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所谓直角就是互相垂直的两条直线所形成的夹角，它是四等分一个圆周所得到的角，因此其度数为 90°。比如，方桌、电视机、书本的角通常都是直角。含有直角的三角形叫作直角三角形，其中两条直角边分别叫作勾和股，斜边叫作弦。所谓勾股定理是指在任意一个直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，如下图所示。我们的目的是利用勾股定理进行速算。为此，我们想要寻找边长为整数的直角三角形。
勾股定理的一个特别简单的情形是：若勾长、股长分别为3和4，则弦长一定等于5，正所谓勾三股四弦五，这是因为
，即
。
如果将上述三角形的尺寸扩大一倍，则得到的仍然是一个直角三角形，此时勾、股、弦的长度分别为6、8和10，于是得到
，即
。
上述两个具体的公式分别叫作三四五勾股定理和六八十勾股定理，也可以简称为<34>勾股定理和<68>勾股定理。
根据数字谐音编码方法，<9>可以记忆为“酒”，<16>为“杨柳”，<25>为“二胡”。因此，三四五勾股定理9+16=25可以形象地记忆为“酒醉杨柳闻二胡”。
因为16=8+8=9+7，所以9+16=9+8+8=9+9+7=25。于是，我们可以将三四五勾股定理变化为<889>（呱呱叫）与<799>（气球球）。
另外，由于9=3+3+3，16=4+4+4+4，所以三四五勾股定理可以变化成<3334444>（三个3与四个4）。
我们来看一些应用。
例如，数字串944443中的所有数字之和为 25+3=28，这里用到勾股定理之<889>（呱呱叫）公式，可以将心算过程表示为：
又如，数字串889889中的数字之和显然等于25+25=50，这里两次运用<889>（呱呱叫）公式，可以将心算过程表示为：
再如，数字串799889799中的所有数字之和显然等于25+25+25=75，这里三次运用勾股定理，其中<889>（呱呱叫）公式运用了一次，<799>（气球球）公式运用了两次。该心算过程可以表示为：
最后看一个稍微复杂一点的例子。求数字串89932417996789中的所有数字之和，心算过程如下：
其中，除了用到<799>公式之外，还用到了<1234>公式与<6789>公式。
下面分析六八十勾股定理：6 2 +8 2 =10 2 ，即36+64=100。也就是说六个6与八个8之和为100，我们可以得到公式<66666688888888>=100，将其减半，得到三个6与四个8之和为50，即<6668888>=50。
由于64=32+32，六八十勾股定理可以变化为36+32+32=100。这里是四个9加上四个8，再加上四个8。简言之，就是四个<889>（呱呱叫）。根据呱呱叫公式，<889>=25。四个25的和当然等于100。因此，六八十勾股定理的一个变种是四次<889>（呱呱叫）。
根据气球球公式，<799>=25。而四个25的和等于100，因此，四个<799>的和也是100，由此我们得到六八十勾股定理的又一个变种：四次<799>（气球球）。
我们来看六八十勾股定理的一些应用。
例如，数字串68686868686898中的所有数字之和为101，这是因为：
这里用到了六个6与八个8，也就是用到了六八十勾股定理。例如，数字串8888999988993中的所有数字之和为105，这是因为：
这里用到了四个<898>，也就是四次<889>。
例如，数字串99997777999966中的所有数字之和为112，这是因为：
这里用到了四次<799>公式。
本节要点就是掌握勾股定理及其变种。
你是否熟练地掌握了勾股定理呢？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。
口算下列数字串中的所有数字之和：
（1）8449；
（2）8984；
（3）899；
（4）9795；
（5）998997；
（6）889888；
（7）799889；
（8）8997998895；
（9）9979968893；
（10）888999888799；
（11）7998998898993422；
（12）8997996996789785。
练习题答案： （1）25；（2）29；（3）26；（4）30；（5）51；（6）49；（7）50；（8）81；（9）77；（10）100；（11）113；（12）125。你算对了吗？用时多少？