的直线想成圆，那么在加上第 4 个圆后，它最多与前面的 3 个圆都相交，最多增加 6 个交点）。这 个交点把第 个圆分成 段（这是一个封闭图形），每一段都把原来的一块一分为二，因此，最多多分出 块。据此， 个圆最多将平面分成的块数为：

如果增加一个维度，最初的问题就变成了：

如果我们从“点分直线成线段，线段分平面成区域”这一思想开始衍生，就会发现这个平面分空间问题的求解思路也可以类比直线分平面的做法。首先，我们得做一些概念和操作上的类比。

在直线分平面的问题中，我们通过多出的线段来分析在增加一条直线后，多分出的平面数；那么，在平面分空间的问题中，我们是不是也可以通过多出的平面来分析在增加一个平面后，多分出的空间数呢？

我们还是采用递归的思想。我们知道，2 个平面最多将空间分成 4 块（图 1.12 左）。如图 1.12 右所示，在 2 个平面的基础上增加 1 个平面（粉色平面），该平面与前面两个平面最多有 2 条交线（红色交线）；这 2 条红色交线把粉色平面分成了 4 个区域，即图中的 a, b, c, d；这 4 个区域分别把原来所在的空间一分为二，因此增加第 3 个平面后把空间多分出 4 块，总计分为 4+4=8 块。类似地，在 3 个平面的基础上增加 1 个平面，前面的 3 个平面最多和这个平面有 3 条交线；这 3 条交线把这第 4 个平面最多分成 7 个区域（由直线分平面的结论得到）；每一个区域将把原来所在的空间一分为二，因此在 8 块的基础上又多出了 7 块，也就是说，4 个平面最多把空间分为 8+7=15 块。

一般来说，第 个平面将和前面 个平面有 条交线，根据直线分平面的结论，这 条交线最多把第 个平面分为 个区域，从而能比 个平面把空间多分出 块。因此，平面分空间满足下面的递推关系：

类比的不足之处

但是，由于类比推理的逻辑根据是不充分的，其结论带有或然性、猜测性，只能得到不同程度上的论据支持，并不一定完全可靠，因此，类比只能作为一种“发现”的辅助手段，而不能作为一种严格的数学方法。对于经过类比推理得出的结论，我们还需要经过严格的论证，才能确认“猜测”出的结论是否正确。

比如，“这篇小说只有 1000 字，且文字很流畅，这篇小说得奖了。你写的这篇小说也是 1000 字，且文字也很流畅，因此也一定能得奖”。这样的类比无疑会得出错误的结论。

历史上，18 世纪的托马斯·里德关于其他行星上存在生命的论点也是基于类比推理。里德指出，地球和太阳系中其他的行星有许多相似之处：所有行星都围绕轨道运行，并被太阳照亮；有几个行星也有卫星；它们都绕着轴自转。因此，他总结说：“认为这些行星可能像我们的地球一样，是各种生物的栖息地，这并非没有道理。”最终，现代科学证明，这一类比结论是错误的。不过，即便如此，人类依然希望借助类比寻找适合生命存在的外星系类地行星。

并非每个人都真正懂得类比

讲到这里，或许很多人会觉得，类比已经是自己熟练掌握的思维方法了。但事实真的是这样吗？

小说《平面国》是 19 世纪一部畅想四维空间的先驱性作品，在小说的后半部分，作者大量使用了类比推理。

一直生活在平面国的主人公有一次梦见了直线国，试图向直线国的国王解释什么是二维平面，可再怎么解释都没能成功，只能作罢。

如果我们觉得主人公真正懂得类比推理，那就错了。

有一次，主人公正方形在给自己的孙子正六边形讲解几何学算术知识时，他那聪慧的孙子提了一个问题：如果把一个点移动 3 英寸 ，就能得到一条 3 英寸长的线段，可以把这条线段记作 3；如果把一条 3 英寸长的线段平行移动 3 英寸，就能得到一个边长为 3 英寸的正方形，可以把这个正方形记作 3 的平方；既然如此，如果把一个边长为 3 英寸的正方形平行移动（也不知道怎么个平行移动法），就一定可以得到另一个图形（也不知道是什么图形）——这个图形每边长也是 3 英寸，而且这个图形一定可以被记作 3 的立方。虽然主人公的孙子一直生活在平面国，没有见过立方体，但他通过某种纯粹的思维推理预见了立方体的存在，这种推理方法，就是类比推理。

遗憾的是，主人公无法突破二维世界的禁锢。在他眼里，3 的立方只有数字意义，没有几何学上的意义。他认为，这孩子可真是个傻瓜。后来，来自空间国的球为了让固执的主人公理解什么是第三个维度，也拿起了“类比”这一强大的武器试图说明立方体的存在。可无论球如何费尽口舌，主人公正方形还是认为球是在恶作剧。最终，实在没有办法的球只能付诸行动，把正方形拉出了平面国，来到了空间国。眼见为实，在经历了巨大的震撼之后，正方形终于明白了空间国确实是存在的。

但如果你认为擅长“类比”推理的球完全掌握了这一强大的思维武器，那你就再一次错了。

在空间国获得新知的主人公仿佛置身于天堂，他的心智被彻底点燃，他已经无法容忍某些专断独裁之人把维度限制在二维、三维，或者任何小于无限的维数。但是，当主人公正方形试图用“严格的类比”推出四维空间和超立方体的存在时，这次却轮到他的“导师”球完全不能接受了。球一次又一次地咆哮着让正方形“闭嘴”，最后，忍无可忍的球一脚把正方形踹回了平面国。

小说读到这里，我想起了一句话：“井蛙不可语海，夏虫不可语冰。”我们嘲笑井底之蛙，可我们有时何尝不是井底之蛙。虽然人人都知道类比，但并非每个人都真正懂得并能运用类比。我们可以在自己的认知范围内用类比向一个新人滔滔不绝地讲解我们自己所理解的事物，却很难接受超越自身认知范围或环境所限制的类比结论。 5PIV3UIin8NNgFiXoxocjUrV3Bm2xhkXYopx/yCHHWxUwHBUOi6aFAzi8dHySV7y