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1904年，世界博览会在美国圣路易斯市举办，以纪念101年前的“路易斯安那购地”事件，参观人数超过2000万。同年夏天，该市还举办了奥运会和美国民主党全国代表大会。美国之所以举办这次博览会，意在表明这个国家（尤其是美国中部地区）已经准备好登上世界舞台了。歌曲《相逢圣路易斯》（Meet Me in St.Louis）就是为了纪念这一事件（“和我相逢在圣路易斯/和我相逢在博览会/别告诉我其他地方灯火辉煌/我只想去那里”）创作的。经过长途跋涉，人们把自由钟从宾夕法尼亚州搬到了圣路易斯市。展品中有美国著名画家詹姆斯·惠斯勒和约翰·辛格·萨金特的画作。一名在施工帐篷里出生的婴儿被取名为“路易斯安那·珀切斯·奥利里”（Louisiana Purchase O'Leary）。亚拉巴马州的伯明翰市建造了一座56英尺
高的铸铁火神雕像，并将其送到博览会上展出，以宣传该市的钢铁工业。美国印第安部落阿帕奇族的首领杰罗尼莫在自己的照片上签名，海伦·凯勒也出现在拥挤的人群面前。还有人说，圆筒冰激凌就是在这次博览会的现场发明的。同年9月，国际艺术与科学大会召开，在今天的圣路易斯华盛顿大学的所在地，来自其他国家的杰出教授与他们的美国同行展开了交流。英国医生罗纳德·罗斯爵士也出席了这次会议，他因为发现了疟疾的传播媒介而获得了1902年的诺贝尔生理学或医学奖。参会的还有互为竞争对手的德国物理学家路德维希·玻尔兹曼和威廉·奥斯特瓦尔德，他们当时正在进行一场关于物质的基本性质的激烈论战。玻尔兹曼认为物质是由离散的原子构成的，而奥斯特瓦尔德则认为宇宙的基本成分是能量，并且否定了原子的存在。世界上最著名的几何学家、时年50岁的庞加莱在这次大会议程的最后一天发表了主题演讲——《数学物理原理》。他的论调非常谨慎，因为在那一刻这些原理正面临着极大的压力。
“某些征兆预示着一场严重的危机即将发生，”庞加莱说，“这似乎表明变革迫在眉睫。但是，我们也不必太过焦虑。我们相信‘患者’不会死亡，事实上，我们希望这次危机能产生有益的影响。”
物理学面临的这场危机是对称性问题。人们希望，即使你往旁边迈出一步或把目光投向另一个方向，物理学定律也不会改变。也就是说，对三维空间的刚体运动而言，它们是不变量。庞加莱甚至认为，即使他登上一辆行驶的公共汽车，这些定律也不会改变。这是一种稍显复杂的对称变换，涉及空间和时间坐标。
从随车观测者的角度看，任何物理学定律都不会改变，但这可能并不那么显而易见。运动和静止给人的感觉是不一样的，对吗？大错特错！即使亨利没有上车，他也依旧站在地球上，而地球正绕着太阳高速运动，太阳本身也在沿着某个与银河系中心有关的疯狂轨道运动，等等。如果根本没有所谓的静止不动的观测者，那么我们最好不要采用只从这样一个观测者的角度来看才是真实的物理学定律。简言之，物理学定律不应该受到观测者的运动状态的影响。
现在的危机在于，物理学似乎并不是这样运行的。麦克斯韦方程组把电、磁、光的理论完美地统一起来，但在对称变换下它们都不是不变量，而这是不应该的。想要摆脱这种令人不安的状况，最常用的方法是，假设有一个绝对静止的立足点或一种静止的不可见背景——以太，宇宙万物就像台球一样在以太中来回滚动、相互碰撞。真正的物理学定律应该是，从以太的角度而非地球人的角度看到的物理学运行方式。人们设计出一些巧妙的实验，用于探测以太或测量地球通过以太的速度，但均以失败告终。为了尝试解释这些失败，人们不得不做出另外一些“特设性假设”（ad hoc postulate），例如亨德里克·洛伦兹的“收缩假说”——所有运动物体都会沿其速度方向产生收缩。总之，基础物理学处于一种不稳固的状态。在演讲的结尾，庞加莱尝试设想出一种度过危机的方法：
也许我们还必须构建一种全新的力学。但对于它，我们现在只能窥见一斑：惯性会随着速度的增加而增加，光速是一个不可能超越的速度极限。更简单的普通力学仍能实现一级近似，因为它在速度不太大的时候是有效的，所以在新的力学中仍能看到旧的力学。我们无须因为相信旧原理而感到遗憾，事实上，超出旧公式适用范围的速度往往是异常值，所以在实践中最安全的做法就是选择继续相信它们。它们的作用巨大，我们应该为它们保留一席之地。如果我们完全摒弃它们，就相当于失去了一件很重要的武器。最后，我必须说一句，我们还没有到那个地步，也没有任何证据表明它们不会以胜利者的姿态从这场战斗中全身而退。
正如庞加莱预测的那样，“患者”没有死亡。恰恰相反，它很快就以一种怪异的变形方式出现在世人眼前。1905年，圣路易斯会议结束后不到一年，庞加莱最终证明了麦克斯韦方程具有对称性。但其对称性——洛伦兹收缩——是一种新的对称变换，它以一种更微妙的方式将空间和时间混合在一起，而不是“我坐了两个小时的公共汽车，所以我在出发地往北40千米的地方”。（当公共汽车的行驶速度达到光速的90%时，两者之间的差异尤为显著。）从这个新的视角看，洛伦兹收缩并不是一种怪异的、不优美的拼凑之物，而是一种自然的对称性。就像一个三角形经过拉挤变换，它的形状会发生改变一样，一个物体经过洛伦兹收缩变换，它的长度也会发生改变，这没什么好奇怪的。一旦你弄懂了对称性，你就会知道两个被定义为“相同”的事物之间可以存在多大的差异。庞加莱为这一飞跃做足了准备，因为他已经是纯粹数学领域的创新者之一，建立了与欧几里得几何截然不同的平面几何体系，其中也包含不同的“对称群”（symmetry group）。例如，庞加莱在1887年提出的“第四种几何学”（fourth geometry）指的就是拉挤平面几何。
拉挤平面遵循“水平和垂直守恒定律”：如果两个点可以用水平或垂直线段连接，那么它们在进行拉挤变换后仍然可以。洛伦兹时空也大致如此。时空中的一个点既是一个位置也是一个时刻，在洛伦兹对称变换后守恒的特殊线段是连接两个位置-时刻的线段，而两个位置之间的间隔是光在两个时刻之间运动的确切距离。换句话说，光速是几何学的一部分。关于光能否从位置-时刻点A到达位置-时刻点B，这个问题有一个确定的答案，它不会因为你是否乘坐了公共汽车而发生变化。
这个拉挤平面就像洛伦兹时空的婴儿版，你可以把它想象成一维空间（而不是三维空间）中的相对论物理学。一维空间与一维时间结合起来，构成了二维时空。
但庞加莱没有发明相对论，他的圣路易斯演讲的最后一句话解释了原因。那就是，庞加莱不希望从根本上改变物理学。通过数学检验，他发现了麦克斯韦方程指向的那种奇怪的几何学，但他没有足够的勇气跟随指示一路去到地平线上那个奇怪的点。他愿意承认物理学可能不像他和牛顿想的那样，但他不愿意承认宇宙几何学可能也不像他和欧几里得想的那样。
1905年庞加莱在麦克斯韦方程中看到的东西，阿尔伯特·爱因斯坦在同一年也看到了。这位比庞加莱更年轻也更大胆的科学家，超越了世界上最杰出的几何学家，在对称性的指引下重塑了物理学。
数学家很快就明白了这些新理论的重要性。德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基率先找到了爱因斯坦时空理论的几何学根基（因此，本书所说的“拉挤平面”实际上被称为“闵可夫斯基平面”）。1915年，艾米·诺特建立了对称变换和守恒定律之间的基本关系。诺特为抽象而生，作为一名资深的数学家，对于她在1907年完成的博士论文（一篇计算方面的杰作，内容涉及含有三个变量的四次多项式的331个不变特征的确定），诺特的评价是“废话连篇”“公式丛生”，以及太过混乱和具体！她使庞加莱的“洞”（洞内空间）理论变得更加现代化，而不仅限于计数有多少个洞，她还厘清了数学物理中守恒定律的混乱状况。找出你感兴趣的对称变换的守恒量，这几乎总是一个重要的物理学问题。诺特证明了每一种对称性都有一个相关的守恒定律，并把大量杂乱的计算梳理成整洁的数学理论，从而破解了一个连爱因斯坦本人都百思不得其解的谜题。
1933年，哥廷根大学数学系开除了诺特和其他所有的犹太裔研究人员。之后，她去了美国布林莫尔学院任教，但不久就死于一次貌似成功的肿瘤切除手术后的伤口感染，终年53岁。爱因斯坦给《纽约时报》写了一封信，用这位伟大的理想主义者必定会欣赏的言语，向诺特的研究成果致敬。
她发现了一些至关重要的方法，今天年青一代数学家的成长已经证明了这一点。从本质上说，纯粹数学就是逻辑思想的诗篇。人们寻求最一般的原理，以简单、合乎逻辑和统一的形式将尽可能多的关系汇集起来。对这些专注于逻辑之美的研究发现而言，想要深入地探索自然规律，震撼心灵的公式是不可或缺的。