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引言
事物在哪里?它们长什么样子?

作为一名数学家,我经常在公共场合谈论数学,这似乎能帮助人们解开某些谜团。他们会告诉我一些事情,我感觉那些都是他们长时间深埋心底的故事。其中一些故事与数学有关:有时它们是悲伤的,例如,一名数学老师无缘无故地践踏了一个孩子的自尊心;有时它们是快乐的,例如,一个孩子受到启发后茅塞顿开,或者一个成年人怎么也找不到回家的路了(事实上,这个故事也有点儿悲伤)。

这些故事常跟几何学有关。在人们对中学时期的记忆中,几何学是那么另类,犹如交响乐中冒出来的异常大声的不和谐音调。有些人憎恶几何学,他们告诉我,从开始学习几何学的那一刻起,数学就超出了他们的理解范围。但也有些人告诉我,几何学是数学中他们唯一能弄懂的部分。几何学就像数学这道大餐中的香菜一样,人们对它要么甘之如饴,要么避之不及。

是什么让几何学变得如此与众不同呢?在某种程度上,它是原始的,根植于我们的身体。自出生之日起,我们就开始思考两个问题:事物在哪里?它们长什么样子?有些人会告诉你,所有与我们的内心生活息息相关的事情,都可以追溯到非洲稀树草原上那群狩猎采集者的需求。我不认同这种说法,但我也无法否认,那些原始人在学会用语言谈论形状、距离和地点之前,对这些概念就有所了解了。南美的神秘主义者(及南美以外地区的模仿者)喝下死藤水(一种宗教致幻剂)后,会在第一时间(好吧,是在不受控制地呕吐后的第一时间)感知到一些纯粹的几何形状,例如,像传统清真寺里反复出现的格栅一样的二维图形,或者像由六面体巢室排列而成的蜂巢一样的三维图形。即使在我们失去了其他推理思维的情况下,几何学也不会抛弃我们。

读者朋友,让我开诚布公地告诉你们:起初我对几何学毫无兴趣。这的确令人难以理解,毕竟我现在是一位数学家,而且我的工作就是跟几何学打交道!

但是,自从我和其他孩子组队参加数学联赛,一切就都变得不一样了。是的,一场数学联赛。我所在中学的参赛队伍名叫“地狱天使”,我们每次上场比赛都穿着黑色T恤,带着一台手提录音机,播放着休伊·刘易斯和新闻乐队演唱的歌曲“Hip to Be Square”(《洗心革面》)。我在那场联赛中“出名”了:只要遇到“证明∠APQ=∠CDF”之类的问题,我就会止步不前。这并不是因为我不会解答这类问题,而是因为我使用的是最笨、最麻烦的方法:给图中的多个点逐一分配坐标值,然后通过大量的代数运算和数值计算,求出三角形的面积和线段的长度。事实上,只要运用有效的几何方法就可以避免这些烦琐的步骤。我得出的答案有时是对的,有时是错的,但每次的解题过程都非常痛苦。

如果世界上有几何天赋这种东西,那我肯定没有。我们可以给婴儿做几何测试:以两幅为一组,连续向婴儿展示一系列图片,其中大多数组别中的两幅图片展示的形状都相同,但大约每隔三组,右边的那幅图片展示的形状就会与左边的那幅图片相反。婴儿会花更多的时间去看那些相反的形状,这表明他们知道“有事情发生了”,他们追求新奇事物的头脑也会迅速做出反应。婴儿凝视镜像形状的时间越长,他们在学龄前期的数学和空间推理测试中的得分就越高,也能更快、更准确地想象出不同的形状,以及这些形状旋转或粘在一起后的样子。至于我,我几乎完全不具备这种能力。你知道加油站的刷卡机上贴的那个小图片吧?它会告诉你刷信用卡时卡片应该朝着哪个方向。但是,它对我毫无用处,因为我的大脑无法把那幅平面图转化成三维动作。每次刷卡,我都不得不把4种可能的朝向尝试一遍——磁条向上朝右、磁条向上朝左、磁条向下朝右、磁条向下朝左——直到机器开始读卡。

然而,人们通常认为几何学对现实世界的一些运算而言至关重要。凯瑟琳·约翰逊是美国国家航空航天局(NASA)的一位数学家,她因为《隐藏人物》这本书及同名电影的主人公而出名。谈到她早年间在飞行研究部门取得的成功时,凯瑟琳说:“那些家伙都有数学硕士学位,但他们彻底忘记了他们学过的几何知识……而我还记得我学过的几何知识。” Z1gPYMrPmo/iGd8WbdHUXTrY16s2cVXrdr6tNtOW/ei/1bMADJMcnCuDl/nWJ/Zz

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