僵化死板的教学方式

林肯向美国大众展示的几何学前景，就像他的许多美好的想法一样，并未完全实现。到19世纪中叶，几何学已经从大学普及至公立中学，但典型的课程将欧几里得几何用作博物馆展品，学生们被要求记忆、背诵并在一定程度上欣赏它的证明过程。至于这些证明过程是如何想出来的、由谁想出来的，却未被提及。证明者几乎消失了，当时的一位作家评论道：“许多年轻人在读了《几何原本》后，才偶然得知欧几里得不是一门学科的名字，而是这门学科的创造者的名字。”这是教育的悖论：我们把自己最欣赏的东西装进盒子里，导致它黯然失色。

公正地说，我们对历史上的欧几里得知之甚少。公元前300年左右，他在埃及的亚历山大城生活和工作，这就是我们知道的关于欧几里得的一切。他的《几何原本》收集了当时希腊数学界掌握的几何学知识，为作为“餐后甜点”的数论奠定了基础。这本书的大部分内容早在欧几里得时代之前就已经为人所知了，但它以极其新颖的方式将大量知识组织在一起，从为数不多的几乎不可能被怀疑的公理，一步一步地推导出关于三角形、线、角和圆的一整套定理。在欧几里得几何出现之前，这样的结构是不可想象的。之后，它成为与知识和想法有关的一切令人赞赏之物的典范。

当然，几何学还有另外一种教学方法。该方法强调创造性，试图让学生置身欧几里得几何之中，有权力自己下定义，看看会得出什么结果。《创意几何学》（Inventional Geometry）就是这样一本教科书，它的出发点是“只有自我教育才是真正的教育”。这本书建议，“至少在你完成作图之前”不要看其他人画的图，以免产生焦虑和攀比心理，因为每个人都有自己的学习节奏，而且在心情愉快的情况下，你能更好地掌握所学内容。这本书罗列了一系列谜题和问题，共计446个。有些问题很简单，例如，你能用两条线画出3个角吗？你能用两条线画出4个角吗？你能用两条线画出4个以上的角吗？而有些问题实际上是无解的，作者警告说，解题时你最好把自己放在一位真正的科学家的位置上。还有些问题，例如这本书中的第一个问题，根本没有显而易见的“正确答案”：把一个立方体的某个面朝下放在桌子上，另一个面朝向你，说出这个立方体的长、宽、高分别在哪个方向上。总的来说，这就是“以儿童为中心”的探索性教学方法，传统主义者嘲讽它是当今教育的一大错误。然而，这本书出版于1860年。

几年前，威斯康星大学的数学图书馆收藏了一大批旧数学教科书，它们实际上是100年来威斯康星州的小学生用过的教科书， 但最终它们被新教科书取代了。看着这些历经沧桑的书，你会发现教育上的每个争议以前都出现过，我们认为新奇的东西（比如，要求学生独立完成证明的《创意几何学》等数学书籍，把问题与学生的日常生活联系起来的数学书籍，旨在推进社会事业的数学书籍）以前也存在过，它们在当时被视为新奇的事物，在未来必定会再次被视为新奇的事物。

顺便提一下，《创意几何学》的引言部分提到，几何学“在所有人的教育中都应占有一席之地，女性也不例外”。这本书的作者威廉·乔治·斯宾塞是男女同校教育的早期倡导者。在与《创意几何学》同年出版的《弗洛斯河上的磨坊》中，乔治·艾略特 传递了（但她并不赞同）19世纪人们对女性和几何学的一种更加普遍的态度：“女孩学不好欧几里得几何，是吧，先生？”当这本书中的一个人物问到这个问题时，斯特林校长回答说：“她们会很多东西，但都流于浅表，无法进行深入的思考和研究。”斯宾塞强烈反对的英国传统教学模式以夸张和讽刺的写作手法在斯特林身上表现出来：长年累月地记忆大师们的成果，与此同时，缓慢而混乱的理解过程不仅被忽视，还遭到了积极的抵制。“斯特林先生不会采取化繁为简和条分缕析的教学方式，因为那会削弱学生的思维能力。”欧几里得几何是男子汉的滋补品，就像烈酒和冷水澡一样，男孩必须直面它的考验。

即使在数学研究的最高领域，也出现了对斯特林主义的不满情绪。英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（我们将在后文中讨论他的几何与代数研究，以及他对愚蠢、死气沉沉的英国学术界的厌恶之情）认为，我们应该将欧几里得几何束之高阁，“使其远离学生的视线”。他强调几何教学要与物理学联系在一起，用动态几何去补充静态的欧几里得几何。西尔维斯特写道：“在我们传统的中世纪教学模式中，这种对几何学的强烈兴趣是极其欠缺的。在法国、德国、意大利和我到过的欧洲大陆的每个地方，人们都在以我们的僵化死板的学术机构不熟悉的方式进行着思想上的直接交流。” o5Tt9XuR3YoAKThZUmjJPUa5NqruvB2IDruPjNPWCEWeKeNNEQPzr7I82+axpLCZ