通过画得差的图形进行好的推理

我们接下来采用的这种几何学被称为拓扑学，它的特点是我们既不用关心事物到底有多大，也不用关心它们之间的距离有多远，以及它们是否弯曲变形。它似乎会导致两个问题：首先，这可能会极大地偏离本书的主题；其次，这可能会让你怀疑我提出的是一种几何虚无主义，致使大家对任何事物都漠不关心。

事实并非如此！数学有很大一部分作用在于，厘清哪些事物是我们暂时或者永远都不用关心的。这种选择性注意是人类理性的基本组成部分。过马路时，一辆闯红灯的汽车径直朝你开过来——在你计划下一步的行动时，你可能会考虑各种各样的问题。你能透过挡风玻璃看清楚司机是否丧失了行动能力吗？这是什么车型？万一你被撞倒，四仰八叉地躺在大街上，你今天穿的是干净内衣吗？这些都不是你会考虑的问题——你允许自己不去关心这些问题，而把你的全部意识都投入到估测汽车的行驶路线并尽可能迅速地躲开它的任务当中。

数学问题通常不这么富有戏剧性，但它们会引导我们的抽象思考过程，使我们有意识地忽略与眼前问题无关的所有特征。牛顿之所以能在天体力学上取得成功，是因为他知道天体运动凭借的是适用于宇宙万物的普遍定律，而不是它们自身的突发奇想。为了达成目标，他必须下定决心，不去关注天体的成分与形状，而只关心它们最重要的特征：质量和位置。我们还可以追溯到更早的时候，回到数学的起源。人类发明数的概念是为了利用完全相同的计数与组合规则去处理7头牛、7块石头、7个人，再进一步，去处理7个国家、7个想法之类的问题。（就这些目的而言，）事物是什么并不重要，重要的是其数量有多少。

拓扑学同样如此，只不过它处理的对象是形状。拓扑学的现代形式来自法国数学家亨利·庞加莱。没错，又是他！在本书中我们会经常看到这个名字，因为庞加莱广泛地参与了几何学的发展，从狭义相对论到混沌理论再到洗牌理论（是的，有这样一个理论，它也属于几何学）。1854年，庞加莱出生于法国南锡一个富裕的知识分子家庭，他的父亲是一位医学教授。5岁时，庞加莱患上了严重的白喉，连续几个月不能说话。尽管他后来完全康复了，但整个童年时期他的身体都很虚弱，甚至成年后也不是很好。一个学生这样描述庞加莱：“我记忆最深刻的是他那双不同寻常的眼睛，虽然近视却炯炯有神。除此以外，我只记得他身材矮小、弯腰驼背，四肢和关节似乎都有问题。”庞加莱十几岁时，德国人占领了法国的阿尔萨斯和洛林，但南锡仍在法国的统治之下。在普法战争中，法国出人意料的全线溃败成为举国上下的创伤。此后，法国不仅下定决心夺回失去的领土，还开始效仿德国高效的官僚制度和领先的专业技术，正是这两大优势助力德国取得了战争的胜利。就像20世纪50年代末苏联出其不意地发射人造地球卫星在美国掀起了科学教育的投资狂潮一样，阿尔萨斯和洛林的沦陷也激励法国奋力追赶已拥有成熟科研机构的德国。庞加莱在占领期间学会了德语，成为法国数学界接受现代教育培训的先锋之一。后来，巴黎跻身世界数学中心之列，庞加莱是其核心成员。庞加莱虽然优秀，但他并非神童。二十五六岁时，他完成了人生中的第一项研究。19世纪80年代末，他成为国际知名人物。1889年，他获得了瑞典国王奥斯卡二世颁发的“三体问题”最佳论文奖。三体问题研究的是三个天体在仅受到彼此间引力作用情况下的运动规律，即使到了21世纪，人们仍然无法完全理解这个问题。但庞加莱在他的获奖论文中提出了动力系统理论，为现代数学家研究三体问题和其他上千个类似问题提供了方法。

庞加莱是一个习惯意识非常强的人。他每天都会花整整4个小时从事数学研究——从上午10点到中午12点，再从下午5点到晚上7点。他认为直觉和无意识的研究至关重要，但从某种意义上说他的职业生涯有条不紊，与其说常有灵光乍现的闪耀时刻，不如说他在按部就班地扩展认知疆域，一步一步地朝着未知领域进发。他每个工作日做4个小时的数学研究，到了节假日就休息。此外，庞加莱的字写得很难看，虽然他可以“左右开弓”。当时，巴黎的数学圈有一句玩笑话：庞加莱的左手和右手写的字一样好。言外之意是，他的两只手写出来的字都很难看。

庞加莱不仅是那个时代最杰出的数学家，也是一位深受大众欢迎的科学和哲学作家。他撰写的关于非欧几何、镭现象和无穷理论的科普图书销量多达几万册，并被翻译成英语、德语、西班牙语、匈牙利语和日语。他是一位技巧纯熟的作家，尤其擅长用巧妙的警句来表达数学思想。以下面这个警句为例，它与本书讨论的问题密切相关。

几何学是一门通过画得差的图形进行好的推理的艺术。

也就是说，如果我准备和你讨论圆，并且需要一个图形做参考，我就会拿出一张纸，在上面画一个圆（见图2-1）。

如果你有点儿学究气，你可能会抱怨我画的不是一个圆，甚至还会拿起尺子测量，并发现从这个“圆”的圆心到圆上各点的距离并不完全相同。我会告诉你，你说得没错，但如果我们讨论的是圆上有多少个洞的问题，就无所谓了。在这方面，庞加莱是我的榜样，他的作图能力很差，这和他的警句及蹩脚的书法一样有名。他的学生托比亚斯·丹齐克回忆说：“他在黑板上画的圆徒有其名，除了是凸 的和闭合的，根本不像圆。”

对庞加莱（和我们）来说，图2-2中的这些图形都是圆。

就连图2-3中的正方形也是圆！

图2-4中这条滑稽的波形曲线还是圆。

但图2-5中的图形不是圆，因为它断开了。对圆而言，断开造成的破坏比挤压、弄弯乃至在它上面扭折出一些拐角更加难以挽回。它的形状彻底改变了，变成了一条画得很差的线段，而不是一个画得很差的圆。它从有1个洞的事物变成了没有洞的事物。

“一根吸管上有多少个洞？”的问题很像一个拓扑学问题。Snapchat视频里的那两个兄弟在讨论这个问题时，要求知道吸管的精确尺寸、它是否笔直、它的横截面是不是欧几里得认可的那种正圆等信息了吗？没有。从某种程度上说，他们明白就当前的争论而言，这些问题是可以放在一边的。

把这些问题放在一边后，还剩下什么问题？庞加莱建议我们拿起这根吸管，把它剪得越来越短。在他看来，吸管还是那根吸管。不过，它很快就会变成一个狭窄的塑料带（见图2-6）。

你还可以更进一步，使这个塑料带的内壁向外弯，将它压平在书页上（见图2-7）。

现在它变成了由两个圆围成的图形，在几何学上被称为“圆环”，但你也可以把它看作一张7英寸 单曲唱片或一个Aerobie（一家制造运动器械的公司）飞环。如果你想象自己身处16世纪印度的一场战斗中，而它是对手朝你抛过来的一件外缘异常锋利的武器，它就是轮刃。

不管你叫它什么，它仍然是一幅画得很差的吸管示意图，而且它上面只有1个洞。

如果拓扑学坚持让我们说一根吸管上只有1个洞，那我们应该说一条裤子上有几个洞呢？就像剪短吸管一样，我们也可以把裤子剪得越来越短。先把它剪成短裤，然后是超短裤，最后是丁字裤。把这条丁字裤压平到你正在读的书页上，你会看到一个双圆环（见图2-8），它上面显然有2个洞。至此，我们得出了结论：一根吸管上有1个洞，一条裤子上有2个洞。