第5章
由未知焦点示曲线轨道

引理17

已知圆锥曲线上任意一点P，在圆锥曲线上取四点作给定角度的任意四边形ABDC，从P点出发，向四边形的四条边AB、CD、AC、DB所在直线分别作PQ、PR、PS、PT四条直线，则PQ×PR与PS×PT的比值是给定数值。

情形1. 假设从P两条对边的直线与另外两条对边的其中一条是平行关系，例如PR、RQ平行于AC，PS、PT平行于AB，设两条对边也平行，比如AC平行于BD （图A 5-1） 。如果一条圆锥曲线的直径穿过平行边线段的中点，即平分两条平行对边的线段AC和BD，那么这条直径也平分RQ。设RQ的中点为O，则PO是直径上的纵标线。将PO延长，与圆锥曲线相交于点K，PO＝OK，则OK是直径另一侧的纵标线。

因为A、B、P、K都是圆锥曲线上的点，所以PK以指定角度和AB相交。由《圆锥曲线》卷三中的相关命题可得，PQ×QK比AQ×QB的值为指定值。因为PO＝OK，且RO＝OQ，所以PO-RO＝OK-OQ，即QK＝PR，所以PQ×QK＝PQ×PR。由此可得，PQ×PR与AQ×QB的比值为指定值，而PS＝AQ且PT＝QB，可得PQ＝PR与PS×PT的比值为指定值。

情形2. 假设对边AC和BD不平行 （图A 5-2） ，作与边AC平行的直线，该直线与直线ST相交于点t，与圆锥曲线相交与点d。连接点d和点C，直线Cd和直线PQ相交于点r，从D点出发，作平行于边AC的直线，与Cd相交于点M，与AB相交于点N。由△BTt相似于△DBN，可得 ＝ ，又Bt＝PQ，得 ＝ ， ＝ ＝ 。进而可得出 ＝ 。根据情形1，已知 ＝ 。又由分比性质可得， ＝ 。

情形3. 假设PQ、PR、PS、PT四条直线任意相交于P点，且与四边形的两边AC、AB不平行。从P点出发作边AC的平行线Pq，且与CD相交于r。过P点作边AB的平行线，该直线与四边形的对边AC和BD分别相交于s点和t点，即得Ps、Pt平行于AB。△PQq、△PRr、△PSs和△PTt的角均为给定角，则 、 、 、 也为给定值，所以复合比值 、 也是给定值。而 是已知数，所以 也是已知数。 （图A 5-3）

引理18

在圆锥曲线上取四点作给定角度的任意四边形ABDC，从四边形外的P点出发，向四边形的四条边AB、CD、AC、DB所在直线分别作PQ、PR、PS、PT四条直线。如果PQ×PR与PS×PT的比值是固定的，那么点P就在四边形所在的圆锥曲线上。 （图A 5-4）

设P为任意点的集合，如果得出其中一点p在圆锥曲线上，就可以得出，点P在圆锥曲线上。下面采取反证法，先否定这一论述，连接A、P两点，得直线AP。假设直线AP与圆锥曲线相交于点P以外的任意一点b。从点p出发，以给定角度向四边形ABDC的四条边AB、CD、AC、DB作四条直线pq、pr、ps和pt。从点b出发，同样得出四条直线bk、bn、bf和bd。由引理17可得， ＝ 。根据假设的条件，又可以得出 ＝ ＝ 。

由四边形Dnbd与四边形PQAS是相似关系，可得 ＝ 。又将等式 ＝ 中的全面一项去除，可得出 ＝ 。所以，等角四边形Dnbd相似于四边形DRPT，二者的对角线Db和DP是重合的。所以，点b位于直线AP与DP的交点上，即与点P重合。

综上可得，无论点P在那个位置，最终都会落在圆锥曲线上。

推论. 从一点P出发，向三条指定直线AB、CD、AC作三条直线，三条直线分别与三条指定直线AB、CD、AC相交于Q、R、S点。分别对应六条直线，同时每条直线与其他直线以指定角度相交， 为指定值。所以，点P位于圆锥曲线上，且直线AB、CD与该圆锥曲线相切于点A和点C，反过来也是如此。因为如果将直线BD向直线AC无限靠近，使二者重合，而三条直线AB、CD、AC的位置并未改变；如果将直线PT无限靠近直线PS，使二者重合，那么PS×PT＝PS ² ；除此之外，直线AB、CD与圆锥曲线相交于A、B、C、D四点，在这四点完全重合的情况下，圆锥曲线与直线AB、CD就是相切的关系，并非相交。

附录

在上述引理中，所提到的圆锥曲线是一个广义的概念，因为圆锥曲线包括过圆锥顶点的直线截线和平行于圆锥底面的圆周截线。如果点P在直线AD或直线BC上，那么圆锥曲线就变成两条直线，点P在其中一条直线上，而四个点中的另外两个点在另一条直线上。如果四边形ABCD的两个对角之和为180°，则PQ、PR、PS、PT四条直线分别垂直于四边形ABCD的四条边，或者各自相交的角度一致，且PQ×PR＝PS×PT，在这种情况下，圆锥曲线就是圆周。还有一种情况下，圆锥曲线是圆周，那就是：从P点出发，以任意角度作PQ、PR、PS、PT四条直线，且 ＝ 。

在所有情形中，点P的轨迹是三种圆锥曲线图形之一。除了上述四边形ABCD，还可以用其对边可以像对角线一样交叉的另一种四边形。而如果A、B、C、D四点中的任意一点或两点向无限远处移动，这说明四边形ABCD的四条边收敛于这一点，一对对边直线或两对对边直线相互平行，其余的点则在圆锥曲线上，沿着抛物线的轨迹和相同的方向，向无穷远处延伸。

引理19

从P点出发，以已知角度，向四条直线AB、CD、AC、BD分别作直线PQ、PR、PS、PT，则 为指定值。 （图A 5-5）

假设以上乘积中的一个在到直线AB、CD的任意两条直线PQ和PR中。四条直线AB、AC、CD、BD分别相交于点A、B、C、D，形成四边形ABCD。A、B、C、D四点中，任意选择一点A，连接AP，直线AP与直线BD相交于H点，与直线CD相交于点I。图形中的角度大小均为指定值，所以 、 、 的比值也为指定值。因为 也为指定值，则 除以 ，所得 也为指定值。以 与给定值 、 相乘，则 的值就是确定的，P点的位置也能确定。

推论Ⅰ. 同样情况下，也可以在点P的轨迹上取任意一点D，在点D处作切线。当点P与点D重合时，点D在直线AH上，弦PD就成了切线。在这种情况下，线段IP越来越小，直至消失，从上面的推论过程中，可以得出 的最终值。过C点作直线AD的平行线CF，点F为其与直线BD的交点。从点D以相同的最终比值作直线DE，直线DE与直线CF交于点E，因为直线CF平行于无限变小、逐渐消失的直线HI，且直线CF和直线HI与轨迹分别相交于点E和点P，所以直线DE为切线。 （图A 5-6）

推论Ⅱ. 所有点P的轨迹都是可以求出来的。对于四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D，从其中任意一点，作与点P的轨迹相切的直线，如经过点A，作点P轨迹的切线AE。再过其他任意一点，作切线AE的平行线，例如经过点B，做与切线AE平行的直线BF，直线BF与点P的轨迹相交于点F。根据引理19，可以求出点F。假设点G为线段BF的中点，连接点A和点G，直线AG就是直径所在的直线。则BG和FG就是直径两侧的纵标线。如果直线AG和所有点P的轨迹相交于点H，那么AH就成了直径或横向的通径，则 ＝ 。而如果直线AG和所有点P的轨迹不相交，直线AH无限延长，那么所有点P的轨迹为抛物线，直线AG所对应的通径等于 。如果直线AG和所有点P的轨迹相交于某点，当点A和点H位于点G的同一侧，所有点P的轨迹为双曲线；当点A和点H位于点G两侧时，所有点P的轨迹为椭圆；如果角AGB的大小为90°，且BG ² ＝AG×GH，所有点P的轨迹为圆周。 （图A 5-7）

从欧几里得时期开始人们喜欢讨论的经典四线问题，在推论中得到了解答。在那之后，古希腊数学家阿波罗尼奥斯又对这个问题进行了拓展，就某种意义来说，这也是古人的需求。但是，事实上，这些问题无须分析和演算，几何作图就可以解答。

引理20

若在任意平行四边形ASPQ中，有两个相对的顶点，如点A和点P，在任意圆锥曲线上，角SAQ的两条边AQ、AS均向外延伸，与圆锥曲线相交于点B和点C；通过点B和点C作直线，两条直线均与圆锥曲线相交于点D，得直线BD和直线CD。直线BD和直线CD与平行四边形ASPQ另外的两条边PS、PQ所在的直线相交于点T和点R。则在圆锥曲线划出部分， 的值为固定值。反过来推也是可以的，即如果圆锥曲线划出部分相互比值是固定值，则点D在点A、B、C和点P所在的圆锥曲线上。 （图A 5-7）

情形1. 连接CP和BP，由点D作AB的平行线DG，DG与BP相交于点H，与PQ相交于点I，与AC相交于点G。再由点D作AC的平行线DE，DE与CP相交于点F，与SP相交于点K，与AB相交于点E。由引理17可得， 为给定值。

由 ＝ ＝ ＝ ，可得 ＝ ，同理可得， ＝ ＝ ＝ ，所以， ＝ 。将两等式子相乘，得出 ＝ ，且比值为指定值。而PQ和PS都为指定值，所以 也为指定值。

情形2. 如果已知 为指定值，同理逆推可得， 也为指定值。由引理18可得，点D在A、B、C、P所在的圆锥曲线上。

推论Ⅰ. 连接BC，直线BC与PQ相交于点r，过点B作圆锥曲线的切线Bt，与直线PT相交于点t。假设点D和点B相互重合，则弦BD会消失，BT就成了切线，且CD与CB重合，BT与Bt重合。

推论Ⅱ. 反过来，在Bt是切线的前提下，直线BD和直线CD相交于圆锥曲线上任意一点D，则 ＝ ，所以，BD和CD一定在圆锥曲线上任意一点D处相交。

推论Ⅲ. 如果两条圆锥曲线相交，最多有四个交点。但是如果两条圆锥曲线有四个以上的交点，那么两条圆锥曲线会经过A、B、C、P、O五个点。如果这两条圆锥曲线与直线BD相交于点D和点d，并且直线Cd与直线PQ相交于点q，则可得 ＝ ，所以PR＝Pq，然而这个结论与命题是相矛盾的。

引理21

已知指定点B点和C点，以点B和点C为极点，作两条不确定但能移动的直线，使其相交于点M。经过点M作给定位置的直线MN，再作另外两条不确定的直线BD和CD，使其相交于点D。直线BD和CD与直线BM和CM，在指定点B点和C点构成指定角∠MBD和∠MCD，则指定点B、C两点在过点D所做出的圆锥曲线上。反过来讲，如果过点D所做出的圆锥曲线经过定点B、C、A，∠MBD等于指定角∠ABC，那么点M的轨迹是一条指定位置的直线。 （图A 5-8）

点N为指定点，直线MN上的点M为可动点，当点M落在点N上时，使可动点D落在指定点P上，连接CN、BN、CP和BP，从点P出发，向直线BD作直线PT，向直线CD作直线PR，使得∠BPT＝指定角∠BNM，∠CPR＝指定角∠CNM。由给定的条件，∠MBD＝∠NBP，∠MCD＝∠NCP除了公共角∠NBD和∠NCD，∠NBM＝∠PBT＝∠NCM＝∠PCR，由此可得，△NBM∽△PBT，△NCM∽△PCR。所以， ＝ ， ＝ 。因为点B、C、N、P为指定点，所以 、 和 都为指定值。根据引理20，可动直线BT和直线CR相交于点D，且点D在一条圆锥曲线上，那么，点B、C、P点就在这条圆锥曲线上。 （图A 5-9）

反之，如果经过定点B、C、A的圆锥曲线，经过可动点D，且满足∠DBM＝给定角∠ABC，∠DCM＝给定角∠ACB。在圆锥曲线上取两个任意不动点P和p，当点D相继落到点P和点p时，可动点M也相继落在不动点N和n上，则可动点M的轨迹就是一条经过点N和n的直线Nn。

如果点M的运动轨迹为任意曲线，那么圆锥曲线会经过点D，且B、C、A、P、p五个点在这条圆锥曲线上。所以，当点M一直落在曲线上时，圆锥曲线也会经过点D，也会经过B、C、A、P、p五个点。如此，两条圆锥曲线都经过了相同的五个点，这与引理20的推论Ⅲ是矛盾的，所以点M落在曲线上这一部分的可能性为0。

命题22 问题14

作一条通过五个指定点的曲线轨道。 （图A 5-10）

方法1. 确定五个指定点，假设五个指定点为A、B、C、P、D。先选取其中任意一点，向其他任意两点作直线，比如分别作从点A到点B和点C的直线AB、AAC，点B和点C即为极点。经过第四点，比如点P，分别作直线AB和直线AC的平行线TPS和PRO。从极点B和C分别作无穷直线BT和CR，使之经过第五个点D，直线BDT和直线TPS相交于点T，直线CRD和直线PRO相交于点R。经过点B，作直线AC的平行线Bt，连接TR，过t点，作直线TR的平行线tr，可得 ＝ 。连接Cr，其延长线与Bt相交于点d，则点d就在通过五个指定点的曲线轨道上。原因是，根据引理20，经过点A、B、C、P的圆锥曲线，也经过点d，当线段Rr和Tt逐渐消失时，点D与点d重合。所以，圆锥曲线经过A、B、C、P、D五个指定点。

方法2. 在以上五个给定点中，选择任意三个点，并将它们相连接。比如依照次序连接点A、B、C。以点B和点C为极点，旋转指定角∠ABC和∠ACB，使得两角的一边BA、CA先经过点D，在经过点P。在这两种情况下，边BL和CL分别相交于点M和点N，再连接MN，作无限直线，让可动角∠ABC和∠ACB分别绕着它们的极点旋转，假设边BL和BM或边CL与CM相交于点m，那么点m会一直落在不确定的无限直线MN上，再假设边BA与BD或边CA与CD相交于点d，可以画出过P、A、D、d、B五个点的曲线PADdB。由引理21可得，经过点B和点C的圆锥曲线也将经过点d。而当点m与点L、M、N重合时，点d也会与点P、A、D重合。所以，画出的圆锥曲线会经过A、B、C、P、D五个指定点。 （图A 5-11）

推论Ⅰ. 经过任意指定点B，作与轨道的切线。当点d与点B重合时，直线Bd为所求切线。

推论Ⅱ. 由引理19的推论，也能求出轨道的中心、直径和通径。

附录

还有比第一种方法更简洁的一种方法：

连接BP，有必要的话，可以延长直线BP，在其延长线上取一点p，使 ＝ 。再从点p出发作直线SPT的平行线pe，且使得pe＝pr。作直线Be和直线Cr，使得两条直线相交于点d。因为 ＝ ＝ ＝ ，所以pe＝pr。通过这种方法，就能很容易地找出轨道上的点，除非圆锥曲线是由第二种作图法机械做出来的。

命题23 问题15

通过四个定点，作与给定直线相切的圆锥曲线轨道。 （图A 5-12）

情形1. 假设指定切线为HB，直线HB与圆锥曲线相切于点B，其他三个指定点就是点C、点D和P。连接BC，过点P分别作直线HB、直线BC的平行线PS、PQ，由此，作平行四边形BSPQ。连接BD，与直线BS相交于点T，连接CD，直线CD与直线PQ相交于点R。最后，作直线TR的任意平行线tr，使得 ＝ 。由引理20可得，连接Cr和Bt，两条直线的交点d将一直落在所求曲线轨道上。

其他方法： 以点B为极点，作指定角∠CBH，使其绕点B旋转。向两边延长半径DC，并使其极点C旋转。设∠CBH的一边BC，与半径DC相交于点M和点N，另一条边BH，与半径DC相交于点P和点D。连接MN，并向两边无限延长直线MN，使其始终与半径DC或半径PC、边BC相交，而根据边BH与半径的交点，可以推导出曲线的轨迹。 （图A 5-13）

在下图中，点A和点B重合，直线CA重合于直线CB，则直线AB最终会演变成切线BH，前面的做法与此方法是相同的，边BH与半径的交点的轨迹就是一条圆锥曲线，且点C、点D和P在圆锥曲线上，切线BH与圆锥曲线相切于点B。

情形2. 假设切线HI不经过给定的四个点B、C、D、P，将这四个点两两连接，比如连接BD和CP，设直线BD与直线CP相交于点G，且分别于切线相交于点H和点I，在切线HI上作点A，使得 ＝ ，如果满足这些条件，点A就是切线HI与圆锥曲线的相切之处。因为如果直线HX平行于直线PI，并与轨道相交，交点为任意点X与点Y，由圆锥曲线的性质可得， ＝ 或者 ＝ × 。由此，求出切点A后，可以通过情形1画出圆锥曲线。 （图A 5-14）

但需要注意的是，点A既有可能位于点H和点I的中间，也有可能位于线段HI的外面，所以，如果以这两种可能作图，将会做出两种不同的圆锥曲线。

命题24 问题16

做出过三个指定点，并与两条指定直线相切的曲线轨道。 （图A 5-15）

假设三个指定点为点B、C、D，直线HI和直线KL为指定切线。连接其中任意两点，比如连接BD，直线BD分别和两条切线相交，交点分别为点H、点K。连接CD，直线CD也分别和两条切线相交于点I和点L。在直线HK上取点R，在直线IL上取点S，使得 ＝ ， ＝ 。点R既有可能位于点H和点K的中间，也有可能位于线段HK的外面。同样地，R既有可能位于点I和点L的中间，也有可能位于线段IL的外面。连接RS，直线RS分别与两条切线相交于点A和点P，则点A和点P成了切点。假设切点A和P在切线上的位置是任意的，过两条切线HI和KL上H、I、K、L四点中的任意一点，作与另一条切线的平行线，比如过切线HI上的点I，作切线KL的平行线IY，直线IY与圆锥曲线相交于X、Y两点，在直线IY取一点Z，使得IZ＝ ，即使IZ为IX和IY的比例中项，那么，根据圆锥曲线的性质， ＝ ＝ ，所以 ＝ 。由此可得，P、Z、A三点在同一条直线上，点S、P、A也在同一条直线上。同理可得，点R、P、A也在同一条直线上。进而可以得出，切点A和切点P在直线RS上。求出这些点后，再加上上个问题的条件，就可以做出与指定直线HI和KL相切的曲线轨道了。

在本命题的作图方法和上一个命题情形2的作图方法是一致的，直线XY是否与曲线轨道相交于点X和点Y，并不是确定做出的图形需要的条件。但是，既然有了证明直线与曲线轨道相交时的作图法，就会有证明直线与曲线轨道不相交的作图法。只是为了内容简洁，这里不再做进一步的证明。

引理22

将图形转变为相同类型的另一图形。 （图A 5-16）

假设被转变的任意图形为HGI，任意作两条平行线AO和BL，且两条平行线分别与给定的任意直线AB相交于点A和点B。取图形HGI上任意一点G，作直线AO和BL的平行线GD，直线GD与直线AB相交于点D。在直线AO取任意定点O，连接DO，且直线DO与直线BL相交于点d，从点d出发，作任意直线dg，使之与直线BL构成指定角，且使得 ＝ 。基于此，点g在新图形hgi上，并且与点G相对应。通过同样的方法，图形HGI上的多个点都可以一一对应新图形上的点。如果点G因受连续作用而经过图形HGI上的所有点，那么相对应地，新图形上点g也会受到连续作用而经过新图形上所有点，两者画出的图形也就没有差异。为了区别开来，以直线GD为原始纵标线，直线dg为新纵标线，以直线AD为原始横标线，直线ad为新横标线，以O为极点，OD为分割半径，OA为原纵标线上的半径，Oa是新纵标线上的半径。

如果点G在指定直线上，那么点g也在指定直线上。同理，如果点G在圆锥曲线上，那么点g也在圆锥曲线上，而且本来圆周也是圆锥曲线一种。除此之外，如果点G在三次解析曲线上，那么点g也在三次解析曲线上，就算是更高级的解析曲线，情况也是如此。点G所在曲线的解析次数总与点g所在曲线的解析次数相等。因为 ＝ ＝ ＝ ，所以AD＝ ，DG＝ 。如果点G在直线上，那么在任意表示横标线AD和纵标线GD的等式方程中，未知量AD和GD都是一次的。如果将AD替代为 ，将GD替代为 ，在如此所得的表示新横标线ad和新纵标线dg关系的方程中，ad和dg也是一次的。因此ad和dg就只表示一条直线。同样地，如果原方程中的AD和GD是二次的，那么新方程中的ad和dg也会是二次的，这种情况，在上升到三次乃至更高次数时，也是一样的。总之，未知量ad和dg在新方程中的次数总是等于AD和GD在原方程中的次数，所以点G所在的曲线解析级数等于点g所在的曲线解析级数上。

还有，如果有任意直线与原图形相切，且直线与原图形曲线以相同的方式进行了转变，那么转变后的直线与新图形曲线相切，反之亦然。而且，如果原图形曲线上任意两点不断相互靠近并重合，那么在新图形曲线上对应的两点也会不断靠近直至重合。因此，在旧新两个图形中，如果某些点构成的直线在旧图形中变为曲线的切线，那么在新图形中，对应的新的直线亦是变为曲线的切线。其实，这些问题本应该用更加几何的方法来证明，但是为了达到简洁的效果，在这里省略了这一部分证明过程。

对于一条直线来说，只要转变原图形中直线的交点，就可以将一条直线转变为另一条直线，转变后的新图形直线，可以通过这些转变的交点作出来。但是对于曲线图形来说，就必须要转变确定的曲线上的点、切线或者其他直线。此引理可以用来解决更难更复杂的问题，因为较复杂的图形可以通过本引理转变成较简单的图形。如果不平行的直线可以汇集到一点，将通过该点的任意直线代替原纵坐标半径，将那些汇集于一点的不平行的所有任意直线转变为平行线，唯有如此，直线的交点才会转到无限远处，这些转变后的平行线会靠近于那个无限远的交点。在新图形中解决了旧图形的问题过后，用逆运算的方法，将新图形转变为原图形，在原图形中想要的解就可以求出来。

对于立体几何问题，此引理也是可用的。对于两条圆锥曲线相交的问题，这也是通常需要解决的问题，其中任意一个圆锥曲线都有被转变的可能，如果圆锥曲线是双曲线或抛物线，那么它就能转变为椭圆，而椭圆就能转变成圆。另外，在平面作图的问题中，直线也可以转变为另一条直线，圆锥曲线可以转变为圆周。

命题25 问题17

做出与三条给定直线相切，并通过两个定点的曲线轨道。 （图A 5-17）

连接两个定点，作一条直线，此直线与任意一条切线相交于一点，另外两条切线相交，将这两个交点连接，作一条直线，并将原纵坐标半径代替为这条直线，根据上一个引理，原图形可以转变为新图形，在新图形中，原来两条相交的切线变为两条相互平行的直线，原来通过两个给定点的直线和与它相交的那条切线，也变为平行线。假设新图形中，相互平行的两条切线为hi和kl，第三条切线为ik，与第三条切线平行的通过给定点直线为hl，两个给定点分别为点a和点b，则在新图形中，圆锥曲线也会经过点a和点b。因为hi//kl且ik//hl，所以可以做出的四边形hikl为平行四边形。假设圆锥曲线分别与直线hi、ik、kl相交于点c、d、e，根据圆锥曲线的性质，可得 ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ，进而得出 ＝ ＝ ＝ ＝ ，又hc+ic＝hi，ke+el＝kl，id+kd＝ik，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，最终可得出 ＝ ＝ ＝ 。因此，点c、点d和点e就成了圆锥曲线分别与边hi、ik、kl相切的切点。根据引理22，新图形曲线中的转变可以一一对应到原图形中，则根据问题14，可以做出与三条给定直线相切，并通过两个定点的曲线轨道。

需要注意的是，点a和点b可能会落在边hl上，即落在点h和点l的中间，也有可能会落在边hl两侧的延长线上，所以点c、点d和点e也是可能落在边hi、ik、kl上，也有可能落在边hi、ik、kl之外。然而，如果点a和点b中的任意一点落在边hi上，而另一点也不在边hl上，则命题无解。

命题26 问题18

作经过一个给定点，并与四条指定直线相切的曲线轨道。 （图A 5-18）

连接任意两条切线的交点和另外两条切线的交点，并用此直线代替原纵坐标半径，根据引理22，可将原图形转变为新图形，使原图形在纵坐标线上相交的两对切线变为两对平行线，设新图形中两对平行线分别为hi//lk和ik//hl，则两对平行线构成平行四边形hikl，设新图形中与原图形中指定点对应的点为p，新图形的中心为o。从点p出发，经过点o做线段pq，使得op＝oq，则点q也在新图形中的曲线轨道上。根据引理22的逆运算，将点q转变到原图形中，即得到所求曲线轨道上的一个点，再加上已知的给定点，又根据问题17，所求的曲线轨道可以通过连接这两个点画出来。

引理23

已知两条指定直线AC和BD，其中点A和点B为端点，且两条直线的比值 是指定值，但是点C和点D的位置并不确定，连接点C和点D，作直线CD。如果直线CD有一点K，使得 为指定值，那么点K就在指定直线上。 （图A 5-19）

假设直线AC和直线BD相交于点E，在BE上取一点G，使得 ＝ ，则点G就是一个指定点。在BD上取一点F，使得DF＝EG。则由图可得， ＝ 或者 ＝ ，且此比值是定值，进而也指定了△EFC的类别。在CF上取点L，CD上取一点K，使得 ＝ ，且此比值是确定的，则△EFL的类别也可确定。连接KL，由前面的 ＝ 可得，△CLK∽△CFD。由于FD是指定直线， 的值是确定的，可得LK也是定值。在ED上取一点H，使得EH＝LK。又由 ＝ ，得LK//FD，即得LK//ED，所以四边形ELKH为平行四边形。所以，点K落在平行四边形ELKH的边HK上，而直线HK是指定直线。

推论. 因为图形EFLC已确定为什么类型，所以，直线EF、直线EL、直线EC（也就是直线GD、直线HK、直线EC）两两之间的比值就可以确定。

引理24

三条直线是同一条圆锥曲线的切线，其中两条切线的位置确定，且这两条切线互为平行线，那么，与这两条切线平行的圆锥曲线半径，等于这两条切线的切点到与第三条切线相交的交点之间线段的比例中项。 （图A 5-20）

设直线AF平行于直线GB，且这两条直线分别与圆锥曲线ADB相切于点A和点B，而与圆锥曲线相切的第三条切线是EF，且切点为点I。第三条切线EF与直线AF、直线GB分别相交于点F和点G。如图所示，CD为圆锥曲线的半径，并与切线AF、GB平行，如此，AF、CD、GB形成连比，即 ＝ ，也就是说，CD为AF和GB的比例中项。

AB和DM为圆锥曲线的共轭直径，且两直径相交于点C，如果直线AB和直线DM分别与第三条切线EF分别交于点E和点H。以点I和点C为两个相对的顶点，作平行四边形IKCL。由圆锥曲线的性质可得： ＝ ，分比可得： ＝ ＝ ，合比可得： ＝ ，即 ＝ 。因为△EAF、△ELI、△ECH和△EBG两两相似，所以 ＝ 。又根据圆锥曲线的性质， ＝ ，以上两个比例等式并比可得， ＝ 。

推论Ⅰ. 有圆锥曲线的两条切线FG、PQ，如果切线FG分别与两条平行切线AF、GB相交于点F和点G，切线PQ分别与两条平行切线AF、GB相交于点P和点Q，而切线FG和切线PQ相交于点O，那么根据该引理， ＝ ， ＝ ，进而可得， ＝ ，则 ＝ ＝ 。

推论Ⅱ. 同样地，分别连接点P和点G，作直线PG，连接点F和点Q，作直线FQ。则直线PG和直线FQ将与经过切点A和切点B的直线ACB相交，并且会经过圆锥曲线的中心。

引理25

如果任意一条圆锥曲线内切于一个平行四边形，即平行四边形的四条边均与圆锥曲线相切，圆锥曲线的第五条切线与平行四边形相交，那么平行四边形的边被分割成的线段中的任意一段与它所在边的比值，等于其邻边上切点到第三条边所分割的部分与另一条线段的比值。 （图A 5-21）

如图所示，圆锥曲线内切于平行四边形MLKI，与四条边ML、IK、KL、MI分别相切于点A、B、C、D。圆锥曲线的第五条切线FQ，分别与四条边ML、IK、KL、MI相交于点F、Q、H、E，取相邻的两条边ML、IK上的两条线段ME和KQ，或者相邻两边KL、ML上的两条线段KH和MF，根据引理24的推论Ⅰ， ＝ ，或者 ＝ ，通过合比可得， ＝ 。同样的道理， ＝ ，或者 ＝ ，通过分比可得， ＝ 。

推论Ⅰ. 如果一条指定的圆锥曲线内切于一个已经确定的平行四边形IKLM，那么KQ×ME和KH×MF是确定的。因为△KQH∽△MFE，所以KQ×ME与KH×MF的数值确定且相等。

推论Ⅱ. 如果圆锥曲线的第六条切线eq分别与切线KI和切线MI分别相交于点q和点e，KQ×ME＝Kq×Me， ＝ ，由分比可得， ＝ 。

推论Ⅲ. 同理，如果将线段Eq和eQ各自等分为相等的两段，然后连接两条线段的中点，作一条直线，则圆锥曲线的中心就在该直线上。因为 ＝ ，由引理23可得，该直线也通过MK的中点，且MK的中点就是圆锥曲线的中心。

命题27 问题19

做出与五条指定直线相切的曲线轨道。 （图A 5-22）

假设指定的五条切线为直线ABG、BCF、GCD、FDE、EA，取其中任意四条直线，就能构成四边形，如ABFE。如果取四边形ABFE对角线AF和BE的中点，即点M和点N，那么由引理25的推论Ⅲ可得，连接点M和点N所做的直线MN，则直线MN会经过圆锥曲线的中心。同样地，取另外四条切线构成四边形，如BGFD，其对角线BD、GF的中点分别为点P和点Q，那么连接点P和点Q所做的直线PQ也会经过圆锥曲线的中心。由此可得，两条中点连线的交点即是圆锥曲线的中心。假设圆锥曲线的中心为点O，作与切线BC平行直线KL，点O在直线BC和直线KL的中间，则直线KL也是圆锥曲线的切线。而直线KL与其他两条直线GCD和FDE的交点分别为点L和点K，直线CL和直线FK互不平行，切线CF与切线KL相互平行，直线CL分别与切线CF、切线KL相交于点C和点L，直线FK分别与切线CF、切线KL相交于点F和点K。连接点C和点K作直线CK，连接点F和点L作直线FL，直线CK与直线FL相交于点R，由引理24的推论Ⅱ可得，直线OR经过平行切线CF和KL的切点，用同样的方法可以求出其他切点。再根据问题14，就能做出曲线轨道。

附录

命题27也包括了指定曲线轨道中心或渐近线的情况。在指定点、切线和中心的情况下，则在中心另一侧相同距离处一样多的点和切线也是指定的，如此，可以将渐近线看作切线，渐近线在无限远处的极点即为切点。反过来，如果将任意一条切线的切点移动向无限远处，则这条切线就会变成一条渐近线，则前面问题中所做的图形就会演变成指定渐近线的情况下所做的图形。 （图A 5-23）

当圆锥曲线已经做出后，按照同样的方法，还可以确定圆锥曲线的轴和焦点。根据引理21的图形，即可分别做出曲线轨道可移动角∠PBN和∠PCN的边BP和边CP，BP//CP，并且围绕极点B和极点C旋转，同时在图形中保持其所在位置。∠PBN和∠PCN的另外一条边CN和BN，分别与曲线轨道相交于点K和点k。以点O为圆心，作圆周BKGC。直线CN和BN相交，过点O，作直线OH垂直于直线MN，且直线OH与圆周相交于点K和点L。当边CN和BN的交点K距离直线MN最近的时候，边BP和边CP将与长轴平行，并垂直于短轴。相反，假如这些边的交点L在距离直线MN最远处，就会出现相反的情况。所以，如果已经指定曲线轨道的中心和轴，就能轻松找到曲线轨道的焦点。

因为 与两轴平方的比值相等，经过指定的四个点画出已知类型的曲线轨道就很容易。如果指定点中的点B和点C是极点，那么由第三个极点就能引出动角∠PCK和∠PBK，在以上条件指定的情况下，就可以做出圆周BGKC。因为曲线轨道的类型已经确定，所以OH本身和 的比值也是指定的。以点O为圆心，OH为半径，做出另一个圆周，边CK和边BK相交于点K，经过点K作该圆周的切线，当原图形中的边BP和边CP经过第四个指定点时，可得过点K的圆周切线的平行线MN，通过直线MN，即可做出圆锥曲线。同时，还可以在指定圆锥曲线中做出内接四边形。

当然，通过指定点和指定切线，圆锥曲线还可以通过其他引理来做出。 （图A 5-24） 该圆锥曲线将会是以下类型：经过任意指定点的一条直线，将与圆锥曲线相交于两点，取两个交点构成线段的中点，则该中点位于另一个圆锥曲线上，该圆锥曲线与原图形的类型是相同的，且该圆锥曲线的轴平行于原图形的轴。接下来，这个问题只能到此为止，下文将讨论有更具实用性的问题。

引理26

在三角形的大小和类型是指定的情况下，其中的三个角分别与指定位置且不平行的三条直线相对应，且使每个角对应一条直线。 （图A 5-25）

先做出指定位置的三条直线AB、AC和BC，再按如下要求做出△DEF，顶点D在直线AB上，顶点E在直线AC上，顶点F在直线BC上。经过点D和点E作圆弧DRE，经过点D和点F作圆弧DGF，经过点E和点F作圆弧EMF，使圆弧所对应的角分别与∠BAC、∠ABC、∠ACB相等。△DEF的三条边DE、DF和EF分别内接于这三条弧线，同时，使得字母DRED和BACB的旋转顺序相同、DGFD和ABCA的旋转顺序相同、EMFE和ACBA相同。将这些圆弧补充为完整的圆周，且前两个圆周的交点为点G。设这两个圆周的圆心分别为点P和点Q，分别连接GP和PQ，在以点P为圆心的圆周上取一点a，使得 ＝ 。然后以点G为圆心、Ga为半径作圆周，并与第一个圆DGE相交于点a。连接点a和点D作直线aD，直线aD与第二个圆DFG相交于点b。再连接点a和点E，作直线aE，直线aE与第三个圆EMF相交于点c。于是，与图形abcDEF相似且相等的图形ABCdef就能作出来。

证明过程如下：连接点F和点c，作直线Fc，直线Fc和直线aD相交于点n。分别连接aG、bG、QG、QD、PD，如图所示，∠EaD＝∠CAB，∠acF＝∠ACB，所以△anc即等于△ABC，所以∠anc＝∠ABC，或者∠FnD＝∠ABC，又有∠FbD＝∠ABC，可得点n与点b重合。此外，因为PG＝PD，且QG＝QD，所以∠GPQ＝∠DPQ，即直线PQ为圆心角GPD的角平分线，现有圆心角GPD的 角∠GPQ等于∠GbD的补角∠Gba。综上可得，△GPQ∽△Gab。进而得出， ＝ ，又有 ＝ 。 （图A 5-26） 因为AB＝ab，所以△abc相似且相等于△ABC。所以，△abc的边ab、ac、bc所在直线分别经过△DEF的顶点D、E、F。如此，与图形abcDEF相似且相等的图形ABCdef就可以做出来了。

推论. 可以做出满足如下条件的直线：使其位于三条指定位置直线之间的部分为给定长度。假设△DEF的顶点D无限远离边EF，即边DE和边DF无限靠近，直到两者渐变成一条直线，则原来的三角形变成了两条直线，则指定部分的DE在指定直线AB和AC之间，而指定部分DF在指定直线AB和BC之间。如果在本情形中也用到以上的作图法，问题就能解开。

命题28 问题20

作一条给定位置和大小的圆锥曲线，并使得圆锥曲线的给定部分在给定位置的三条直线之间。 （图A 5-27）

假设有一与曲线DEF相似且相等的曲线轨道，该曲线轨道被三条指定直线AB、AC和BC分割为DE和EF两部分，且这两部分相似且等于曲线上指定的部分。

分别连接点D、点E和点F，作直线DE、直线EF和直线DF，由引理26可得，指定位置的直线通过△DEF的顶点D、E、F，做出△DEF外接的曲线轨道，该曲线轨道相似且相等于曲线DEF。

引理27

做出一个给定类型的四边形，使它的四个顶点分别与四条边既不互相平行，也不交于一点直线上。 （图A 5-28）

有四条指定位置的直线AC、AD、BD、CE，如图所示，直线AC分别与直线AD相交于点A，与直线BD相交于点B，与直线CE相交于点C。

假设给定类型的四边形为FGHI，做一个与四边形FGHI相似的四边形fghi，使得∠f＝∠F，直线AC经过顶点f。对于其他三个顶角，也有∠g＝∠G、∠h＝∠H、∠i＝∠I，且对于其他三个顶点，有直线AD经过顶点g，直线BD经过顶点h，直线CE经过顶点I。在四边形FGHI中，连接点F和点H，作对角线FH，在对角线FH上做圆弧FTH，在边FG和边FI上分别作圆弧FSG和圆弧FVI。其中，圆弧FTH对应的角等于∠CBD，圆弧FSG对应的角等于∠BAD，圆弧FVI对应的角等于∠ACE。同时，使字母FSGF的转动顺序等于字母BADB，字母FTHF的转动顺序等于字母CBDC，字母FVIF的转动顺序等于字母ACEA，接着将以上这些圆弧补充为完整的圆。假设点P和点Q分别为圆FSG和圆FTH的圆心，连接点P和点Q作直线PQ，在直线PQ上取一点R，使得QR∶PQ＝BC∶AB，且点P、点Q、点R的转动顺序与点A、点B、点C的转动顺序一致。以点R为圆心，RF为半径作第四个圆FNc，圆FNc与圆FVI相交于点c，连接点F和点c，作直线Fc，直线Fc分别与圆FSG、圆FTH相交于点a和点b。连接直线aG、直线bH、直线cI，使得图形ABCfghi相似于图形abcFGHI，则所求图形就是四边形fghi。

圆FSG和圆FTH相交于点K，分别连接PK、QK、RK、aK、bK、cK，将线段QP延长至点L。圆周角FaK、FbK、FcK分别是圆心角FPK、FQK、FRK的 ，则它们分别与圆心角FPK的半角LPK、圆心角FQK的半角LQK、圆心角FRK的半角LRK相等。所以图形PQRK相似于图形abcK。所以有 ＝ ＝ 。如图所示，∠fAg＝∠FaG，∠fBh＝∠FbH，∠fCi＝∠FcI，因此，图形ABCfghi与图形abcFGHI相似，而做出的四边形fghi相似于给定类型四边形FGHI，直线AC、AD、BD和CE分别经过四边形fghi的四个顶点。

推论. 作一条直线，使其按照指定的顺序与四条指定位置的直线相交，且每被两条直线截取的各部分线段之间的比值是固定的。如果增大角FGH和GHI，则三条直线FG、GH、HI就会变为一条直线。如上所述，可以做一条直线fghi，按照顺序，分别与给定位置的四条直线AB、AD、BD、CE相交，直线fghi被四条直线分成fg、gh和hi三部分。其中，fg在直线AB和AD之间，gh在直线AD和BD之间，hi在直线BD和CE之间，且fg、gh、hi相互之间的比值与直线FG、GH、HI相同顺序的比值相等。其实，要解答这个问题，还有更简洁的方法。 （图A 5-29）

延长AB至点K，延长BD至点L，使得 ＝ ， ＝ 。连接点K和点L，作直线KL，与直线CE相交于点i，延长iL至点M，使得 ＝ 。过点M，作直线LB的平行线MQ，直线MQ与直线AD相交于点g，连接点g和点i作直线gi，直线gi分别与直线AB、BD相交于点f和点h。由此，问题就得到了解答。

证明：假设直线Mg与直线AB相交于点Q，直线AD与直线KL相交于点S，过点A作直线BD的平行线AP，直线AP与直线iL的交点为点P，则 、 、 、 ＝ 。在DL上取一点R，使得 ＝ ＝ 。因为 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ，则 ＝ ，即 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。如图所示，点D和点R将直线BL分割成三部分，而点G和点H则分割了直线FI，且有 ＝ ， ＝ 。类似地， ＝ ＝ 。这说明，直线FI和直线fi被点g和点h、点G和点H分割的情况是相似的。 （图A 5-30）

如图所示，直线LK与直线CE相交于点i，延长iE至点V，使得 ＝ ，再过点V，作直线BD的平行线vf。以点i为圆心，IH为半径，作一圆周，该圆周与直线BD相交于点X，再延长iX至点Y，使得iY＝IF。最后，连接点Y和点f，作直线Yf，则直线Yf与直线BD平行。由此来看，这种作图法就是上一种作图法的完全复制。

然而，在历史上，克里斯托弗·雷恩爵士和瓦里斯博士早在很早的时间就解答这个问题了。

命题29 问题21

做一个给定类型的圆锥曲线，使该曲线按照指定顺序、类型和比例被给定位置的四条直线切割。 （图A 5-31）

假设所做的圆锥曲线fghi与圆锥曲线FGHI相似，已知给定位置的四条直线为AB、AD、BD、CE，圆锥曲线在直线AB和直线AD之间、直线AD和直线BD之间、直线BD和直线CE之间的部分分别与圆锥曲线FGHI的FG、GH、HI部分相似且成比例。连接点F和点G，作直线FG，用同样的方法，分别做出直线GH、HI、FI。以引理27为依据，可以做出与四边形FGHI存在相似关系的四边形fghi，且四边形fghi的四个顶点f、g、h、i按照顺序分别在直线AB、AD、BD、CE上，则绕四边形fghi作一条外接圆锥曲线，则所作圆锥曲线与圆锥曲线FGHI相似。

附录

以下方法可以用于解答此问题。 （图A 5-32）

作直线FG、GH、HI、FI，延长FG至点V，连接FH、IG，且使得∠LAK＝∠FGH，∠DAL＝∠VFH，直线AK与直线BD相交于点K，直线AL与直线BD相交于点L，分别从点K和点L出发，作直线KM和直线LN，同时满足∠AKM＝∠GHI，且 ＝ 。

作一条直线，使其与直线CE交于点i，且分别与直线KM和直线LN交于点M和点N，同时满足 ＝ ，又有∠iEP＝∠IGF。过点P作直线Pf，直线Pf与直线DE相交于点Q，与直线AB相交于点f，连接点i和点f，作直线f。同时使字母PEip和PEQP的旋转顺序与字母FGHIF相同。以直线fi为一边，按与字母FGHIF相同的旋转顺序作四边形fghi，则四边形fghi和四边形FGHI似，围绕四边形fghi作它的外接曲线，则解答了这个问题。

到这里，以及前面所述的问题以及解答方法都是关于轨道的，接下来，要探究的问题是物体在轨道上的运动。 e6Rq/jBgD/9GUs7cdaUGBds/rpimQ91fO4mHBQ5+npvHAu/u2uXwkhboXxkjwk+1