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18. 当我们了解了测量一个量需要使用什么单位，以及如何使用这些单位时，我们就可以完全了解这个量的性质。比如，速度的单位涉及长度单位和时间单位；加速度的单位涉及长度单位和时间单位的平方。但涉及扩张时，我们只需考虑长度单位。通常，我们将它所受的力在三个方向进行分解，因此最多从三个空间的维度考虑扩张的长度。一条直线只有一个空间维度。一个确切的数字和适当的标志，才能指明直线上两点的相对位置。一个平面有两个维度，要确定平面上一点的位置，需要参照它到从平面上另外一点出发的两条定向直线的距离。因此，地球表面上的一个点在我们口中有了东南西北之分。三段有向直线可以决定两个点在空间中的相对位置，即通过点到三条有向直线的相对距离，可以判断出该点在空间所处的位置。因此，我们谈到固体时，总涉及长度、宽度和高度。
需要注意的是，有时，我们可能用不了三个长度作为说明物体位置的前提条件。当已知的一个条件为长度时，其他条件可以为角度。例如，与其给出一个山峰的方向或高低，不如给出这个山峰和另一个山峰之间的距离、相对高度和方位角。
具有恒定特性的平面与实体曲面的交线称为等高线。采用等高线绘制的军用地图就是一个很好的例子。地图上所有的线都是一个平面和地球表面的交线，且此平面上所有的点都处于相同的海拔高度上。军用地图很好地反映了地球表面各地的海拔高度和经纬度等情况。随着线数的增加，地图反映的信息也越来越详细。换句话说，等高线使我们能够用一个平面来表示三个量的相互关系。
这就说明了等高线理论对物理学的重要意义。因为，当根据某物体已知的三个属性完全掌握其物理状况后，我们就可以建造一个表面实物模型来呈现该物体所有可能出现的情况，就像我们可以根据经纬度和海拔高度来构造一个地球表面模型一样。
19. 我们可以对以上概念进行扩展。一般来讲， n 维物体和 n＋ 1维参照物相交的等高线，就是 n＋ 1维参照物中具有恒定值的某些量点与 n 维物体的交集。因此，这个等高线具有 n－ 1个维度。
由于 n 维以下的物体也可以向 n＋ 1维扩张，我们需要做进一步研究，以便将物体向 n＋ 1维扩张时在所有正维度的等高线（最多有 n－ 1维）囊括进来。实际上，我们也应该考虑 n＋ 1维空间中的 n 维等高线。因此，在一般空间扩张中，等高线可能为点、曲线和平面。曲线的等高线是点；平面的等高线是曲线；三维物体的等高线是曲面；四维物体的等高线是三维物体；以此类推。
四维物体以及 n 维物体扩张的性质可以用数学的方法来研究，但由于缺乏经验，我们难以想象这种扩张的性质。
20. 通过等高线法，曲线的性质可以用仅由直线组成的图表来表示。我们可以使一条给定的曲线与多条曲线相交，每条曲线上的一些量为定值，然后将相交的点投射到任意一条直线上。
首先，我们想象一条平面曲线。为方便起见，将其所在的平面用从同一原点出发并互相垂直的两个坐标量 x 和 y 来表示，并设给定曲线的方程为 f n （ x ， y ） ＝ 0，其中后缀 n 表示方程的阶数。与之相交的多个曲线方程中，某个值为常数，记作 c ，于是方程可写为 ϕ n （ x ， y ， c ） ＝ 0，但这些方程的 c 值各不相同。我们可以举一个特殊的例子，假设这些曲线为半径不同的圆弧。同样，我们有一系列平行于 x 轴的直线，方程记作 ϕ 1 （ y ， c ） ＝ 0。这是目前我们想到的最简单实用的例子。图2和图3中的曲线分别与多条平行于 x 轴的直线相交，交点被投射到两条坐标轴上，并用 x 和 y 轴上对应的数字来表示。如果曲线是连续的，则在两个 y 值相同的 x 区间内， y 存在最大值或最小值。在这个区间内，如果随着 x 增大， y 先增大后减小，则存在最大值；反之，如果 y 先减小然后增加，则存在最小值。 y 值变化的剧烈程度用曲线上 y 值增量相同的两点在 x 轴上等高点的密集程度来表示；变化的方向（增大或减小）用随 x 增大、相同 y 值出现的顺序表示。
图2
对于空间曲线，我们可以用含常量的平面与之相切，便于获取它在这些平面上的等高线。这些平面可以垂直于 z 轴，在这种情况下，这些平面上的等高线方程为 f 1 （ z ， c ） ＝ 0。
显然，质点在空间中的位移可以空间曲线来表示。如果它在某一坐标轴（比如 z 轴）上运动的时间是已知的，我们只需要用一个方程为 1 f n （ z ， t ） ＝ 0的平面与曲线相切，就可以知道该质点目前在空间曲线上的位置。在方程 1 f n （ z ， t ） ＝ 0中， t 代表时间， 1 f n 为一个函数符号，表示函数 1 f n 是 z 的一阶方程以及 t 的任意阶方程。（这是一个必要条件，因为在给定的时刻，质点一定会处于一个确切的位置；但在不同的时刻，质点的位置可能相同。）如果通过在空间中移动多个质点获得多条这样的曲线，我们可以通过用相同时刻的平面与这些曲线相切，并将交点投影到平行于这个平面的坐标平面上，得到这些质点的瞬时运动示意图。
图3
很明显，一般来说，在某一时刻，每个曲线应对应不同的平面。用三线坐标来表示给定时刻质点的位置，可以有效避免我们要研究的问题复杂化。如果曲线与任意平面相交，则将交点在这一时刻到平面上三条相交直线距离所在的直线记作 x 、 y 、 z 坐标轴。根据这个平面到与之平行的已知固定平面的距离，可以推测出目前的时间。
在这个坐标系中，用来描述质点位置的曲线通常并非质点在空间中运动的实际曲线；但是，通过以上方法得到的示意图，可以同时显示所有质点在所有时刻的坐标值。而在笛卡尔直角坐标系中，如果没有曲线在所有坐标平面上的投影，我们就无法实现这一点。尽管它与参考图中的三角坐标系有所相似，但两者坐标轴的数目并不相同。为了表示出坐标值的变化，必须引入新的坐标轴。在图4中，三个三角形相似且距离相等，原点 a 位置固定，因此，该图可以表示质点在空间中的线性运动。总之，要表示单独每个质点的运动，必须有一组不同的三角形。
图4
借助于此坐标系，我们可以绘制出一定时间内质点的总位移图（参见第5章第40节）。将单位时间内第1 /n 段（ n 为无穷大）位移放大 n 倍，即可得到运动速度示意图。类似地，加速度和力的示意图可以用类似的方法来表示。得到的速度、加速度、力等曲线无疑会与表示质点位置运动的原始曲线不同。只有当表示速度时，得到的图像（参见第5章第48节）会与参考图中三线坐标系上的原始曲线有所类似。
至于空间曲线的另一个用途，我们需要考虑两个量： x 和 y ，两者满足方程 y 2 ＝ax ，于是有 y d y/ d x＝a/ 2（参见第 4章第 30 节）。我们可以把d y/ d x 当作第三坐标量，从而得到一条空间曲线。例如，如果 y 表示物体在重力影响下由静止状态下落的时间， x 表示物体距离最初静止状态的相对空间位置，则速度可以用第三坐标量的倒数表示。
21. 如果与曲线相交的任何平面都与（ x ， y ）的平面平行，并且所有交点映射在 z＝ 0的平面上，显然这样得到的等高点将位于一条直线上。同时，相交的平面个数越多，距离越近，这些直线的比例就越精确。曲线上的所有点都会连续不断地映射到平面 z＝ 0上，得到的线可以看作平面 z＝ 0与图示柱状面上从已知曲线出发到该平面，且平行于 z 轴的线的交线。这符合我们对等高线的定义，因为这条交线的确是已知平面的某条线被映射到 z 为定值0的平面上形成的。柱状面提供了最简单的等高线图示法。所有的等高线都呈现在这张图上，却没有相交在一起。只有在相同的 x 和 y 坐标上出现不同的 z 值时，等高线才会相交（图5）。
在非柱状面上，所有等高线一般都不会重叠。例如，半球的等高线是同心圆（图6）。就像我们之前提到的等高点一样，曲线的斜率由曲线上 y 值增量相同的两点在 x 轴上等高点的密集程度来表示，因此，采用等高线时，表面斜率由曲面上 z 值增量相同的两条线在平面 z＝ 0上等高线的密集程度来表示。半球的半径越大，等高线越密集。
图5
图6
正圆锥体的等高线也是同心圆，但高度增量相同时，等高线之间距离相等。
22. 某些曲面的等高线可以表示它们的某些物理性质，比如某一曲面的方程为
如果 y 代表单摆的长度，而 x 代表单摆振动周期的平方，则 z 代表重力加速度的值。曲面（图7）显然可以由一条与 z 轴相交并垂直于 z 轴的直线运动而产生。直线以恒定的速率沿 z 轴运动，并绕该轴匀速旋转，则等高线（在垂直于 z 轴的平面上）为穿过原点的直线。随着直线的运动，等高线与 x 轴之间的夹角也会越来越小（参见第2章第17节）。
图7
同时，等高线形成的圆的本征方程为
s ＝ aϕ
其中， a 为半径， ϕ 为矢量半径和初始等高线之间的夹角大小。因此，我们得到一个渐开线的本征方程：
该渐开线在等高线位置与圆相交， s′ 为该交点沿渐开线到某点的距离。如果 a 为运动物体的质量， ϕ 是它的速度， s 和 s′ 则分别代表它的动量和动能。图8中所画的两个圆及其渐开线满足上述条件。这些曲线可被视为一个正圆锥体和一个曲面的等高线，且该曲面上平行于圆锥底面的任意曲线，都为圆锥体被平行于圆锥底面的平面切割形成的圆的渐开线。
图8
根据已知方程（参见第5章第42节），静止物体在重力作用下下落时的加速度、速度以及经过的位移，分别为
a ＝ g
v ＝ V ＋ gt
s
＝
c
＋
Vt
＋
gt
2
我们也可以用这些量来表示上文中曲面的等高线， t 代替之前方程的 ϕ ， g 代替 a ，得到的新方程不难理解。
同样，在由两种不同金属组成的热电电路（参见第28章）中，根据两种金属的温度特性差异，电动势用公式表示为
E ＝ a ＋ bt ＋ ct 2
热电功率可用公式表示为
e ＝ b ＋2 ct
因此，这些量也可以用来表示类似的曲面。
23. 日常生活中，我们最熟悉的等高线几乎都是与地球表面平行的截面形成的。地图上的海岸线就是这样一条等高线。地图上标明海拔以上或以下高度的同一数字表示等高点。当这些点足够接近，能够绘制成连续曲线时，我们得到在同一高度上的地形轮廓，就如军用地图所示。这样的一条轮廓与同一水平面上的等高线十分吻合。由于地球并非完美的球体，以及自转等原因，它们并不会完全重合。但在这些同一水平面上的等高线处于同一海拔高度的情况下，只要地图所示区域于整个地球表面来讲相对较小，两者就不会产生明显的误差。做自由落体运动时，物体落到同一水平线上任意一点，获得的动能大小都是一样的。
假设地球被完全淹没在水面以下，我们生活在水平面下的一片洼地上。如果我们进一步假设水会被地球的固体物质慢慢吸收，这样就会逐渐形成一片高地，最后我们将只有一片高地。在高地形成之前，水面上会先出现一个山头；当水从洼地下沉时，洼地会出现一个最低点。
高地和洼地由两种方式出现，它们的数量也可以不同。当水量变少时，两片高地可能会连接。它们之间的第一个连接点被称为山口（见图9： P 1 、 P 2 等）。同样，一片高地可能会形成一条狭长的山脉，将一片洼地一分为二。这时，高地和洼地之间的第一个连接点被称为谷底（ B 1 、 B 2 等）。在谷底处，原先的等高线在洼地处会出现多个闭合的分支。因此， I 4 处的闭合曲线其实是等高线 UV 的一部分。这样在国家的地图上，一个8字形曲线（凯利教授称其为外环曲线）的节点上会出现一个山口，一个内环曲线的节点上会出现一个谷底。在图9中，如果 Ps 表示山口， Bs 表示谷底，则该地图上显示的是内陆盆地，因此，在该国家地图中，山口会用内环曲线的节点表示，谷底对应外环曲线的节点。如果我们用同一种曲线节点表示山口和谷底，则需要在移动（静止）地表区域的同一侧记上记号。
特殊情况下，两片高地汇合时可能会出现多个连接点。此时，我们只将其中的一个看作山口，其余则为谷底。有时，两片以上高地汇合，连接点会以不规则的形式同时出现，比如二山口、三山口等。类似地，也可能出现多个谷底。
图9
一个山口形成之前，必须有两个山头，此后每多一个山口就多一个山头。因此，山头的个数总会比山口的个数多一个，谷底也是如此。
示坡线与等高线相互垂直。很明显，一个地段的陡峭程度可以通过等高线的密集程度来判断。地图上有两种重要的示坡线——一种示坡线从山头延续到山口，另一种示坡线从山口延续到谷底。前一条示坡线上不可能存在谷底，代表流域；后一条示坡线上不可能有山头，代表水域。
垂直的悬崖峭壁由连在一起的两条或两条以上相邻等高线用 F 表示，凸出的悬崖峭壁则用加粗的等高线来表示。
24. 在上文中，我们用单个面来表示某物体三个量的物理状态。其实，我们可以用类似的方法，根据物体表面的等高线，来推测该物体某种变化的本质属性。让我们举一个特例——水性物质的热力学性质，即体积、压强、温度、熵和能量等状态（参见第25章）。如果我们用其中的任意三个量来构造一个曲面，那么其中两个量则可以根据曲面上任意点的等高线来计算。在詹姆斯·克莱克·麦克斯韦（James Clenk Maxuell）建立的曲面模型中，不同坐标轴分别表示测得的体积、熵和能量，三者的关系在他提出的“热理论”中加以解释和计算。模型中的曲面直接表示体积、温度和压强。首次对这一曲面模型进行研究的是詹姆斯·汤姆森（James Thomson）教授。
假使曲面与一个恒压平面 P 1 相交，我们会得到一条等压线，其大致性质如图10所示：在低温下，物质为固态，体积很小；随着温度升高，物质膨胀，体积变大，然后液化，体积随温度升高而减小，直到完全液化。此时，物质的温度随体积减小而升高，直到达到物体的最大密度点；之后，物质体积变大，温度不断升高达到沸点，在这个阶段，物质体积迅速增加，而温度不变，直到完全气化；在气态时，物质体积随温度升高而增大。当压强（ P 1 、 P 2 和 P 3 ）较小时，等压线几乎平行，但 P 2 和 P 3 对应的等压线要高于 P 1 ，原因是在一定的温度下，体积随着压强的减小而增大，熔点随着压强的增大而降低，沸点随着压强的升高而升高。而压强减小时，熔点和沸点不断接近，最后重合。如果压强低到一定程度，物质就可以直接从固体变成气态。图10中的直线 AB 表示三相点温度，指物质的三相（气相、液相、固相）可以在平衡状态下共存的温度。随着压强的升高，气化速度减缓，直到最后（图中 C 段）完全停止，此时的温度称为临界温度。液化过程也存在一个临界温度。也就是说，在临界温度以下，无论压强如何变化，熔点始终不变。
图10
如果用一个恒温的平面与这个曲面相交，我们得到的等高线就被称为等温线。如果温度高于三相点温度，但低于临界温度，增加压强会使气态物质体积减小，开始液化，此时，保持压强不变，气态物质的体积不断减小，直到完全液化；之后，体积每减少一点都需要压强大幅增加。图11给出了两条这样的等温线（非水性物质，见第23章第278节）。温度在三相点以下时，物质介于气态和液态之间。随着压强的增加，物质体积减小，达到升华点。此时，压强不变，物质体积减小，直到完全凝固。接下来，物质体积随压强增加逐渐减小，开始液化。然后，保持压强恒定，物质体积减小，直到完全液化；之后，随着压强升高，物质体积再次缓慢减小。因此，在三相点温度处，两条等温线会相交。如前所述，三相点压强处于两条等压线之间的过渡处，压强更高时，液态将会消失。临界温度以上的等温线情况如图11所示。正如詹姆斯·汤姆森教授所言，在临界温度以下，等温线不会出现平行于体积轴的部分，而会呈现出波浪形，如图11所示。由于压强和体积一起增加，波浪线的一部分代表物质处于不稳定的状态。詹姆斯·汤姆森的这一提议避免了我们绘制出错误的不连续曲线。
图11
e 1 、 e 2 为等能量线， ϕ 1 、 ϕ 2 和 ϕ 3 为等熵线。
25. 只有当温度恰好与图表中的某个等高线或等高点对应时，我们才能据此信息准确找到压强和体积的关系。引入三线坐标系可以消除这一缺陷，甚至可以表示出第四个量的变化。为了说明这一点，我们可以拿理想气体进行分析，于是有方程
pv ＝ Rt
其中， p 、 v 和 t 分别表示压强、体积和温度， R 值在不同气体之间存在差异。图12中给出的三角形为等边三角形。某点到三条边距离之比为温度、压强和体积之比。图12中显示了不同能量值 R 的等高线，方程式显示这些等高线为具有垂直轴和水平轴的双曲线。双曲线在三角形之外的部分没有任何物理意义，因为在这种情况下，压强、体积或温度（其中两个或全部）为负，理想气体将不再处于气态。显然，任何气体的压强、体积和温度曲线都是连续的。
图12
当然，在求某个坐标量的绝对值时，我们必须使用它表示的方程。当我们使用笛卡尔直角坐标系时，却不必如此。
显然，图13是由平行于该图的平面与曲面相交所形成的等高线，对应的 R 值为0。当 R 为0时，双曲线变成与参考三角形的边 AB 、 AC 重合的两条直线；当 R 无穷大时，边 BC 成为双曲线的一部分。所有穿过 B 点和 C 点且垂直于该图平面的线都位于曲面上，并将曲面上代表气体真实物理状态的部分与其他部分分开。在三角形外部，曲面明显会高于纸面。
图13
R 值已知， P 点表示压强 p 、体积 v 和温度 t 之间的合理比值，分别画出与 AB 、 AC 平行的线段 PM 、 PN 。由于双曲线的渐近线与这些边平行，因此 P 点切线与 P 点到三角形两边与切线的交点的距离相等。因此， AM ＝MQ ， AN ＝NR 。理想气体的可压缩性 k 可由d v/ v d p 的比率来推算，其中d v 随压强d p 的微弱变化产生体积变化。但d v/ d p＝MQ/MP＝NP/MP＝v/p ，因此 k＝ 1 /p ，即理想气体的压缩性为压力的倒数。用同样的方法，可以证明膨胀率与绝对温度成正比。
等温膨胀过程中所做的功也可以据图13计算得出。根据 P 点的位置，可以得出 p 、 v 和 t 三者的比值；但是，由于 t 为一个已知的常数， p 和 v 的实际值也已知，因此 PN （ p cosec∠ BAC ）为 v 的已知函数。如果点 P 移到 P′ ，则 PNN′P′＝ ∫ PN d v＝ cosec∠ BAC ∫ p d v 区域代表做功的已知倍数。
26. 等高线法在其他物理问题中也有广泛的应用。电流线和等势线可以看作某表面的等高线，电流的强度可以用穿过单位导线长度的等势线数目来表示。气流线、等压线、等温线和热流线等都属于矩形等高线系统。