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但是，我们的问题还没有完全解决。如果一条裤子上有2个洞，它们是哪两个洞呢？根据前文对剪短裤子过程的描述，这两个洞似乎是裤腿，裤腰则变成了洞的外沿。但你在叠衣服时可能会注意到，你还可以用另一种方式把丁字裤压平：让一个裤腿变成外沿，另一个裤腿和裤腰则构成2个“洞”。
我女儿没有正式学习过庞加莱的研究成果，但她也认为一条裤子上有2个洞，理由是一条裤子其实就是两根吸管。她说，裤腰洞是2个裤腿洞的组合。她是对的！理解这个问题的最好方法就是将裤子和吸管进行类比。你要是愿意的话，可以想象自己正在尽力地用一根裤子形状的吸管喝麦芽奶昔。如果你把吸管的一条“裤腿”插到奶昔里，然后开始吸，那么流入这条“裤腿”的奶昔与从“裤腰”流出并进入你口中的奶昔数量相等。你也可以用另一条“裤腿”喝奶昔，或者把两条“裤腿”都插到奶昔里。但无论你怎么做，根据奶昔守恒定律，从“裤腰”流出的奶昔量都等于从2个“裤腿”流入的奶昔量之和。如果每秒钟有3毫升奶昔流入左“裤腿”，有5毫升奶昔流入右“裤腿”，就会有8毫升奶昔从“裤腰”流出。因此，我女儿的说法是对的：裤腰洞根本不是1个新洞，而是2个裤腿洞的组合。
那么，这是否意味着2个裤腿洞是“真正”的洞呢？事情没那么简单。就在一秒钟之前，当我们叠刚洗好的丁字裤时，它的裤腰和裤腿之间似乎没什么区别。但现在，裤腰似乎又起到了特殊作用。3+5=8，而不是5+8=3或8+3=5。
由此可见，这是一个需要认真考虑正负号的问题。流出是流入的反过程，所以我们应该用负号来表示它。我们说有−8毫升奶昔流入吸管的“裤腰”，而不说有8毫升奶昔从吸管的“裤腰”流出！此时，我们的描述就会呈现出完美的对称性，流过所有三个开口的奶昔量之和为零。我只需要告诉你这三个数字中的两个，就能完整地描绘出奶昔流过吸管的过程。究竟是哪两个数字不重要，任意两个都可以。
现在，我们可以纠正之前说过的谎言了。“吸管顶端的洞和底端的洞是同一个洞”的说法并不准确，但吸管顶端的洞也不是一个全新的洞，它是底端那个洞的“负”洞。奶昔从其中一个洞流入，就必定会从另一个洞流出。
早在庞加莱之前，就有一些数学家（尤其是意大利托斯卡纳的几何学家、政治家恩里科·贝蒂）为给一个形状赋值若干个洞的问题而绞尽脑汁，但庞加莱最早领悟到有些洞可能是其他洞的组合。不过，即使是庞加莱对洞的思考方式也不同于今天的数学家，这种局面一直持续到20世纪20年代中期。那时，德国数学家艾米·诺特将“同调群”的概念引入了拓扑学，此后我们一直在使用她给“洞”下的定义。
诺特用“链复形”和“同态”等语言表达她的想法，而不是裤子和奶昔，但我将继续使用这些符号，以免画风突变，令人难以接受。诺特的创新之处在于，洞不应该被看作分离的物体，它们更像空间中的方向。
在地图上，你可以朝多少个方向移动？从某种意义上说，这个问题的答案是：无穷多个。你可以朝北、南、东或西的方向移动，也可以朝西南或东北偏东的方向移动，还可以朝南偏东43.28度的方向移动，等等。关键问题在于，尽管你有无穷多种选择，但你只能在两个维度中移动。只要把东和北这两个方向组合起来，你就可以到达任何你想去的地方（前提是你愿意把朝西走10英里
表达为朝东走−10英里）。
如果你问“哪两个方向是可以派生出其他所有方向的基本方向？”，那么我会告诉你这个问题毫无意义，因为任意选择两个方向都能达到同样的效果。你可以选择北和东，你也可以选择南和西，你还可以选择西北和东北偏北，诸如此类。唯一需要注意的是，你不能选择两个相同或正好相反的方向，否则你就只能在地图上画出一条直线。你可以试试看。
一根吸管的顶端和底端就是这样：两者的方向恰好相反，一个朝北，一个朝南，只有一个维度。相比之下，一条裤子的裤腰和两条裤腿则分布在两个维度上，如图2-9所示。
图2-9
先沿着其中一个方向走1英里，再沿着第二个方向走1英里，最后沿着第三个方向走1英里，你就会回到起点（见图2-10）。
图2-10
三个方向相互抵消，组合起来变成零。
保罗·亚历山德洛夫和海因茨·霍普夫在他们1935年出版的基础拓扑学教科书中写道：“如今，它被视为不言而喻的真理，但8年前并非如此。正是艾米·诺特的精力和个性使它成为拓扑学家眼中的常识，并开始在拓扑学的问题和方法中发挥作用，直到今天。”