第3章
物体在偏心的圆锥曲线上的运动

命题11 问题6

假设物体作椭圆运动，求指向椭圆中一个焦点的向心力定律。 （图A 3-1）

方法1. 假设点S为椭圆的一个焦点，作直线SP与椭圆直径DK相交于点E，且与纵距Qv相交于点x，作平行四边形QxPR，那么线段EP等于椭圆长半轴AC。因为过另一焦点H作直线HI平行于EC，且CS＝CH，得出ES＝EI，且EP等于PS与PI和的一半。因为HI与PR平行，角IPR和HPZ相等，因此得出，EP等于PS与PH和的一半，同时PS与PH的和等于长轴，即与2AC相等。

作QT和直线SP垂直，同时假设L是椭圆的通径 ，那么可以得出， ＝ ＝PE，或者 ＝ ，进而得出， ＝ 。由引理7的推论Ⅱ，当点P与Q重合时，Qv ² ＝Qx ² ，且 ＝ ＝ ＝ ＝ 。

把所有比值进行简化，并设定AC×L＝2CB2，可以得出， ＝ ＝ 。当点P和Q重合时，2PC＝Gv，因此 ＝1，所以L×QR＝QT ² 。假设等式两边同乘以 ，那么L×SP ² ＝ 。根据命题6的推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力和L×SP ² 成反比，就是说，它与物体到椭圆焦点的距离SP ² 成反比。

方法2. 假设物体P作椭圆运动，且受椭圆中心的力的作用，根据命题10的推论Ⅰ，这个力和物体到椭圆中心点C的距离CP成正比。作线段CE和椭圆的切线PR平行，且CE和经过椭圆任意点S的直线PS相交于E点，且物体P同时受点S的力作用，那么根据命题7的推论Ⅲ，可以得出这个力和 成正比。再假设点S是椭圆的焦点，且PE是常数，那么向心力与SP的平方成反比。

证明问题5时，我们延展到抛物线和双曲线，同理这个问题也可以做同样的延展。不过为了解决具体问题，且因为这个问题具有广泛的重要性和应用性，所以我将用特殊的方法来证明。

命题12 问题7

假设物体作双曲线运动，求指向该图形焦点的向心力定律。 （图A 3-2）

方法1. 假设直线CA、CB为双曲线的半轴，直线PG、KD为共轭直径，PF与直径KD垂直，且Qv是直径GP的纵距。作直线SP分别与DK、Qv相交于点E、x，作平行四边形QRPx，得出，EP等于半轴AC。取双曲线的另一焦点H，过它作直线HI与EC平行。又因为CS＝CH，因此得出ES＝EI，且EP等于PS和PI差值的一半。因为HI与PR平行，且角IPR和HPZ相等，所以PS和PH的差值等于长轴，即PS-PH＝2AC。

另作线段QT和直线SP垂直，同时假设L是双曲线的通径 ，可以得出， ＝ ＝ ＝ ＝ 。因为三角形Pxv和PEC相似，进而得出， ＝ 根据圆锥曲线的属性， ＝ 。另外根据引理7的推论Ⅱ，当点P与Q重合时，Qv ² ＝Qx ² ，因此得出， ＝ ＝ ，根据引理12也等于 。

把所有比值进行简化，并设定AC×L＝2CB ² ，可以得出， ＝ ＝ 。当点P和Q重合时，2PC＝Gv，因此 ＝1，所以L×QR＝QT ² 。假设等式两边同乘以 ，那么L×SP ² ＝ 。所以根据命题6的推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力与L×SP ² 成反比，就是说，它与物体到双曲线焦点的距离SP的平方成反比。

方法2. 假设物体P作双曲线运动，且受中心点C的力的作用，根据命题10中的推论Ⅰ，这个力和物体到双曲线中心点C的距离CP成正比。作线段CE和双曲线的切线PR平行，且CE和经过双曲线任意一点S的直线PS相交于E点，且物体P同时受点S的力作用，那么根据命题7中的推论Ⅲ，可以得出这个力和 成正比。再假设点S是双曲线的焦点，且PE是常数，那么这个力和SP ² 成反比。

同理，当物体所受的向心力变为离心力时，它将沿着共轭双曲线运动。

引理 13

抛物线任意顶点的通径都等于该顶点到图形焦点的4倍距离。

这个问题已经在圆锥曲线的内容中得到证明。

引理 14

经过抛物线焦点且与切线垂直的线段，是焦点到切点的距离与顶点到焦点的距离的比例中项。 （图A 3-3）

假设抛物线焦点为S，顶点为A，切点为P，直线PO是主直径的纵距，它与切线PM相交于点M，过焦点的线段SN与切线PM垂直，是焦点到切点的距离。连接AN，因为MS＝SP，MN＝NP，MA＝AO，且直线AN与OP平行，所以三角形SAN的角A0是直角，同时它和三角形SNM、SNP相似，且三角形SNM和SNP是相等的。因此可以得出，PS∶SN＝SN∶SA。

推论Ⅰ. PS ² ∶SN ² ＝SN∶SA

推论Ⅱ. SA是给定值，因此SN ² 与PS成正比。

推论Ⅲ. 直线PM为抛物线任意切线，若是与经过焦点且与切线的垂线SN相交，那么这个交点必定在过顶点的切线AN上。

命题13 问题8

假设物体做抛物线运动，求指向该图形焦点的向心力定律。 （图A 3-4）

运用引理14的图，假设物体P做抛物线运动，点Q是它的运动目的地。作直线QR与SP平行，QT与SP垂直，再作直线Qv与切线PM平行，且与PG、SP分别相交于点v、x。因为三角形Pxv、SPM相似，且后者的边SP和SM相等，所以前者的边Px或QR也等于Pv。不过，因为图形为圆锥曲线，根据引理13，纵距Qv的平方等于通径与直径的某小段所组成的矩形面积，即Qv ² ＝4PS×Pv （或QR） 。根据引理7的推论Ⅱ，当点P和Q重合时，Qx＝Qv，因此得出Qx ² ＝4PS×QR。又因为三角形QxT、SPN相似，根据引理14的推论Ⅰ，可以得出， ＝ ＝ ＝ 。根据欧几里得著作《几何原本》中第五卷的命题9得出，QT ² ＝4SA×QR，当两边同时乘以 ，可以得出 ＝SP ² ×4SA，根据命题6推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力和SP ² ×4SA成反比。因为4SA是给定值，所以向心力与SP的平方成反比。

推论Ⅰ. 任意物体P以任意速度沿着任意直线PR运动，受到向心力吸引，且向心力与从点P到中心的距离的平方成反比，那么物体沿着圆锥曲线运动，且曲线焦点和力的中心重合。反之亦然，因为曲线的焦点、切点和切线都是给定的，所以圆锥曲线和其切点的曲率也是给定的，同时曲率是由向心力和物体的运动速度决定。然而，即便向心力相同、速度相同，物体也不可能画出两条相切的图形。

推论Ⅱ. 假设物体在点P的速度给定，在无限小的时间内经过线段PR，同时向心力促使它在直线QR上运动，那么，物体则沿着圆锥曲线中的一种曲线做运动，其主通径等于线段PR、QR无限小的状态下QT ² 与QR的比值。

在这两个推论中，我把圆周归类于椭圆，并且排除了物体沿着直线运动到中心的这种可能性。

命题14 定理6

假设若干物体围绕一个公共中心运动，向心力与其到中心的距离的平方成反比，那么其轨道的主通径与同一时间内物体到中心的半径所经过的面积的平方成正比。 （图A 3-5）

根据命题13的推论Ⅱ，当点P和Q重合时，主通径L与QT ² 和QR的比值相等。但是线段QR在给定时间内与向心力成正比，又由假设条件可知，它又与SP ² 成反比，因此可以得出， 与QT ² ×SP ² 成正比，就是说主通径L与物体到中心的半径所经过的面积 （即QT×SP） 的平方成正比。

推论. 椭圆的面积与长轴所组成的矩形成正比，同时与通径的平方根与周期的乘积成正比。因为椭圆的面积与给定时间内物体所经过的面积（即QT×SP）和周期的乘积成正比。

命题15 定理7

假设条件与上述命题相同，那么椭圆的运动周期与长轴的二分之三次方成正比。

短轴是长轴和通径的比例中项，所以长轴和短轴的乘积等于通径的平方根和长轴的二分之三次方的乘积。根据命题14的推论，长轴和短轴的乘积与通径的平方根和周期的乘积成正比，当两边同时除以通径的平方根，那么可以得出，周期与长轴的二分之三次方成正比。

推论. 椭圆的运动周期和以长轴为直径的圆周的运动直径一样。

命题16 定理8

假设条件与上述命题相同，一条直线和椭圆相切，作线段经过公共焦点且与切线垂直，那么运动速度与所作线段成反比，与主通径的平方根成正比。 （图A 3-6）

经过焦点S作直线SY，与切线PR垂直，则物体P的运动速度与 的平方根成反比。因为速度与给定时间内经过的无穷小的弧长PQ成正比，那么根据引理7，速度也与切线PR成正比，且已知PR∶QT＝SP∶SY，因此得出速度与 、SP×QT成正比，与SY成反比。根据命题14，SP×QT是给定时间内物体经过的面积，因此速度与主通径的平方根成正比。

推论Ⅰ. 主通径与切线的垂线的平方和速度的平方的乘积成正比。

推论Ⅱ. 物体到公共焦点的最大距离或最小距离时的速度和距离成反比，与主通径的平方根成正比，因为垂线就是距离。

推论Ⅲ. 物体到公共焦点的最大距离或最小距离的速度与距离中心相等的半径的圆周运动的速度的比值，等于主通径的平方根和该距离的2倍的平方根的比值。

推论Ⅳ. 物体作椭圆运动，到公共焦点的平均距离的速度，与以相同距离做圆周运动的速度是相等的。根据命题4的推论Ⅵ，速度与距离的平方根成反比。因为此时焦点到切线的垂线就是短半轴，也是距离和主通径的比例中项。同时，短半轴的倒数与主通径比值的平方根的乘积，等于距离倒数的平方根。

推论Ⅴ. 不管是同一图形还是不同图形，如果主通径是相等的，那么物体的运动速度就与焦点到切线的垂线成反比。

推论Ⅵ. 物体作抛物线运动，速度与它到焦点的距离的平方根成反比，这个比值在椭圆中较大，在双曲线中较小。因为根据引理14的推论Ⅱ，过焦点且与切线垂直的线段与距离的平方根成正比。所以，该线段在椭圆中的变化比较大，在双曲线中的变化比较小。

推论Ⅶ. 物体作抛物线运动，它到焦点任意距离的速度，与其以相同距离为半径做圆周运动的速度的比值是 ∶1。这个比值在椭圆中会减小，在双曲线中会增大。根据本命题的推论Ⅱ，其速度不论在抛物线顶点还是在任意距离，比值都相等。因此，若是物体作抛物线运动，那么其任意速度都等于以相同距离的一半为半径做圆周运动的速度。同样，它在椭圆中较小，在双曲线中较大。

推论Ⅷ. 物体作圆锥曲线运动，根据推论Ⅴ，其速度与以主通径的一半为半径做圆周运动的速度的比值，等于距离与焦点到切线的垂线的比值。

推论Ⅸ. 根据命题4的推论Ⅵ，两个物体若是都做圆周运动，那么其速度的比值，与它们距离的比值的平方根成反比。同理，物体若是做圆锥曲线运动，那么速度与以相同距离为半径做圆周运动的速度的比值，等于公共距离和圆锥曲线主通径的一半的比例中项与公共焦点到切线的垂线的比值。

命题17 问题9

假设物体的向心力与它到中心距离的平方成反比，且力的绝对值已知，速度已知，求物体从给定位置沿着给定直线运动时经过的路径。 （图A 3-7）

假设物体P受点S的向心力吸引，围绕任意给定弧线Pq运动。物体P在点P的速度是已知的，且以这个速度沿直线PR运动，因为受向心力吸引它将偏离直线做曲线运动，即进入圆锥曲线PQ，如此，直线PR与曲线PQ相切，切点为点P。同理，假设直线Pr和曲线Pq相切，切点为点P，如果过点S的垂线在切线Pr上，那么根据命题16的推论Ⅰ，圆锥曲线的主通径与主通径的比值，等于垂线的平方的比值乘以速度的平方的比值。且这个值是给定值。

现在假设主通径为L，圆锥曲线焦点S给定，假设角RPH、RPS互为补角 （即两个角的和为180°） ，可以得知另一焦点所在直线PH的位置。作直线SK和PH垂直以及共轭半轴BC，可以得出，SP ² -2PH×PK+PH ² ＝SH ² ＝4CH ² ＝4BH ² -4BC ² ＝ （SP+PH） ² -L× （SP+PH） ＝Sp ² +2PS×PH+PH ² -L× （SP+PH） ，两边同时加上2PH×PK-SP ² -PH ² +L× （SP+PH） ，进一步得出，L× （SP+PH） ＝2PS×PH+2PK×PH， ＝ 。

现在PH的长度和位置都已知，那么点在P的速度使得通径L比2 （SP+KP） 小时，那么PH与直线SP位于切线PR的同侧，即图形为椭圆。假设焦点S、H已知，那么主轴SP+PH也是已知值。但是如果物体P的速度增大，通径L与2 （SP+KP） 相等，那么直线PH的长度也将无限增大，图形变为抛物线，且轴SH平行于直线PK，其位置是可以确定的。物体P的速度继续增大，使得直线PH处于切线的另一侧，且两焦点到切线的距离相等，那么图形变为双曲线，主轴等于SP-PH的值，且这个差值可以确定。

在这些情况中，如果物体所围绕的圆锥曲线是确定的，那么根据命题11、12、13，向心力与物体到力的中心距离的平方成反比，我们可以确定它以给定速度从给定位置P沿着给定直线PR运动的路径，即曲线PQ。

推论Ⅰ. 圆锥曲线的顶点D、通径L和焦点S是已知的，那么我们可以通过假设DH与DS的比值等于通径与通径和4DS的差值的比值来求出另一个焦点H的位置。

因为在本推论中， ＝ 可以变成 ＝ ，且 ＝ 。

推论Ⅱ. 如果物体在曲线顶点的速度是已知的，那么可以确定其运动路径。根据命题16的推论Ⅲ，假设通径与距离DS的两倍的比值，等于速度与物体以距离DS为半径做圆周运动的速度比值的平方，那么可以得出DH与DS的比值等于通径与通径和4DS差值的比值。

推论Ⅲ. 假设物体作任意圆锥曲线运动，且在任意推动力作用下偏离原路径，那么我们可以确定其新路径。因为把新旧运动进行复合，就可以得出在推动力作用下物体偏离指定点后的运动。

推论Ⅳ. 假设物体连续受某外力作用，可以得出在力的影响下其运动的变化，同理可以得出它在运动序列中的影响，估算出它在各个点持续产生的变化，从而推测出物体运动的近似路径。

附录

假设物体P沿着以点C为中心的任意圆锥做曲线运动，且受指向任意点R的向心力吸引，其运动符合向心力定律。作直线CG与半径RP平行，且与切线PG相交于点G，那么根据命题10的推论Ⅰ和附录以及命题7的推论Ⅲ，物体P所受的力等于 。 （图A 3-8）