第2章
向心力的确定

命题1 定理1

物体围绕某一固定点做圆周运动，且运动区域处于一个不动的平面上，那么运动区域与所用时间成正比。 （图A 2-1）

假设时间被分为相等的若干份，物体在第一时间段做惯性运动，经过的路径为直线AB。在第二时间段，如果没有任何阻力，根据定理1，它将沿直线Bc运动到点c，且Bc与AB相等。得出，以点S为中心，以AS、BS、cS为半径所构成的三角形ASB和BSc的面积相等。但是当物体到达点B时，若是受到向心力作用，那么它将偏离直线Bc，从而沿直线BC运动。同时，作直线Cc与BS平行，且与直线BC相交于点C，在第二时间段，物体将运动到点C。根据定理1，物体运动所构成的三角形ABC将与ASB处于同一平面。连接SC，因为直线SB与Cc平行，三角形SBC和SBc的面积相等，所以，三角形SBC面积和ASB也相等。

以此类推，在向心力作用下，物体向点C、D、E等运动，那么在相应时间段内其运动路径为直线CD、DE、EF等，且所有图形都处于同一平面。同时，可以得出三角形SCD和SDE、SEF的面积都与SBC相等。因此，在相等时间内，相等的图形都处于同一平面，根据命题1，这些图形的面积和，比如图形SADS、SAFS都分别与所用时间成正比。现在假设图形数量不断增加，宽度无限减小，那么根据引理3的推论Ⅳ，其最终边ADF将成为一条弧线，同时在向心力作用下，物体会不断偏离相应的切线。因此得出，物体运动时任意时间段走过的路径所构成的图形SADS的面积都与其所用时间成正比。

推论Ⅰ. 不计空气阻力，假设物体被某一固定不动的中心吸引，那么其速度与从中心到切线的垂线的长度成反比。物体在点A、B、C、D、E的速度等于全等三角形的底边AB、BC、CD、DE、EF，而这些底边分别与其经中心点的垂线长度成反比。

推论Ⅱ. 不计空气阻力，假设物体在相等时间内先后经过弧弦AB、BC，作平行四边形ABCV。那么，当弧线趋于无穷小时，平行四边形的对角线BV将无限向两边延长，且必定经过中心点S。

推论Ⅲ. 不计空气阻力，假设物体在相等时间内先后经过弧弦AB、BC、DE和EF，分别作平行四边形ABCV和DEFZ，那么当弧线趋于无穷小时，力在点B和E的比值等于对角线BV和EZ的最终比值。根据本定理的推论Ⅰ，物体沿着弧弦BC、EF运动，就是分别沿着Bc、BV和Ff、EZ运动的和。同时，BV＝Cc，EZ＝Ff，且它们在点B、E受向心力作用，因此它们和向心力成正比。

推论Ⅳ. 不计空气阻力，假设物体偏离直线而做曲线运动，那么这个力与相等时间内所经过的弧线的矢（即弧弦的半径）成正比。当弧线趋于无限小时，矢在向心力的作用下会把对应的弦平分为两部分。因为矢的长度等于对角线的一半。

推论Ⅴ. 这个力与吸引力的比，与上述提到的矢与垂直于地面的抛物线的矢的比值相等。且这个物体在相等时间内所经过的路径等于这些抛物线的轨迹。

推论Ⅵ. 根据上述推论，当物体在平面上运动，不管中心的向心力静止还是处于匀速直线运动状态，上述结论都成立。

命题2 定理2

物体在同一平面做任意曲线运动，通过半径被某一点吸引，不管这个点静止还是做匀速直线运动，其半径所构成的面积都与所用时间成正比，且该物体受这个点的向心力作用。 （图A 2-2）

情形1. 根据定律1，物体做曲线运动时，不管任何时候都受到施加在自身的力的影响，从而偏离直线运动。而在相等时间内，这个力将让物体经过最小的且相等的三角形SAB、SBC和SCD等。根据欧几里得《几何原本》第一卷中命题40和定律2，这个力受固定不动的点S吸引，在点B，其方向和直线cC平行，由点B指向点S；在点C，方向与直线dD平行，由点C指向点S。以此类推。所以，这个力始终都指向点S，且作用在经过点S的直线上。

情形2. 根据定律中的推论Ⅴ，不管物体所在曲线平面静止还是与物体一起运动，其结论都一样。因为物体所在的图形和中心点S始终都处于匀速直线运动状态。

推论Ⅰ. 在无阻力的空间或介质中，假设面积和时间不成正比，那么这个力就不会指向半径经过的点。假设物体作加速运动，那么这个力的方向会和物体运动的方向成锐角，反之，则与物体运动的方向成钝角。

推论Ⅱ. 在有阻力的空间或介质中，假设物体作加速运动，那么这个力会偏离物体运动的方向，而不会指向固定不变的点S。

附录

物体所受向心力可能由多个力复合而成，在这种情况下，这个命题中指向点S的力就是所有力的合力。但是如果某个力的方向和物体经过的表面相垂直，那么它会使物体偏离原来的平面。但是，这个力经过的平面面积是不变的，所以我们可以对它忽略不计。

命题3 定理3

任何围绕某半径运动的物体，其运动方向指向另一个物体的运动中心，经过的面积和时间成正比，同时该物体也受到另一物体向心力与其所有加速力的合力的作用。

假设有两物体L、T，根据定律的推论Ⅵ，如果两物体在平行方向受一个新力作用，且这个力与物体T受的力相等，但方向相反，那么物体L仍围绕物体T运动，且经过的面积与之前相等。但是物体T受到的力被相等且相反的力抵消，所以根据定律1，物体T保持静止或匀速直线运动状态。同时，物体L受到的力是两个力的差值，它继续围绕物体T运动，经过的面积与时间成正比。因此，根据定理2，剩余的力也是指向物体T。

推论Ⅰ. 假设物体L受物体T的吸引并以固定半径运动，它经过的面积与时间成正比，那么，根据推论Ⅱ，物体L受到的力不论是单一的力还是几个力的合力，减去物体T受的全部加速力，剩余的力都会把物体L推向物体T，即物体T将作为物体L作环绕运动的中心点。

推论Ⅱ. 假设物体L经过的面积与时间的比值接近正比，那么剩余的力也指向物体T。

推论Ⅲ. 假设剩余的力接近指向物体T，那么物体L经过的面积和时间的比值也接近正比。

推论Ⅳ. 假设物体L围绕半径运动且被物体T吸引，但其经过面积与时间的比值是不相等的，且物体T处于静止或匀速直线运动状态，那么指向物体T的向心力或消失，或受到其他力的干扰，或与其他力复合。因为其他力更强大，所以这些力的方向发生改变，指向另一个静止或运动的中心。当物体T的向心力被另一个力取代，那么作用于它身上的新力会促使它作任意运动。但是，我们可以得到相同的结论，即物体L受的向心力是减去物体T受的力的剩余力。

附录

如果物体运动时经过的面积相等，意味着物体围绕某一个中心运动，且受向心力吸引。向心力使得物体不断偏离直线运动，且保持在一个运动轨道上。那么，在之后的讨论中，我们就可以把物体围绕中心运动且经过相同面积作为证明这些运动是在自由空间运动的标志。

命题4 定理4

若干物体围绕不同的圆周做匀速运动，其向心力指向圆周的中心，那么向心力分别与相等时间内经过的弧长的平方除以圆周半径的值成正比。

根据命题1的推论Ⅱ和命题2，这些力指向圆周的中心，其比值等于在极短且相等时间内经过的弧线的矢 （即弧长的平方除以圆周的直径） 的比值。而这些弧线的比值和任意相等时间内物体经过的弧线的比值相等，圆周直径的比值和半径的比值相等。因此，向心力与相等时间内经过的任意弧长的平方除以圆周半径的值成正比。

推论Ⅰ. 因为弧长和运动速度成正比，所以向心力与速度的平方成正比，且与半径成正比。

推论Ⅱ. 因为物体运动的周期与半径成正比，与速度成反比，所以向心力与半径成正比，与周期的平方成反比。

推论Ⅲ. 如果物体运动的周期相等，那么速度与半径成正比，向心力也与半径成正比。反之亦然。

推论Ⅳ. 如果物体运动的周期和速度都与半径的平方根成正比，那么向心力相等。反之亦然。

推论Ⅴ. 如果物体运动的周期和半径成正比，那么速度相等，且向心力与半径成反比。反之亦然。

推论Ⅵ. 如果物体运动的周期与半径的 次方成正比，那么速度、向心力与半径的平方根成反比。反之亦然。

推论Ⅶ. 以此类推。如果物体运动的周期与半径的任意N次方成正比，那么速度和半径的（N-1）次方成反比，向心力和半径的（2N-1）次方成反比。反之亦然。

推论Ⅷ. 物体运动时经过任意相似图形的相似部分，且这些图形都处于相似位置，有各自的中心，那么想要证明任何时间、速度、力都满足以上结论，只要运用之前的实例就可以了。这种计算并不难，只要用相等面积代替相等运动、用物体到中心的距离代替半径就可以了。

推论Ⅸ. 同理，物体在已知向心力作用下作圆周匀速运动，那么在任意时间内，它经过的弧长等于圆周直径与其在相同时间内受相同力作用下的所经距离的等比中项（即A∶B＝B∶C则B为A、C的等比中项）。

附录

在天体运动中，克里斯托弗·雷恩爵士、胡克博士和哈雷博士等人都分别发现了推论Ⅵ的理论，所以，之后我将对向心力随着物体到中心距离变化而变化的问题进行系统详细的论述。

同时，根据命题3和推论，我们知道向心力和任意已知力的比值。假设一个物体受重力作用，且以地球为中心做圆周运动，那么重力就是该物体的向心力。根据推论Ⅸ，物体下落时环绕圆周运动一周的时间，以及在任意时间内经过的弧长都是已知的。惠更斯先生在其著作《论摆钟》中，就对重力和做圆周运动的物体所受向心力进行了比较和分析。

因此，我们可以运用以下方法来证明命题3：在任意圆周内做任意的内切多边形，假设物体以给定速度沿多边形运动，在多边形的顶角受到圆周的影响而反弹，那么每次反弹时作用于圆周的力和运动速度成正比。也就是说，在给定时间内，这些力的总和与速度和反弹次数的乘积成正比。假设多边形是给定的，那么它与给定时间内经过的路径成正比，同时随着路径与圆周半径的比值而增大或减少。即多边形与物体所经路径的平方除以圆周半径成正比。所以当多边形的边长无限减小时，它将趋于和圆周重合。此时，它和给定时间内经过的弧长除以圆周半径成正比，即物体施加在圆周上的力。因为反作用力和作用力相等，所以圆周不断把物体推向中心。

命题5 问题1

物体受一个指向公共中心的力作用，同时以给定速度画出一个给定图形，求出这个公共中心。 （图A 2-3）

经过点T、V作直线PT、TQV、VR，它们与已知图形相切于点P、Q、R。经过切线上的点P、Q、R作直线PA、QB、RC分别与其切线垂直，同时其长度与物体在各点的速度成反比，然后通过各垂线向外延展。那么，PA与QB的比值等于物体在点Q、P的速度的比值，而QB与RC的比值等于物体在点R、Q的速度的比值。通过垂线的顶点A、B、C作直线AD、DBE、EC，使其分别与这些垂线垂直，且相交于点D、E；再作直线TD、VE，延长并相交于点S，则点S就是所求公共中心。

根据命题1的推论Ⅰ，垂线由中心下落到切线PT、QT上，且与物体在点P和Q的速度成反比，所以与垂线AP、BQ成正比，即与经过点D与切线垂直的线段成正比。由此可以得出，点S、D、T处于同一条直线上，点S、E、V也处于同一条直线上。即公共中心点S就是直线TD、VE的延长线的相交处。

命题6 定理5

不计空气阻力，物体围绕一个静止的中心做环绕运动，在最短时间内经过一个任意短的弧线，假设该弧线的矢平分经过力的中心的弦，那么弧线中间的向心力与矢成正比，与所用时间的平方成反比。 （图A 2-4）

根据命题1的推论Ⅳ，在给定时间内弧线的矢和向心力成正比，同时弧长会随着时间的增加以固定值而增大，根据引理11的推论Ⅱ、推论Ⅲ，矢也相应地增大。因此，矢与力、时间的平方成正比。如果两边同时除以时间的平方，那么力与矢成正比，和时间的平方成反比。

同时，运用引理10的推论Ⅳ也可以证明这个定理。

推论Ⅰ. 假设物体P围绕中心点S运动，路径为曲线APQ。直线ZPR与该曲线相切，切点为点P。取曲线任意点Q，作直线QR与SP平行，且与切线ZPR相交于点R。再作直线QT与SP垂直，假设点P和点Q重合，那么向心力将与SP的平方和QT的平方的乘积除以QR成反比。因为点P是弧线APQ的中间点，QR等于弧线QP两倍的矢，同时，三角形SQP的两倍或SP和QT的乘积与经过两倍弧长的所用时间成正比，所以时间等于两倍弧长。

推论Ⅱ. 假设垂线SY从力的中心延伸，与切线PR的垂线相交，那么向心力和 成反比。这是因为在矩形中SY和QP的乘积等于SP和QT的乘积。

推论Ⅲ. 假设物体做圆周运动，或与一个同心圆相切或相交，那么轨道在相切或相交处有极小接触角度的圆，且点P的曲率和曲率半径与它是相等的。同时，经过力的中心作弦PV，那么向心力和SY的平方与PV的乘积成反比。这是因为PV等于QP的平方除以QR的值。

推论Ⅳ. 与推论Ⅲ做相同假设，那么向心力与速度的平方成正比，和弦成反比。根据命题1的推论Ⅰ，得出速度与垂线SY成反比。

推论Ⅴ. 假设任意曲线图形APQ给定，向心力指向的中心点S也给定，那么可以推出向心力定律，即物体P不断偏离直线运动，且运动轨迹与图形相同。通过计算可知， 或SY ² ×PV与向心力成反比。

下面我们将证明向心力定律。

命题7 问题2

假设物体做圆周运动，求指向任意给定点的向心力定律。 （图A 2-5）

方法1. 假设圆周VQPA已知，点S是力指向的给定中心点。物体P沿着VQPA做圆周运动，点Q是该物体的目的地。直线PRZ是其切线，点P是切点；过点S作弦PV和圆周的直径VA，连接AP；再作直线QT与SP垂直，两者相交于点T；延长QT，与切线PR相交于点Z；再通过点Q作直线LR与SP平行，且分别与圆周、切线PZ相交于点L、R。因为三角形ZQR、ZTP、VPA相似，RP ² 和QT ² 的比值与AV ² 和PV ² 的比值相等，且PR ² 等于RL和QR的乘积，因此，QT ² 等于RL和QR和PV ² 再除以AV ² 。如果两边都乘以SP ² 除以QR的值，当点P和点Q重合时，RL等于PV，那么可以得出： ＝ 。

因此，根据命题6的推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力和 成反比，因为AV2是已知的，所以向心力和SP ² ×PV ² （物体运动距离或下落高度的平方及弦PV的三次方的乘积） 成反比。

方法2. （图A 2-6） 过中心点S作直线SY，与切线PR垂直，因为三角形SYP和VPA相似，所以AV∶PV＝SP∶SY。进而得出，SY＝ ， ＝SY ² ×PV。根据命题6的推论Ⅲ和推论Ⅴ，向心力与 成反比，而AV是已知的，所以向心力和SP ² ×PV ³ 成反比。

推论Ⅰ. 假设向心力持续指向给定的中心点S，假设点S处于圆周上，且与点V重合，那么向心力将与SP ⁵ 成正比。

推论Ⅱ. 物体P沿圆周APTV运动，且受指向中心点S的向心力作用，同时物体P沿着同一圆周以相同周期围绕任意力的中心点R运动，且受到点R的向心力作用，前者与后者的比值等于RP ² ×SP和直线SG ³ 的比值。通过中心点S作线段SG，与经过中心点R的直线RP平行，且SG与圆周的切线PG相交于点G。根据本命题，三角形PSG、TPV相似，所以前一个力和后一个力的比值等于 ，同时等于SP×RP ² 与 比值，或等于SP×RP ² 与SG ³ 的比值。

推论Ⅲ. 物体P作任意圆周运动，且受中心点S的力作用，同时物体P沿着同一圆周以相同周期围绕任意力的中心点R运动，且受到点R的力作用，其比值等于SP×RP ² 与直线SG ³ 的比值。SG经过中心点S，和过中心点R的直线PR平行，且和圆周的切线PG相交于点G。因为物体在任意点P所受的力与它在相同曲率的圆周上所受的力相等。

命题8 问题3

物体沿半圆PQA运动，假设点S趋于无限远，以至于可以把指向该点的直线PS、RS看成是相互平行的，求指向中心点S的向心力定律。 （图A 2-7）

点C是半圆的中心点，过点C作圆的半径CA，与直线PS、RS分别相交于点M、N，然后连接CP。因为三角形CPM、PZT、RZQ相似，得出，CP ² ∶PM ² ＝PR ² ∶QT ² ，根据圆的属性，PR ² ＝QR× （ ） ，当点P和Q重合时，PR ² ＝QR×2PM，因此得出，CP ² ∶PM ² ＝ ，且 ＝ ， ＝ 。根据命题6的推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力和 成反比，即假设给定的2SP ² 与CP ² 的比值是固定值，所以向心力和PM ³ 成反比。

同时，根据命题7也可以得出相同的结论。

附录

同理，当物体作椭圆、曲线或抛物线运动，这个定理也同样适用。即物体所受的向心力也和它从轨道到无限远的中心点的距离的三次方成反比。

命题9 问题4

假设物体沿着螺旋线PQS运动，且以给定角与所有半径如SP、SQ等相交，求指向该螺旋线中心点的向心力定律。 （图A 2-8）

方法1. 假设任意小的角PSQ已知，相交角也已知，所以图形SPRQT也已知。因此，QT和QR的比值也是已知的，得出 与QT成正比，即QT与SP成正比。但是如果角PSQ增大或减小，那么根据引理11，与角QPR对应的直线QR也会随之增大或减小，即与PR或QT ² 的变化成正比。因此， 的比值保持不变，与SP成正比，得出 与SP ³ 成正比。因此，根据命题6的推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力与物体到中心点的距离SP ³ 成反比。

方法2. 经过中心点S作直线SY，且与切线PR垂直并相交于点Y，再作与螺旋线同心圆的弦PV，与螺旋线相交于点P，且弦PV与SP的比值是给定值，因此得出，SP ³ 与SY ² ×PV成正比。根据命题6的推论Ⅲ和推论Ⅴ，得出与向心力SP ³ 成反比。

引理12

作给定椭圆或双曲线的任意共ⅥⅣ轭直径，那么所有以它为边的平行四边形都是相等的。

这个引理在之前关于圆锥曲线的内容中已经证明。

命题10 问题5

假设物体作椭圆运动，求指向该椭圆中心点的向心力定律。 （图A 2-9）

方法1. 假设CA、CB是椭圆的半轴，GP、DK是椭圆的共轭直径，直线PF垂直于GP、QT垂直于DK，且Qv是点Q到直径GP的距离。作平行四边形QvPR，根据椭圆的属性， 和 是相等的。因为三角形QvT、PCF相似，得出 ＝ ，又根据矩形的属性， ＝ × ，因此得出，vG与 的比值等于PC ² 与 的比值。因为QR＝Pv，根据引理12，BC×CA＝CD×PF，当点P和Q重合时，2PC＝vG，又因为外项的乘积等于内项的乘积，所以得出， ＝ ，因此根据命题6的推论Ⅴ，向心力与 成反比。因为2BC ² ×CA ² 的值给定，所以向心力和PC的倒数成反比，即与PC成正比。

方法2. 直线PG经过椭圆中心点C，且GP、DK是椭圆共轭直径，在直线PG取另一点u，且Tu＝Tv，再取uv，使得 ＝ 。根据椭圆的属性， 和 相等，因此得出，Qv ² ＝Pv×uV，两边同时加上Pu×Pv，那么PQ ² 将与PV×Pv相等。因此与圆锥曲线相切于点P并过点Q的圆周，同时也经过点V。假设点P和Q重合，那么 ＝ ＝ ，或 ＝ ，就是说，PV＝ 。因此根据命题6的推论Ⅲ，向心力与 成反比，因为2CD ² ×PF ² 是给定值，所以向心力与PC的倒数成反比，即PC成正比。

推论Ⅰ. 向心力与物体到椭圆中心点的距离成正比，反之，当向心力和这个距离成正比时，物体围绕椭圆中心点做椭圆运动，或围绕与椭圆相似的圆周做曲线运动。

推论Ⅱ. 物体围绕若干椭圆运动，若是椭圆有一个公共中心，那么其运动周期相等，因为根据命题4的推论Ⅲ和推论Ⅶ，它们在相似图形中的运动时间相等。然而若干椭圆有共同的长轴，运动时间的比值与椭圆面积的比值成反比，也和相等时间经过的面积成反比。就是说，运动时间和短轴成正比，和它在长轴最高点的运动速度成反比。同时，前者的比值和后者的比值相等。

附录

假设椭圆的中心点移到无穷远，物体则沿着抛物线运动，那么根据伽利略定理，向心力是一个常数，且指向无穷远的中心点。假设圆锥的抛物曲线因为截面的角度改变，则物体做双曲线运动，向心力变为离心力。与圆周和椭圆的方法类似，假设向心力指向横坐标中任意图形的中心点，且随着纵距而增大或减小，或是任意改变纵距和横距的角度，如果运动周期不变，那么向心力也随着其到中心点距离的比值而增大或减小。同理，在任意种类的图形中，如果纵坐标以给定值任意增大或减小，或是横坐标和纵坐标的角度改变，而运动周期不变，那么横坐标上任意指向中心点的力随着其到中心点距离的比值的变化而变化。 x5VsUEKHifTUX3Jd5nB0D8ZcTN1dey+mVsgrHxiHYqYkjUeWPe33hlqtfFlqS6Ag