第四章
相对直言命题

区别相对命题和绝对命题的特点是：在这两项（S和P）的相对命题中，例如：D等于F，A类似B，一项适用于某一事物或一组事物，另一项则表示该事物或一组与另一事物或一组的关系。因此，若一个人了解整个体系所涉及的内容，那么比起绝对命题，他或许能从相对命题中推出更多结论。公式和相对论证都能用三段论来表示。数学命题是相对命题中最重要的命题之一。数学命题中的Copula =（定义联项）应理解为等于（即在数量上完全相等）。而由于一个事物不能说与它自己相等，所以数学命题的各项（把“=”当作定义联项）必须有不同的应用，即必须应用于数值上不同的事物。因此，数学命题的各项只有在具有最抽象的应用时才能被量化。也就是说，只用于一般数字，而不是某个特定对象。

我在前文提到了所谓的推理和相对词项的联系—指代某个“系统”的词项。S或P或两者都包含一个这种词项的命题，除了可以像绝对命题一样以同样的方式通过普通的直接推理（推论）得出以外，还能向任何熟悉这种“系统”的人提供其他直接推理，这些推论只能由了解“系统”的人得出；另一方面，指代对象不需要任何知识，只要知道其在父辈系统中的位置，这种知识便在多数情况下与智力并行。例如：空间中物体大小的关系，连续时间的关系，家庭关系，数字关系等。

由以下命题：

C是D的祖父（见图4）

得出：除了可以从绝对命题中推论（D的祖父是C，不是D的祖父不是C等）外，任何对家庭关系有基础认识的人都能进一步推论（见图5）：

D是C的孙子；

D的父亲或母亲是C的孩子；

D的孩子是C的曾孙等。

由C等于D（除了等于D的是C，没有不等于D的是C等），可以推论（见图6）：

D等于C；

C不少于D；

D不大于C；

C不大于D。

任何大于C的也大于D，等等（由D推论对C的比较）。

在以上每个例子中，我们不像处理绝对命题那样处理一个对象或一组对象，例如（见图7）：

所有人都会死；

拜占庭是君士坦丁堡；

这只鸟是一只云雀；

……

我们现在除了考虑S和P外延的同一性，还在考虑两个对象数值的不同，即C和D。我们看到，每个命题的S和P外延相同；但考察这些词项（被理解时）我们知道，每种情况关心的事物（两个属性的主项或两个属性）都以某种方式相联系，但最后给出的例子却没有体现。在每个给出的相对命题中，S的谓项指代S与另一个对象的联系，我们能把其他对象和谓项看作与第一个对象的关系。当有两个相对命题做前提时，我们可以考虑三个不同对象以及它们之间的关系；而连接点可能在其中的一个对象上，且另外两个对象与之相关。

这些讨论解释了数学和当然推论等论点的不同性质。每个论点可以（或多或少）用直接推理（推论）、严格三段论或两者结合来表达。这些命题通常用缩写形式明确体现系统原则和定律，且一般是隐含命题。例如：命题（有四个词项）

A大于B；

B大于C；

A大于C。

推理可用条件三段论表示（见图8），因此：

如果任何事物A大于第二事物B，B大于第三事物C，则事物A大于第三事物C；

这件事物A大于第二事物B，B大于第三事物C；

这件事物A大于第三事物C。

当然，这个条件三段论可能因不符合条件简化为直言形式。相关命题中最重要的是数学命题和量化命题，问题是，什么是词项指示词？联项“=”的作用是什么？

如：（a） 2+3=6-1

Ⅰ. 首先取“2+3”和“6-1”为指定单位（如苹果、线珠），取“=”表示等于，与“2+3”和“6-1”构成3个单位。6个单位减1个单位读（a），主项分配为：

任意（2+3）=某个（6-1）（即任意2+3等于某个指定单位6-1）

我们显然无法得到：

任意（2+3）=任意（6-1）

因为这个情况下，谓项指代的对象与主项指代的对象相同，不能使用联项“=”，不能说一件事物等于它本身。

如果，把S和P集合 起来，我们可以把（a）作：

所有（2+3）=所有（6-1）

这种情况下：

所有（1）=所有（1+2+3+…到无穷）

无论如何分组，所有集合1包含所有单位。

再有，如果把1、2等统称为所有的1、所有的2等，就可能得到：

1+1=1（参照布尔的方案）

1+1+1=1

1+1=1+2+3+…（到无穷）

等等。但这种说法在数学上是不可用的，这里的联项“=”不合适。

然而，如果2+3=6-1意味着：

任意（2+3）=某个（6-1）

因此产生的困难是，简单转换将（通常同词项“=”外延）得出命题形式：

某个（6-1）=任意（2+3）

我们讨论过无效命题：

任意（2+3）=任意（6-1）

我们可能得到：

某个（2+3）=某个（6-1）

或

这些（2+3）=那些（6-1）

但这里给出的数学命题没有普遍性。

如果我们把“=”当作“等于”或“同一”（等于是或等于），那么就能说：

任意（2+3）=任意（6-1）

且将是全称命题，可以转换并恰当表述。

若处理的是不同价值的指定单位并且彼此间有固定比率，那联项“=”就一定只表示等于。

如：240便士=1英镑

这里用“=”分割的两个元素不同一，这个命题意味着：

任意240便士是某个等于1英镑的事物。（见图9）

Ⅱ. 然而，如果不表示任何指定单位，而把题中的数字看作一般和抽象的外延，则：

2+3=6-1

表示：

数字（2+3）=数字（6-1）

未出现前文所述困难。因此理解为：

任意（2+3）等于任意（6-1）（见图10）

（等于表示量化上完全相似，而同一表示完全一样的事物。因此，一个事物等于某个其他事物，同一于它本身。）

第五章
推论命题

推论命题是命题“如果A，则C”的形式，并表示前件和后件的关系，前件体现或表达的特性推断出后件体现或表达的特性。推论命题可以是假言命题，或条件命题。假言命题指两个（表达或体现的）直言命题（直言命题组合），一个（前件）推理出另一个（后件）。条件命题指断言一个用类名称表示的对象并以某种特定方式区分，可以进一步推出其他区别。推论命题可用直言命题形式“C是A的推论”来表达。假言命题，要么自我包含，要么引用。条件命题分为分命题或准分命题。

推论命题表。

推论命题的形式：

如果A，则C；

如果E是F，则E是H；

如果E是F，则G是F；

如果E是F，则G是H；

如果任意E是F，则E是H，等等。

如果E是F，如果任意E是F，这是前件A；则E是H，则G是F，则G是H，则E是H，这是后件C。

推论命题可定义为：表示前件与后件之间关系的命题，后件表达或体现的性质是前件表达或体现的性质的推论。

推论命题可分为两个不同类型，分别为：（1）假言命题；（2）条件命题（参见凯恩斯《形式逻辑》第2版，第64、65、67页）。

（1）和（2）不同的是，A和C都表达（体现）一个完整的直言命题，如：

如果你是对的，那他就是一个好人；

如果E是F，则E就是H。

假言命题的A和C是相对独立的断言，但条件命题的A和C是相对不完整的断言。如：条件命题“如果任意一朵花是鲜红色的，那它（=那朵花）是无味的”。如果孤立地断言，命题的A“任何花都是鲜红色的”等于“所有花都是鲜红色的”，但这不是前件的含义。而后件“那朵花是鲜红色的”，显然指前面代指的花，它本身并不完整。（参考：如果有紫罗兰是鲜红色的，它就是无味的）

条件命题可定义为：一个命题，它断言已有名称所指代类别的任意成分，并以某种方式区别，则能进一步推导出其他区别。

区别于假言命题，D是E，则D是F（见图11），这是最简单明确的条件命题，例如：

如果你扣动扳机，它就会开枪。

简化为：

如果你扣动一把枪的扳机，它就会开枪。

如果他告诉你任何事，它就是真的。

简化为：

如果他告诉了你一件事，则这件事是真的。

假言命题可定义为：一个命题，其中两个（表达或体现的）直言命题（直言命题的组合）以某种方式相结合，以表示一个（后件）是另一个（前件）的推论。

可以看出，这种推论关系只能在相异但不矛盾的命题中出现。

推论命题的含义可大致在相对直言命题中体现，如：

如果E是F，则G是H可表示为“G是H”是“E是F”的推论

这个命题可与这样一个命题相比较：

E大于F

两个例子中，两个不同的元素（G是H—E是F—E-F）具有特定关系；两种情况下，除了能从所有直言命题中推导出的命题外，还能推导出一些新命题。以下是等价推论命题和直言命题的例子：

如果你失望了，那么我很抱歉；

如果所有人都是完美的，则所有人都不会犯错；

如果有鸟是画眉鸟，那它就是有斑点的。

（1）=“我很抱歉”是“你失望了”的推论；

（2）=“所有人都不会犯错”是“所有人都是完美的”的推论（完美的生物不会犯错）；

（3）=“鸟是有斑点的”是“有画眉鸟”的推论。

（4）也可以作绝对直言命题，如：

任何画眉鸟都是有斑点的。

假言命题可分为：

（1）形式假言或自含假言命题—后件是前件本身的推论，如：如果所有R的是Q的，则一些R的是Q的 （见图12）。

（2）引用假言命题—后件不是前件本身的推论，而是前件与其他未表达的一个或多个命题的推论。它们可以只指（a）一个未表达的命题，如：

如果M（这些N）是P（一些Q），则S是P（因为S是M）（见图13）。

或指（b）多于一个未表达的命题，如：

如果绳子没断，就一定已经解开了。

假言命题的这种解释涉及这一种观点，即假言命题的词项外延相同，无论是直接如（1）还是间接如（2）。如最后给出的例子，全部隐含推理可如下（见图14）：

那根绳子（A）把分开的攀登者（B）绑在一起；

绑住分开攀登者的绳子一定散了（C）；

散了（C）一定是因为坏了或绳结散了（D）；

所以那根绳子（A）一定坏了或绳结散了（D）。

再有命题（见图15）：

如果继续工作，他就不会康复。

推理如下：

如果继续工作，就会有很大的噪声；

如果有很大的噪声，他就会被打扰；

如果他被打扰，他就无法入睡；

如果他无法入睡，他就会死。

条件命题可分为如下两种：

（1）分式条件命题。

它断言，如果特定类别的任何部分经推论不属于S（前件名称）的细分，则推论出属于P（后件名称）的细分，如（见图16、图17）：

如果有鹅不是灰色的，则它是白的；

如果有贵族不是公爵，则他一定是侯爵、伯爵、子爵或男爵。

（这些命题对应并派生于分式选言命题，也可以简化。）

（2）准分式条件命题。

在这类命题中，前件S和P的词项名称组合而成的类，由后件P表示的类别指代；但前件和后件的谓项不表示（如分式命题）前件主项所表示的完整分类。

以下是（2）的例子（见图18）：

（a）如果有紫罗兰是白色的，则它是无味的；

（b）如果有鸟是斯班格汉伯鸟，则它是银色或金色的；

（c）如果有鸟是普利茅斯洛克鸟或斯班格汉伯鸟，则它是汉森鸟。

（都不能不考虑词项作用，仅凭分式命题形式来判断分式命题或准分式命题；但若知道词项内涵和外延，相较其他命题能从条件命题得出更多推论。如：从上文给出的两个分式命题能得出鹅类别和贵族类别的完整分类。）

在一种情况下假言命题和条件命题区别明显，即两类中任一命题做三段论的主前提，而这个三段论含有次要直言命题和结论。

通过假言命题得到：

如果A，则C

A（或不是C）

C（或不是A）

如果，如：

A=诚信不是最好的政策

C=人生不值得拥有

可得到三段论：

如果诚信不是最好的政策，则人生不值得拥有

诚信不是最好的政策（或人生不值得拥有）

人生不值得拥有（或诚信不是最好的政策）。

但把条件命题做主前提，不因前提简单肯定A或否定C，也不因结论简单肯定C或否定A；但给小前提和结论带来一个新词项作主项，如：

如果一个城镇有一座大教堂，那它就是一座城市

赫里福德有一座大教堂

赫里福德是一个城市

一个具体的三段论有一个条件命题主前提和直言命题小前提，结论可以简化（虽然简化可能很麻烦）为这种形式：

如果有D是E，则D是F

XD是E（或SC不是F）

XD是F（或XD不是E）

任何条件命题真正的前件S通常是不定全称命题—S（小前提和结论的名称）一般有定（特有）词项指示词（如这个、那些），或与S（前件的名称）不同的一些属性。可以有这样一种形式的三段论：

如果有D是E，则D是F

一些D是E

一些D是F

但这种情况很少见。 hbWjjjVCcWnx7irQGUXQq2zomzWo+5fYPcCBCG6JJHVzf/xkm0gMayjXnBD0tWm/

第六章
选言命题

选言命题的形式是“非C或A”。选言命题可具有某种非排他性元素，但也必须具有某种排他性元素，否则就没有选言支。绝对不排他的选言命题形式是“A或A”。选言命题的命题含义一定有不同之处（否则就没有选言支），并且具有排他性；但选言命题可同时为真，此时具有非排他性。当选言命题的选言支具有非排他性，内涵必须具有某种排他性。选言命题可定义为：一个命题具有多个互相关联的不同元素（用“或”连接，称为选言支），因此不能否定全部元素，因为否定一部分便肯定了其他部分。选言命题可能是条件、形式、包含或偶然命题。

选言命题表。

选言命题有以下几种形式：

（1）S是Q或T；

（如，任何黄玉都是粉色或黄色的。）

（2）D是E或F是G；

（如，必须尽快恢复或我们必须放弃希望。）

（3）X或Y是P；

（如，科林或罗宾来了。）

（4）X是Q或X是T；

（5）P是S或S不是P。

一般与（2）用相同的形式表达（当使用重要词项时）而非用代词替代，这是为了避免第二个选言支中重复使用第一个选言支的主项，如：不能说（a）总统会来这里，否则总统一定是生病了，应该说（b）总统会来这里，否则他一定是生病了；但（a）和（b）意思完全相同。然而，我们不能用（4）的形式表达（2）。

而且我们不能把（1）变成（4），“任何黄玉是粉色的或任何黄玉是黄色的”不能表达（1）的意思，而应该是“任何黄玉是粉色的或（不是粉色）黄色的”（见图19）。这种形式的选言支对应条件命题，其中选言支不表示不明或不确定，而只表示给出类别下任意或每个部分的细分组成。同样，在这些选言支中，我们发现命题两部分的相互依赖关系比相应的推论命题更突出。（3）和（2）没有很大区别；（3）不改变作用可以表达成“X是P或Y是P”，但由于表达不宜过长以免妨碍理解，通常用省略形式（3）表达。

当（4）的X是普遍词项时，选言命题可称为归类，因为前件和后件共有的主项作为选言支下属的一个类别，指代前件和后件的谓项，如：所有人都是精神存在或只是动物。（5）类选言命题可以称为形式命题或自含命题（参见，凯恩斯《形式逻辑》第2版，第40页）。

非形式命题、归类命题或条件命题的选言命题可称为条件式命题，如：这些戏剧的作家是培根或莎士比亚；A是B，或C是D。所有形式、归类和选择性选言支都归结为假言命题。

我们注意到，“或”有时替代“和”以避免表达模糊，如：所有红色或黄色封面的书都将在摩洛哥装订。如果说“红色和黄色”意思会表达不清。这个命题在意义上不是选言支，而是省略简单连词的直言命题即：

所有红色封面的书都将在摩洛哥装订；

所有黄色封面的书都将在摩洛哥装订。

选言命题必须具有一定排他性，否则就没有真正的选言支；只要选言支绝对不排他，选言支就是形式“A或A”，就只表示“不超过A”。当选言支的元素是命题时，命题（这里没有选言支）的意思会有些不同（不论多小）且没有排他性。但选言支可以都是真，且无排他性，如命题：

XY是个无赖，或XY是个傻瓜。

这里有一个不可或缺的排他性元素，即内涵的不同。但也不可否认无排他性的可能性，XY的两个谓语都可能是真。当选言只是词项时，外延可能无排他性，但内涵或性质必须有一定排他性，如：任何选民都是户主或纳税人，户主和纳税人的外延有一定重合。但两个词项的内涵不同，因此它们的定义不同，一个的内涵与另一个的内涵不同。

不可否认，只要任何选言支不能简化为一个严格的排他形式，选言支就不存在了，就像“S是P”，如果P能表达S，断言的内涵将会消失。

选言命题可定义为：命题中多个不同元素（由选言支“或”连接）相关联，不是所有元素都能否定，因为否定部分元素可证明肯定其他元素。

惠特利评论道，一个假言命题是由联项（连接词）连接的两个或多个直言命题（《逻辑元素》第67页，第9版）。这个定义若没有限制，会把许多通常不认定的假言命题囊括进来。但我这里提出来，是为了强调直言形式命题是基础：假言命题、条件命题和选言命题的元素是直言命题或准直言命题。可以说，所有逻辑学与直言命题和它的组合有关，但一般不这样说，逻辑教科书更不会引用这种说法。