第3章
给不同的事物赋予相同的名称

正如几何学家现在看到的那样，对称性（symmetry）是几何学的基础。不仅如此，我们如何定义对称性还决定了几何学的走向。

在欧几里得几何中，对称性与刚体运动密不可分，包括平移、镜射、旋转及这三种运动方式的任意组合。对称性为我们讨论全等问题提供了一种更加现代化的方法。我们不说“如果两个三角形的所有边和所有角都相等，那么这两个三角形全等”，而说“如果一个三角形通过刚体运动能与另一个三角形重合，那么这两个三角形全等”。后一种说法是不是更自然？事实上，在阅读欧几里得的著作时，我们可以感觉到他本人竭力（但不能完全做到）避免以这种方式表达他的想法。

为什么要把刚体运动视为基本的对称性呢？一个不错（但也不太容易证明）的理由是，当我们让平面图形做刚体运动时，所有线段的长度完全相等，因此在希腊语中“symmetry”的意思是“等量”。其实，更恰当的希腊语词汇是“isometry”，它的意思是“等距”，正好对应于现代数学中的刚体运动。

图3-1中的两个三角形全等，所以我们倾向于像欧几里得那样宣称它们是相同的，尽管它们实际上并不相同。它们是间距约为3英寸的两个不同的三角形。

这不禁让我们想起庞加莱的另一句常被引用的话：“数学是一门给不同的事物赋予相同的名称的艺术。”诸如此类的定义性崩塌现象在我们的日常思考和言谈中并不鲜见。想象一下，如果有人问你是否来自芝加哥，而你说“不是，我来自25年前的芝加哥”，这无疑是一个过于学究气的回答，因为当谈论城市时，我们会含蓄地引入时间平移对称性。遵照庞加莱的方式，我们用相同的名称指代过去的芝加哥和现在的芝加哥。

当然，对于“什么是对称性”的问题，我们的答案可能比欧几里得更严谨。例如，我们可能会禁止镜射和旋转，而只允许图形在不自旋的平面上滑动。这样一来，图3-1中的两个三角形就不再相同了，因为它们指向不同的方向。

如果我们允许旋转而不允许镜射呢？你可以认为这是困在平面上的三角形被允许进行的一类变换——我们可以滑动和旋转它们，但不能把它们拿起来和翻转，因为这需要使用我们现在被禁止探索的三维空间。在这些规则下，我们仍然不能用相同的名称指代这两个三角形。在左边的三角形中，从最短边到最长边是按逆时针方向排列的。无论我们如何滑动、旋转该图形，这个事实永远都不会改变；也就是说，它永远不可能与右边那个三角形重合，因为在后者中，从最短边到最长边是按顺时针方向排列的。镜射可以使顺时针和逆时针的方向互换，而旋转和平移则做不到。从最短边到最长边是按顺时针还是逆时针方向排列，这是三角形的一个特征，除镜射以外，它不受任何对称性的影响。我们称之为“不变量”。

每一类对称性都有其特定的不变量。刚体运动永远不会改变三角形或任何图形的面积，用物理学术语来说就是刚体运动遵循面积守恒定律。此外，它还遵循长度守恒定律，因为刚体运动不会改变线段的长度。

平面上的旋转很容易理解，不过，一旦进入三维空间挑战性就会大大增加。早在18世纪就有人（还是莱昂哈德·欧拉！）认识到，三维空间中的任何旋转都可以被视为绕某条固定的线（或轴）的旋转。虽然到目前为止一切顺利，但很多无法回答的问题也接踵而至。假设某个图形绕一条垂直线旋转20度，然后绕一条水平指向北方的直线旋转30度，那么最终的旋转一定是绕某个轴旋转某个度数，但到底是哪个轴和多少度呢？答案是：它大致相当于绕一个指向西北偏北方向的轴旋转36度。但这并不容易看出来！有人提出了一种更便利的思考方法，他将旋转看作一种数，即四元数。这个人就是华兹华斯的年轻朋友威廉·哈密顿。有一个著名的故事讲到，1843年10月16日，哈密顿和他的妻子在都柏林沿着皇家运河散步。嗯，我们还是让哈密顿自己来说吧：

虽然她时不时地跟我说话，但我的头脑中一直思绪万千，最终得出了一个结果。毫不夸张地说，我立刻感知到它的重要性。就像电路闭合、火花闪现一样……从布鲁厄姆桥上经过时，我情不自禁地用小刀在一块石头上刻下了这个基本公式……

哈密顿余生的大部分时间都在专心研究他的这一发现的相关推论，他甚至为此写了一首诗：“高等数学，魅力无穷/那些直线与数，是我们的主旋律。我们苦苦求索，希望看到她尚未出生的后代……” UugBIo/8N0le8rAKBrNzx78pWakciLhlo0hWXMGY/P1KHaCPyzPEULAwV46FR5IU