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我们不再让学生死记硬背欧几里得几何的证明方法了。19世纪末，美国的几何教科书里出现了练习题，要求学生独立证明几何命题。1893年，十人委员会将这一转变编成了法典。十人委员会是哈佛大学校长查尔斯·艾略特召集的教育全会，旨在推行美国中学教育的合理化改革和标准化管理。会议宣称，美国中学几何教学的核心在于培养学生的严密演绎推理的思维习惯，这一理念被奉行至今。1950年，一项关于“几何教学目标”的调查访问了500名美国中学教师，绝大多数受访者选择的答案都是“培养清晰的思维习惯和精确的表达习惯”，该答案的支持人数几乎是“传授几何事实和原理”这一答案的两倍。换句话说，几何教学的目标不是给学生灌输关于三角形的所有已知事实，而是培养他们利用原理构建事实的思维习惯，让他们成为像少年林肯那样的学生。
为什么要进行这样的智力训练？是不是因为学生们在今后的生活中必然会被要求证明多边形的外角和等于360度？
我一直等待着这种事发生在我身上，但它从未发生。
教学生们写证明过程的根本原因并不在于这个世界充斥着证明过程，而在于假证明过程（non-proof）比比皆是，成年人需要知道两者之间的区别。一旦你熟悉了真正的证明过程，就不会轻易接受假证明过程。
林肯知道这种区别。他的朋友、律师同事亨利·克莱·惠特尼回忆说：“我不止一次看到他拆穿谬误，不给谬误及其制造者留一丝情面。”我们遇到的假证明过程总是披着伪装，防不胜防，除非我们时刻保持警醒。但是，它们也并非无迹可寻。在数学领域，当作者以“显而易见”作为句子的开头时，他们的言外之意往往是：“这对我来说似乎显而易见，我可能应该核实一下，但我有点儿困惑，所以只好断言它是显而易见的。”报纸上也存在类似的情况，如果你看到以“当然，我们都认同”开头的句子，无论如何也不要相信所有人都认同接下来的内容。这句话要求我们把某种说法视为公理，但几何学的历史至少让我们学到了一点：你不应该轻易认同书中的一条新公理，除非它能证明自己名副其实。
如果有人告诉你他们的证明过程“完全合乎逻辑”，那你一定要抱持怀疑态度。如果他们谈论的是一项经济政策，或者是一位行为遭到他们谴责的文化人物，或者是他们想让你承认的某种关系而不是三角形全等判定定理，他们的证明过程就不会“完全合乎逻辑”，因为他们在进行逻辑演绎（如果有）时不可能不受所在情境的影响。他们想让你把一系列武断的观点误当作定理的证明过程，但只要你体验过真正逻辑缜密的证明过程，你就不会再上当了。告诉你的那些标榜自己的证明过程“完全合乎逻辑”的对手，他们的做法无异于化圆为方。
惠特尼说，林肯的与众不同之处并不在于他拥有超凡的智力。惠特尼遗憾地写道，许多公众人物都非常聪慧，但其中有好人也有坏人。而林肯的特别之处在于，“他不可能做无理狡辩，就像他不可能偷东西一样，他认为这两种行为都是不道德的。从本质上讲，通过偷窃和不合乎逻辑或恶意推理的方式去掠夺他人的财产，对他来说是一回事”。林肯从欧几里得几何中汲取的东西（或者说，林肯本身就已具备，并在欧几里得几何中发现了同样的东西）是诚实原则，即除非已经进行了公正的证明，否则就不要发表意见。几何学是一门诚实的学问，所以林肯也被称为“几何学亚伯”。
林肯认为谬误制造者应该感到羞愧，但我对此持不同看法。因为一个人最难诚实面对的就是自己，我们需要花大量的时间和精力去拆穿自己制造的谬误。假如你有一颗牙齿松动了，更准确地说，你不确定它是否松动了，你就会时不时地去杵杵它。同样地，你也应该随时检查你的看法是否可靠，即使不可靠，你也无须感到羞愧。你只需要心平气和地退回到你确定的地方，然后重新思考可以推导出什么结论。
这就是理想情况下几何学可以教给我们的东西。但是，西尔维斯特抱怨的“僵化死板”的教学方式远未消失。实际上，就像善于讲故事的数学作家、漫画家本·奥林说的那样，在几何课上我们教给学生们的往往是：
证明是指用难以理解的过程论证已知的事实。
奥林以“直角全等判定定理”为例，该定理称任意两个直角都是全等的。如果要求一个九年级学生证明这条定理，他会怎么做呢？最典型的形式就是“两栏式证明”（two-column proof）。一个多世纪以来，它一直是几何教学的一种主要方法。在这个案例中，证明过程大致如下：
“等量代换”是欧几里得几何的“公理”（common notion）之一。《几何原本》一开始就阐述了这些算术公理，甚至认为它们先于那些几何公理。这条公理指出，跟同一个量相等的两个量彼此相等。
我不想否认，把证明过程分解成如此细微、精确的步骤，确实会给人一种满足感。这些步骤像乐高积木一样完美地组合在一起，这种感觉就是老师真正想传达给学生的东西。
然而……两个直角是同样的事物，只不过它们的位置和方向不同，这难道不是显而易见的事实吗？欧几里得的确把任意两个直角相等作为他的第四条公理，这些不证自明的公理是欧几里得几何的基本规则，其他一切定理均由这些公理推导而来。那么，为什么现代的中学却要求学生证明这个在欧几里得看来“显而易见”的事实呢？因为我们从很多套公理出发都可以推导出这一事实，而欧几里得的证明方法已不再被公认为最严谨或最有利于几何教学的选择。1899年，德国数学家戴维·希尔伯特出版了《几何基础》一书，重新建立了几何学的公理基础。今天，美国学校使用的公理主要是乔治·伯克霍夫在1932年确立的那些。
不管它是不是公理，学生们都知道两个直角相等的事实。如果你对一个学生说“你以为你知道，但在完成两栏式证明的所有步骤之前，你不能说你真的知道”，那么在对方心情沮丧时你不能指责他，因为这简直就是一种侮辱！
几何课的绝大部分时间都被用于证明那些显而易见的事实。我清楚地记得自己大一时上过一门拓扑学课程，授课的教授是一位非常杰出的资深研究员，他花了两周时间证明了一个事实：如果你在平面上画一条闭合曲线，无论它多么弯曲、怪异，都会把平面分成两个部分，即曲线外的部分和曲线内的部分。
它就是乔丹
曲线定理，现在我们已经知道证明这个事实的难度极大，但在那两个星期里，我几乎无法平息自己内心的怒火。难道数学的真谛就是绞尽脑汁地证明一些显而易见的事实吗？这让当时的我昏昏欲睡，我的同学亦如此，现在他们中有不少人都成了数学家和科学家。我座位的正前方有两名非常认真的同学，他们后来在全美排名前五的大学里获得了数学博士学位。每当那位杰出的资深研究员转过身去，在黑板上用粉笔写下关于多边形扰动的一个巧妙的证明步骤时，那两名同学就会旁若无人地亲热起来。在相互吸引的青春活力的作用下，他们根本无暇顾及黑板上的证明过程。
像我这样训练有素的数学家可能会摆出一副严肃的面孔说教道：同学们，你们还是太年轻了，不知道哪些陈述是真正的显而易见，而哪些陈述则暗藏玄机。也许我会把令人害怕的亚历山大带角球（Alexander Horned Sphere）搬出来，表明三维空间中的相似问题并不像他们想象的那么简单。
但从教学角度看，我认为这是一个很糟糕的答案。如果我们在课堂上花时间证明那些看似显而易见的事实，并坚称那些陈述并不是显而易见的，我们的学生就会像曾经的我一样心生不满，或者在老师不注意的时候做些更有趣的事。
我喜欢特级教师本·布鲁姆-史密斯对这个问题的描述方式：为了真正点燃学生们对数学的热情，老师必须让他们亲身体验“信心梯度”——在形式逻辑的驱动下从显而易见的事物推进至非显而易见的事物。否则的话，老师很可能会说：“这里有一系列看上去显而易见正确的公理，请你把它们放到一起，直至得出一个看上去显而易见正确的陈述。”这就好比你教孩子们搭乐高积木时，向他们展示如何将两小块拼成一大块。你可以这样做，而且有时你确实需要这样做，但它绝不是搭乐高积木的关键所在。
亲身体验信心梯度的效果可能好于听他人说教。如果你想感受一下，不妨想象一个直角三角形（见图1-1）。
图1-1
直觉告诉我们，如果它的垂直边和水平边确定了，斜边也就确定了。先向南走3千米，再向东走4千米，你与起点之间就会有一段距离。这一点毋庸置疑。
但距离是多少呢？这时候就要用到毕达哥拉斯定理了，它是几何学中第一个被证明的真定理。它告诉我们，如果一个直角三角形的垂直边和水平边的长度分别是a和b，斜边的长度是c，那么
a 2 +b 2 =c 2
在上面的例子中，a=3，b=4，根据毕达哥拉斯定理，c 2 =3 2 +4 2 =9+16=25。哪个数的平方是25？答案是5，它就是斜边的长度。
这个公式为什么是正确的？你可以沿着信心梯度向上攀爬，先画一个垂直边和水平边的长度分别为3和4的直角三角形，再测量它的斜边长度，你会发现结果非常接近5。之后，画一个垂直边和水平边的长度分别为1和3的直角三角形，并测量它的斜边长度。如果你测量得足够仔细，就会发现斜边的长度非常接近3.16，它的平方是1+9=10。通过实例推导可以增强你的信心，但这不是证明过程，下面的才是。
在图1-2中，左边和右边的大正方形相同，但它们的分割方式不同。在左图中，你会得到4个相同的直角三角形和一个边长为c的正方形。在右图中，你也会得到4个相同的直角三角形，但它们的排列方式与左图不同。除此以外，右图中还有两个小正方形，一个边长为a，另一个边长为b。在你把每个大正方形中的4个三角形拿走后，它们的剩余面积相等。也就是说，c 2 （左图中的剩余面积）等于a 2 +b 2 （右图中的剩余面积）。
图1-2
如果你非要在鸡蛋里挑骨头，那你可以抨击我们没有证明左图内的小四边形确实是正方形（所有边长都相等还不够。当你用拇指和食指挤压这个正方形的两个相对的角时，就会得到一个菱形，它肯定不是正方形，但它的4条边的长度都一样）。但你也没必要如此吹毛求疵吧。在看到图1-2之前，你没有理由认为毕达哥拉斯定理是正确的；但看过之后，你就会知道它为什么是正确的了。将几何图形切割后重新进行排列的证明方法被称为“图形分解法”，该方法因其清晰性和独创性而广受赞誉。12世纪的数学家、天文学家婆什迦罗
就是利用这种方法证明了毕达哥拉斯定理，他还发现该方法令人信服，而且无须文字阐释，于是他只加了一个图题：“看呀！”
1830年，业余数学家亨利·帕利高像林肯一样试图解决化圆为方的问题，在这个过程中，他找到了证明毕达哥拉斯定理的另一种图形分解法。这让他深以为荣，大约60年后，他让人把这幅图刻在了他的墓碑上。