第6章
怎样求已知轨道上物体的运动

命题30 问题22

求在任意指定时刻，运动物体在抛物线轨道上所处的位置。 （图A 6-1）

假设抛物线的焦点为点S，顶点为点A，取AS的中点点G，过点G，作垂直于AS的线段GH，且GH＝3M。以点H为圆心、HS为半径作一个圆，这个圆与抛物线相交于点P。设被直线PS分割的抛物线部分的面积APS等于4AS×M，APS既可以表示物体在离开顶点后、以半径PS所划过的面积，也可以表示为物体在到达点P之前划过的部分。且这块截取部分的面积大小与时间成正比。过点P作横轴的垂线PO，连接点P和点H，作直线PH。如图所示，有以下等式成立：

AG ² +GH ² ＝HP ² ，而HP ² ＝ （AO-AG） ² + （PO-GH） ² ＝AO ² +PO ² -2AO×AG-2PO×GH+AG ² +GH ² ，所以，AG ² +GH ² ＝AO ² +PO ² -2A0×AG-2PO×GH+AG ² +GH ² ，由此可得，2GH×PO＝AO ² +PO ² -2AO×AG＝AO ² + PO ² ，因为AO ² ＝ ，以上等式可变为：2GH×PO＝ + PO ² 。等式两边都除以3PO，再乘以2AS，可得， GH×AS＝ + ＝ ×PO＝APO面积-SPO面积＝APS面积。由于GH＝3M，所以 GH×AS＝4AS×M，进而得出，APS面积＝4AS×M。

推论Ⅰ. 物体经过弧AP所需的时间与物体从顶点A到过焦点S的主轴垂直线之间的一段弧所需的时间之比，等于GH与AS之间的比值。

推论Ⅱ. 假设圆周ASP连续经过运动物体P，设物体在点H处的运动速度为V _H ，在顶点A处的运动速度为V _A ，则 ＝ 。则在相同时间内，线段GH与从点A到点P所经过的直线路径之比为 。

推论Ⅲ. 连接AP，过线段AP的中点作它的垂线，垂线与直线GH相交于点H，通过这种方法，可以求得物体经过任意指定弧AP所需的时间。

引理28

通过有限项次和有限元的方程，是不可能求出被任意直线切割的椭圆形面积的。

如果在椭圆内任意指定一点，并作一条以该点为极点的直线，直线绕极点做连续匀速的圆周运动；在直线上，从极点出发，有一个可动点不断向极点外的方向移动，且移动速度为该直线在椭圆内部分线段长度的平方。从整个运动过程来看，该可动点的运动轨迹为无限旋转的螺旋线，该螺旋线的转数无极限。如果通过有限项次和有限元的方程，能求出直线所切割的椭圆形面积，那么用该方程，也能求出可动点与极点之间的距离，并且该距离与直线所切割的椭圆形面积成正比。不仅如此，可动点的运动轨迹螺旋线也能用有限方程求出，而且通过有限方程还能求出指定直线与螺旋线的交点。

然而，如果两条线的交点能通过方程求出，那么一定是方程有几元或者说几个根，两条线就有多少个交点，而且交点的个数也对应方程的次数。比如，两个圆周相交，有两个交点，这两个交点就可以通过二次方程求出来；两条圆锥曲线相交，有四个交点，则四个交点可以通过四次方程求出来；一条圆锥曲线与三次曲线的交点最多能有六个，那么这六个交点可以通过六次方程求出来；两条三次曲线相交的交点最多能有九个，一定得是通过九次方程才能求出所有交点。所以，无论如何，有限次方程的解一定会包括所有交点。否则，所有立体问题都能简化为平面问题，而所有维数高于立体的问题，都能简化为立体问题。但是，在这里研究的曲线方程的幂次无法降低，因为对于一条曲线来说，方程的幂次表明曲线的走向，如果方程的幂次降低了，曲线就会失去本身的完整性，变为两条或多条曲线的组合，而这些曲线之间的交点可以由不同的计算分别求出。

同理，直线与圆锥曲线相交的两个交点可以由二次方程求出，直线与三次曲线相交的三个交点可以通过三次方程求出，直线与四次曲线相交的四个交点可以通过四次方程求出，以此类推，可以推广到无限。

在所有定律和所有条件都相同的情况下，螺旋曲线只是简单曲线，无法简化成多条曲线的组合，所以一条无限延伸的直线与螺旋线会有无数个交点，这就需要无限次数和无限根数的方程来表示。

过极点作直线的垂线，垂线和直线均绕极点旋转，那么直线与螺旋线的交点会相互转变，也就是说，在第一次旋转之后，第一个交点或者最近的交点会变为第二个；在第二次旋转之后，第二个交点会变成第三个……以此类推。而当螺旋线的交点发生改变时，方程不会变化，因为方程能决定直线与螺旋线相交交点的位置。所以，在每次转动之后，这些量会恢复初始数值，方程也会恢复为初始形式，而且一个方程的所有根要能包括所有交点。所以，靠有限方程，是不可能求出直线与螺旋线的交点的。也进一步说明，通过有限方程，被任意直线切割的椭圆形面积也是不可能求出来的。

同理可得，如果螺旋线的可动点与极点之间的距离与直线切割椭圆在椭圆形内的线段长度成正比，那么此线段长度也不能用有限方程表示。这里提到的椭圆形并不切于向外无限延伸的共轭图形。

推论. 通过给定时间内的有限方程，或几何有理曲线，都不可能求出以焦点到运动物体的半径所做的椭圆形面积。这里有个前提，就是提到的曲线都是几何有理曲线，因为上述的点都可以用以长度为未知量的方程求出来，也就是说，长度的复合比值是确定的。与几何有理曲线相对的是几何无理曲线，比如螺旋线、割圆曲线、摆线等。几何无理曲线的长度计算有的是整数之间的比，有的不是（欧几里得《几何原本》卷十），计算方式为有理方程或无理方程。在之后的内容中，将用几何无理曲线分割法来分割椭圆形面积，分割面积与给定时间成正比。

命题31 问题23

找出运动物体在指定时间、指定椭圆轨道上运动时所处的位置。 （图A 6-2）

做一个椭圆APS，点A为椭圆的主要顶点，点S为椭圆的焦点，椭圆的中心为点O，所求的物体位置为点P。延长OA到点G，使得 ＝ 。过点G作直线GH垂直于OA所在的长轴，以点O为圆心、OG为半径作圆GEF。假设圆周GEF沿着底边GH，绕它的轴向前滚动，由点A做出摆线ALI。GK与圆周GEF的周长GEFG之间的比值，等于物体从点A滚动出弧AP所需的时间与绕椭圆旋转一周所需的时间之比。过点K作直线KL垂直于GH，直线KL与摆线ALI相交于点L，过点L作直线KG的平行线LP，直线LP与椭圆相交于点P，而点P就是所求物体的位置。

证明：以点O为圆心、OA为半径，作半圆AQB，直线LP与半圆AQB相交于点Q，连接SQ、OQ。延长OQ，使其与圆GEF相交于点F，从点S出发作SR垂直于OQ。面积APS与面积AQS成正比，而面积AQS等于扇形OQA的面积S _OQA 减去△OQS的面积S _OQS ，而S _OQA -S _OQS ＝ OQ×AQ- OQ×SR＝ OQ （AQ-SR） ，因为OQ＝OA，是指定值，所以，面积APS与AQ-SR成正比。又因为 ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ，可得，面积APS与GF-孤AQ成正比。

附录

近似求解法是做出曲线最好的方法 （图A 6-3） 。首先，半径对应角大小为57.2978º，取一定角B，使得 ＝ ，如图所示，SH为椭圆焦距，AB为椭圆直径。然后，确定一个长度L，使得 ＝ ＝ 。接下来，将用下面的分析方法来解决问题：

首先，假设场所P接近物体的真实场所P，以椭圆的主轴为横轴，过点P，作纵标线PR，由椭圆直径的比例 ，可以求出纵标线在同样以AB为直径的外切圆AQB内的部分RQ。以点A为圆心、AO为半径作圆，与椭圆相交于点P，如此，纵标线就是∠AOQ的正弦。假设这里要求的角为∠N，如果∠N只是通过近似求解法求得，那么它的大小只要能与真实值靠近就可以了。假设∠N的大小与时间长短成正比，它与四个直角的比，等于物体从点A经过弧AP所需的时间与绕椭圆旋转一周所需的时间之比。再取一角∠D，使得 ＝ ；另取一角∠E，使得 ＝ ；再取一角∠F，使得 ＝ ；取一角∠G， ＝ ；再取一角∠H，使得 ＝ ；再取角∠I， ＝ ，由此可以推广到无极限。最后，取角∠AOq，使得∠AOq＝∠AOQ+∠E+∠G+∠I+…∠AOq的正弦为qr，余弦为Or，纵坐标为pr，则有 ＝ ，这样可以求出物体的准确场所p。

当∠N-∠AOQ+∠D﹤0时，∠E前面的加号应变为减号，减号要改为加号。同理，当∠N-∠AOQ-∠E+∠F﹤0，∠N-∠AOQ-∠E-∠G+∠H﹤0时，∠G和∠I前面的加号和减号都要做相应互换。但是，无穷级数∠AOQ+∠E+∠G+∠H+∠I+…，它的收敛速度很快，一般都不用计算到第二项∠E。根据这个定理，面积APS等于弧AQ减去过焦点S、与半径OQ垂直的直线。 （图A 6-4）

用类似的方法也能解决双曲线中的相似问题。如图所示，点O为双曲线的中心，点A为其顶点，点S为其焦点，直线OK为其渐近线。假设双曲线被直线分割的面积是已知量，所要求的角为∠A，∠A的大小与时间成正比，直线SP的位置与分割面积APS接近。连接OP，经过点A作一条渐近线的平行线AI，直线AI与另一条渐近线相交于点I，经过点P作一条渐近线的平行线PK，直线PK与另一条渐近线相交于点K。由对数表可得，可以确定图形AIKP的面积，并且可以确定面积OPA＝面积AIKP，面积OPA＝面积OPS-面积APS。PQ＝ ，其中SN为过焦点S与切线TP相互垂直的直线。如果面积A-面积APS﹤0，那么弦PQ内接于点A与点P之间，相反地，则PQ延伸向点P的相反一侧，表示物体更准确的场所就是点Q。如果连续重复计算，得出的精度会更高。 （图A 6-5）

通过上述计算方法，可以得出解决这类问题的一种普通分析方法。而特殊的计算方法则更适用于天文学。

如图所示，OA、OB和OD都是椭圆的半轴，椭圆的直径为L，OA＝OB＝ L，D＝OD- L。取一角∠Y，使得 ＝ 。再取一角∠Z，使得 ＝ 。∠Y和∠Z确定后，就能确定物体的场所。再取∠T，使其大小与物体划出弧BP所需的时间成正比，相当于平均运动。取∠V，∠V为平均运动的第一均差，∠Y为最大均差角，使得 ＝ 。∠Z为第二大均差角，再取第二均差角∠X，使得 ＝ 。取∠BHP为平均运动角，如果∠T为锐角，使得∠BHP＝∠T+∠V+∠X；如果∠T为钝角，使得∠BHP＝∠T+∠X-∠V；如果直线HP与椭圆相交于点P，连接SP，则直线SP所分割的面积BSP与时间成正比。

用这种方法用起来非常方便，因为∠V和∠X都很小，通常情况下，只需要求到∠V和∠X第一数字的前两位就可以。类似地，行星运动的问题也可以用这种方法来解答。因为即使是火星在轨道上的运动，它的误差通常也不会大于一秒。所以，在确定平均运动角∠BHP之后，通过这种方法还可以求出真实运动角∠BSP和距离SP。

在这里，探究的问题都是基于物体在曲线上的运动，即使在现实生活中，运动物体沿直线上下的问题也是存在的，下面的内容将继续研究这类运动的有关问题。 d+J1XRAjTIB29zGLaHfRq1Fznyr3ZtVFEwMkw/sjmMIgJHv3dXj0vg4PFcv5fA9V