笨蛋的难关

我们必须知道如何通过纯粹的形式演绎来完成几何证明，但几何学又不仅仅是一系列纯粹的形式演绎。否则，它就不可能从教授系统推理艺术的上千种方法中脱颖而出了。例如，老师可以教授国际象棋棋谜或数独，也可以建立一套与任何已知的人类实践毫无关系的公理，迫使学生推导出结论。老师之所以教授几何学而不是这些东西，原因在于几何学是一个形式系统，但它又不仅仅是一个形式系统。它赋予我们一种思维方式，用于思考空间、位置和运动问题。换句话说，我们拥有几何直觉。

几何学家亨利·庞加莱在1905年的一篇论文中指出，直觉和逻辑是数学思想不可或缺的两大支柱，每位数学家都会选择其一。他说，我们倾向于把直觉型学者称作“几何学家”。这两大支柱缺一不可：如果没有逻辑，我们就会对一千边形一无所知，因为我们不可能对这种形状产生任何有意义的想象；如果没有直觉，这个学科就会失去所有的乐趣。庞加莱解释说，欧几里得几何是一个“死海绵”：

你肯定见过某些海绵纤细的硅质针状骨骼。海绵体内的有机物消失后，只留下由这些脆弱而精致的骨针构成的网状物。的确，除了硅以外别无他物，但有趣的是这些硅的存在形式，如果我们不了解赋予它这种形式的活海绵，我们就不可能理解它。我们祖先古老的直觉概念同样如此，尽管我们已经抛弃了它们，但它们的形式仍然印刻在我们（用来取代它们）的逻辑结构上。

从某种程度上说，我们必须在不否认直觉能力（活海绵组织）存在的前提下，训练学生的推理能力。不过，我们不想完全被直觉牵着鼻子走。在这方面，平行公设的故事具有一定的启发性。它是欧几里得五大公理之一：给定一条直线L，过此直线外的任意一点P，有且只有一条直线与L平行（见图1-3）。

与欧几里得的其他公理（比如，“任何两点都可以通过一条直线相连”）相比，这条公理看起来既复杂又笨拙。人们认为，如果能用其他4条公理来证明第五条公理就更好了，因为前4条公理似乎更基础。

这是为什么呢？毕竟，直觉明确告诉我们第五条公理是真的，试图证明它难道不是在做无用功吗？这就好像有人问我们能否证明2+2=4一样，我们都知道它是真的！

数学家锲而不舍地尝试证明第五条公理是其他公理的必然结果，最终却证明他们的努力注定会失败，因为在其他几何学中，“线”“点”“平面”的含义与欧几里得（可能还有你）赋予它们的含义不同，尽管它们能满足前4条公理，却不能满足第五条。在有些几何学中，经过点P且平行于L的直线有无数条，而在有些几何学中，这样的直线一条也没有。

这不是作弊吗？我们不想把其他怪异世界的几何图形称作“直线”，我们讨论的是真实的直线，对它们而言欧几里得几何的第五条公理肯定是真的。

当然，你完全可以这样做。不过，一旦如此，你就是在故意关闭通向其他几何学的通道，因为它们都不是你习惯的几何学。非欧几何是巨大的数学领域的基础，包括描述我们所在的物理空间的数学。当初，我们也能以保持欧几里得几何的纯粹性为由拒绝发现非欧几何，但那将是我们莫大的损失。

还有一个定理也需要我们在形式逻辑和直觉之间取得微妙的平衡。假设有一个等腰三角形，如图1-4所示，AB 边和AC边的长度相等。关于等腰三角形，有这样一条定理：∠B和∠C也相等。

它被称作“驴桥定理”，意思是“笨蛋的难关”，因为几乎所有人都要小心翼翼地通过这座桥。与前文中直角全等判定定理的证明方法相比，欧几里得几何用来证明这条定理的方法更加复杂。现在讨论这个问题可能有点儿仓促，因为在真正的几何课上，老师需要经过几个星期的铺垫才会引入这条定理。因此，我们先假定《几何原本》第一卷的命题4是正确的：如果你知道一个三角形的两条边的长度和它们的夹角度数，你就能知道余下那条边的长度和余下两个角的度数。也就是说，如果我画出图1-5，那么我“补充”这个三角形的剩余部分的方法只有一种。

换句话说，如果两个三角形有两条边对应相等，这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形的所有角和所有边都对应相等。用几何学术语来说，它们是“全等”三角形（见图1-6）。

在三角形的两条边的夹角是直角的例子中，我们援引过这个事实。我认为，无论这个夹角的度数是多少，这个事实都显而易见。

（顺便说一下，如果两个三角形的三条边都对应相等，那么它们也一定是全等三角形。例如，如果三条边的长度分别是3、4、5，那么这个三角形一定是直角三角形。但这个事实不太显而易见，《几何原本》第一卷在命题8中对它进行了证明。如果你认为它显而易见，那么请你想一想：如果是四边形，会怎么样？还记得我们在上文中遇到的菱形吧，它与正方形的4条边的长度相等，但它肯定不是正方形。）

现在，再来看驴桥定理。我们可以采取下面这种两栏式证明方法：

嘿，我再插一句。我知道证明已经开始了，但我们标出了一个新的点，还引入了新的线段AD，所以我们最好更新一下图形（见图1-7）！顺便说一下，别忘了我们假设这个三角形是等腰三角形，所以AB和AC的长度相等，我们马上就要使用这个条件了。

这个证明过程比我们在本书中看到的第一个证明过程要复杂得多，因为你必须做些什么。你创建了新的直线L，并将L与BC的交点命名为D，使B、C与两个新生成的三角形ABD、ACD的边产生联系，然后我们判定这两个三角形全等。

大约600年后，古希腊几何学家帕普斯在《数学汇编》一书中，记录了一种证明驴桥定理的更巧妙的方法。

等等，这是怎么一回事？我们似乎什么也没做，想要的结论却一下子就出现了，仿若一只兔子从空空如也的帽子里跳了出来。这多少有些令人不安，它也不是欧几里得本人偏爱的证明方法。但至少在我看来，这个证明过程是真的。

帕普斯的证明方法的关键之处在于倒数第二行：△BAC和△CAB全等。我们说一个三角形和它本身全等，这似乎是一件微不足道的事情。但是，请你再仔细地看一看。

如图1-8所示，当我们说△PQR和△DEF全等时，这种说法到底意味着什么？

它包含6条信息：PQ与DE的长度相等，PR与DF的长度相等，QR与EF的长度相等，∠P与∠D相等，∠Q与∠E相等，∠R与∠F相等。

△PQR和△DFE全等吗？在图1-8中不全等，因为PQ和它对应的边DF的长度不相等。

如果我们像几何学家那样严格地遵循全等的定义，△PQR和△DFE就不全等（尽管它们是相同的三角形），因为DE和DF的长度不一样。

但在驴桥定理的证明过程中，我们说“等腰三角形BAC与等腰三角形CAB全等”，这句话并非毫无意义。如果我告诉你“ANNA”这个名字从左往右看和从右往左看是一样的，那么我其实是在告诉你它有个特点：它是回文。如果你不接受回文的概念，并且说“当然一样，无论你按什么顺序写，它都是由两个A和两个N组成的”，就是强词夺理了。

事实上，“回文”这个名称非常适合△BAC，因为它与把顶点按相反顺序排列得到的△CAB全等。正是借助这样的思维方式，帕普斯才能快速地证明驴桥定理，而无须引入额外的直线或点。

不过，即使是帕普斯的证明方法也不能完全解释为什么等腰三角形的两个底角相等。但是，它确实更近了一步。等腰三角形是一个“回文”，我敢打赌你的直觉也会告诉你：如果你把这个三角形拿起来，翻转一下，再把它放回原处，它的位置不会发生任何变化。就像回文单词一样，它具有对称性。人们认为，这就是等腰三角形的两个底角必然相等的原因。

在几何课上，我们通常不允许讨论把图形拿起来并进行翻转的问题。 事实上，这是不应该的。尽管我们试图使它尽可能地抽象化，但数学与我们的身体密切相关，几何学尤其如此。每位数学家都有过用手势画出看不见的图形的经历，而且至少有一项研究发现，如果让孩子们借助自己的身体解答几何问题，他们就更有可能得出正确的结论。 据说，庞加莱在进行几何推理时就需要依靠他自身的运动感。他不善于想象，记忆面孔和图形的能力也很差。他说，当需要凭记忆画一幅画时，他想起来的不是画面，而是他的视线在画面上的运动轨迹。 ILMEvXa75skiX1tE7mzxipb5MHN7els0HzXXbBCpUPuvraIijrQB8uhzQisONOmB