拉挤变换

我们也可以放宽条件，考虑更多形式的变换。例如，我们可以允许放大和缩小，在这种情况下，图3-2中的两个图形是相同的。

三角形的有些要素以前是不变量，例如面积，但在这种更宽松的相同性概念下，它们不再是不变量。还有些要素仍然是不变量，例如三个角。在中学几何课上，这种宽松意义上的相同形状被称为“相似形”。

我们也可以创造一个你在课堂上从未见过的全新概念。例如，我们允许进行一种叫作“拉挤”（scronch）的变换：先在垂直方向上按某个因数拉伸图形，作为补偿，再在水平方向上按同样的因数挤压图形（见图3-3）。

一个图形进行拉挤变换后，它的面积保持不变。这对有垂直边和水平边的长方形来说十分简单易懂，因为它的面积等于长乘以宽。拉挤使长乘以一个因数，而使宽除以相同的因数，所以它们的乘积（长方形的面积）保持不变。大家试试看，能否证明三角形同样如此，这似乎有点儿难！

在拉挤几何学中，如果你能通过平移和拉挤变换使两个图形中的一个变成另一个，我们就称这两个图形相同。通过拉挤变换变成相同图形的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定可以通过拉挤变换变成相同的图形。例如，任意一条水平线段在进行拉挤变换后仍然是水平的，所以有水平边的三角形经过拉挤变换，不可能变成与没有水平边的三角形相同的图形。

即使是平面上的对称性，可能的类型也不计其数，我们无法在这里穷举。图3-4引自H.S.M.考克斯特和塞缪尔·格雷策写作的权威教科书《几何学的新探索》，可以帮助大家对这个“动物园”有一个大致的了解。

图3-4是一幅树状图，与家谱图很相似，每个“孩子”都是其“亲本”的一种特殊情况，所以等距变换（我们称之为“刚体运动”）是一种特殊的相似变换，而镜射变换和旋转变换又是特殊的等距变换。“等面积伸缩”（procrustean stretch）是考克斯特和格雷策用来表示拉挤变换的术语，非常生动。如果你允许相似变换和拉挤变换，就能实现仿射变换。对称性赋予我们一种自然的方式，将平面几何中的许多定义组织起来。（练习：证明椭圆是可以通过仿射变换变成圆的图形。更难的练习：证明平行四边形是可以通过仿射变换变成正方形的图形。）

哪两个图形“真”的相同？这是一个没有正确答案的问题，它取决于我们对什么感兴趣。如果我们对面积感兴趣，那么仅有相似性是不够的，因为相似图形的面积不是不变量。但如果我们只对角感兴趣，就没有理由坚持要求全等，而是有相似性即可，否则就过于吹毛求疵了。每种对称性都衍生出了它自己的几何学，用于判定哪些图形大不相同，以提醒我们最好不要用同样的名称指代它们。

欧几里得直接讨论对称性的著述并不多，但他的门徒们忍不住思考这个问题，甚至在研究对象与平面图形相去甚远的情况下也会这样做。人们自然而然地认为，对称变换不会导致那些重要的量发生改变。例如，1854年，林肯在他的私人笔记中以一种鲜明的几何化语言风格写道：

如果A.能证明（无论证据是否确凿）他享有奴役B.的合法权利，那么B.为什么不能利用同样的证据证明他也可以奴役A.？

林肯认为，“道德容许度”（moral permissibility）应该是一个不变量，就像欧几里得三角形的面积不会仅仅因为你对图形进行了镜射变换而发生变化一样。

如果你愿意，我们还可以更进一步，把中学的几何课彻底抛在脑后。我们不再需要铅笔、书本，也不必再看欧几里得的臭脸！我们可以随心所欲地拉伸、平滑图形，只要不把它弄断，这样三角形就可以变成圆或正方形（见图3-5）。

但是，三角形不可能变成线段，除非你从某处把它扯开。这句话听起来是不是很熟悉？这种极其宽松的几何学认为三角形、正方形和圆都是相同的事物，它就是庞加莱创立的拓扑学，目的是数清楚一根吸管上有多少个洞。（好吧，可能还有其他原因。）这些对称变换及我们讨论过的其他类型的对称变换，都属于“连续变换”（continuous transformation），在考克斯特和格雷策的图（见图3-4）中位列第二行。在这种宽松的几何学中，欧几里得关心的角、面积等概念都被当作无关紧要的东西舍弃了，只留下一个纯粹的关于形状的概念。