第4章
通过已知焦点求椭圆、抛物线和双曲线的轨道

引理 15

假设过椭圆或双曲线的两个焦点S、H，分别作直线SV、HV相交于点V，直线HV是图形焦点所在的主轴。直线SV和通过点T的直线TR垂直，且ST＝VT，那么直线TR将和该圆锥曲线相切。反之亦然，如果直线TR和圆锥曲线相切，那么直线HV一定是椭圆或双曲线的主轴。 （图A 4-1）

假设直线TR与直线HV垂直相交于点R，连接点S和R，因为ST＝VT，所以SR＝VR，角TRS和TRV也相等。因此得出，点R一定在圆锥曲线上，且直线TR和该圆锥曲线在点R相切。反之亦然。

命题18 问题10

根据已知焦点和主轴做出椭圆或双曲线，让它过给定点且与给定直线相切。 （图A 4-2）

假设点S为公共焦点，AB为任意曲线的主轴，点P为该曲线应该经过的点，直线TR与该曲线相切。围绕点P作圆周HG，如果曲线是椭圆，则半径为AB-SP；如果是双曲线，则半径为AB+SP。另外作线段ST，与切线TR垂直，延长ST使得VT＝ST。再以点V为圆心、AB为半径作圆周FH。同理，不管两个点P、p给定，还是两条切线TR、tr给定，或是一个点P和一条切线TR给定，都可以做出两个圆周。

假设点H是两个圆周的交点，根据焦点S、H和已知的主轴做出圆锥曲线，那么问题就解决了。因为椭圆的PH+SP、双曲线的PH-SP都等于主轴，所以该曲线经过点P，且与直线TR相切。同理，该曲线经过两点P、p，或与直线TR、tr相切。

命题19 问题11

根据一个已知焦点作抛物线，使其经过给定点且与给定位直线相切。 （图A 4-3）

假设焦点S和任意点P都是给定的，切线TR也是给定的。以点P为中心，作半径为PS的圆周FG。经过焦点S作线段ST与切线TR垂直，延长ST到点V，使得VT＝ST。同理，如果点p是给定的，可以做出另一个圆周fg；如果切线tr是给定的，那么根据切线tr可以得出点v的位置。假设点P和切线TR是给定的，过点V作直线IF与圆周FG相切，如果点P、p是给定的，那么直线IF和圆周FG、fg都相切；如果切线TR、tr是给定的，那么直线IF和点V、v都相交。

再作线段SI和直线FI垂直，取点K使得KI＝KS，如果以K为顶点、SK为主轴做出抛物线，那么问题就解决了。因为KI＝KS，SP＝FP，抛物线过点P，根据引理14的推论Ⅲ，ST＝TV，且角STR是直角，因此抛物线和直线TR相切。

命题20 问题12

根据一个已知焦点做出圆锥曲线，使其经过给定的点且和给定直线相切。

情形1. 焦点S是已知的，求经过点B、C的曲线ABC。 （图A 4-4）

因为曲线类型已知，其主轴和焦点距离的比值也已知，且直线KB与BS的比值、直线LC与CS的比值和这个比值都相等。以点B、C为中心、直线BK、CL为半径分别做出两个圆，分别与直线KL在点K、L相切，再作直线SG和KL垂直的延长线相交于点G；再在直线SG上取两点A、a，使得 ＝ ＝ 。因此，以Aa为轴，经过顶点A、a作圆锥曲线，那么问题就解决了。如果点H是图形的另一个焦点，且 ＝ ，得出 ＝ ，或 ＝ ，因此主轴与焦点距离的比值是固定值，所得图形就是所求图形的类型。同时，因为 ＝ ，因此该图形为经过点B、C的圆锥曲线。

情形2. 焦点S是已知的，求与直线TR、tr相切的曲线。 （图A 4-5）

经过焦点S作线段ST、St分别与直线TR、tr垂直，延长ST、St到点V、v，且TV＝ST，tv＝St，OV＝vO，作直线OH垂直Vv，并与直线VS的延长线相交于点。另外在直线VS线上取两点K、k，VK与KS的比值、VK与KS比值都等于主轴与焦点距离的比值。以线段Kk为直径作圆周，和直线OH相交于点H，再以点S、H为焦点、VH为主轴做出曲线，那么问题就解决了。

因为点X平分线段Kk，连接HX、HS、HV、Hv，又因为 ＝ ，因此， ＝ ， ＝ ，可以得出 ＝ ，且三角形VXH、HXS相似，进而得出 ＝ ＝ ，因此，VH与SH的比值等于所求曲线主轴与焦点距离的比值。即，两条曲线的类型相同，都是圆锥曲线。同时，因为VH、vH和主轴相等，且VS、vS分别与直线TR、tr垂直且被平分，根据引理15，这些直线与所作曲线相切。

情形3. 焦点S是已知的，求与给定点R、直线TR相切的曲线。 （图A 4-6）

经过焦点S作线段ST与直线TR垂直，延长ST到点V，且TV＝ST。连接VR，使它和直线VS延长线相交，另外在直线VS线上取两点K、k，VK与KS的比值、VK与KS比值等于主轴和焦点距离的比值。以线段Kk为直径做出圆周，和直线VR的延长线相交于点H，再以点S、H为焦点、VH为主轴做出曲线，那么问题就解决了。

根据上述证明，因为VH和SH的比值、VK和SK的比值等于主轴和焦点距离的比值，因此，所作曲线和所求曲线类型相同。根据圆锥曲线的属性，若是直线TR平分角VRS，那么直线TR一定和该曲线相切，且切点为点R。

情形4. 焦点S是已知的，求与直线TR相切的曲线APB，且该曲线经过切线外任意已知点P，同时和以ab为主轴、点s、h为焦点所做的圆锥曲线apb相似。 （图A 4-7）

经过焦点S作线段ST与直线TR垂直，延长ST到点V，且TV＝ST。作角hsq和VSP相等，角shq和SVP相等。再以点q为中心，以ab乘以SP和VS的比值为半径作圆周，该圆周和曲线apb相交于点p。连接sp，做出直线SH，使得 ＝ ，且角PSH和psh相等，角VSH和psq相等。以点S、H为焦点，AB （与距离VH相等） 为主轴做出圆锥曲线，那么问题就解决了。 （图A 4-8）

因为如果作直线sv，让 ＝ ，角vsp和hsq相等，角vsh和psq相等，且三角形svh、spq相似，可以得出 ＝ 。

因为三角形VSP和hsq相似，三角形VSH和vsh相似，所以vh＝ab， ＝ ，可以得出，所作曲线的主轴与焦点距离比值等于ab与sh的比值，所作图形和圆锥曲线apb相似。又因为三角形PSH和psh是相似的，且主轴等于距离VH，直线TR垂直且平分直线VS，所以该图形经过点P，且与直线TR相切。

引理 16

由三个给定点作三条直线相交于第四个任意点，使其差值或为给定值，或为零。 （图A 4-9）

情形1. 点A、B、C已知，点Z是第四个任意点。因为直线AZ与BZ的差值是给定值，所以经过点Z的图形一定是以点A、B为焦点、以AZ-BZ的值为主轴的双曲线。假设主轴为直线MN，取点P使得 ＝ 。再作直线PR与AB垂直，作直线ZR与PR垂直，那么根据双曲线的属性， ＝ 。同理，经过点Z的图形也是双曲线，焦点是点A、C，主轴是AZ-CZ的值。再作直线QS与AC垂直，如果取双曲线上任意点Z，经过它作直线ZS垂直QS，那么得出， ＝ 。因为ZR与AZ的比值、ZS与AZ的比值已知，所以ZR与ZS的比值也可以确定。如果作直线PR和QS的延长线相交于点T，那么做出TZ和TA就可以确定图形TRZS的类型，以及点Z所在直线TZ的位置。又因为直线TA和角ATZ已知，AZ与ZS的比值、TZ与ZS的比值也已知，那么它们相互间的比值可以确定。因此以点Z为顶点的角ATZ也可以确定。

情形2. 假设三条直线中的任意两条相等，比如AZ＝BZ，作直线TZ过直线AB的中点，那么按照上述方法就可以得出三角形ATZ。

情形3. 如果三条直线的长度都相等，那么点Z是经过点A、B、C所作圆周的中心。

另外，这一引理在维也特修订的阿波罗尼奥斯所著的《切触》中也得到证明。

命题21 问题13

根据一个给定焦点作一条曲线，使其过给定点且与给定直线相切。 （图A 4-10）

假设焦点S、任意点P、切线TR都已知，求另一个焦点H的位置。作直线ST与切线TR垂直，延长ST到点Y，使得TY＝ST，那么直线YH等于主轴。再连接SP、HP，SP则等于HP与主轴的差值。同理，假设更多的切线TR已知，或是更多的点P已知，那么就可以确定点Y到焦点的直线YH，或者点P到焦点的直线PH是和主轴相等，还是和主轴与直线SP的差值相等。进而得出，YH与PH是相等，还是等于给定的差值。根据引理16，焦点H的位置就可以确定了。同时，焦点、主轴是已知的，主轴长度或等于YH，或等于PH+SP （轨道为椭圆时） ，或等于PH-SP （轨道为双曲线时） ，那么曲线就可以确定了。

附录

当我说轨道是双曲线时，指的是其中一支，而不包括另一支。因为物体做连续运动时，不可能脱离双曲线的一支跳入另一支。

假设三个点都是已知的，那么解决方法就更简单了。点B、C、D是指定点，连接BC、CD，并延长到点E、F，使得 ＝ ， ＝ 。在直线EF上取点G、H，经过两点分别作直线SG、BH垂直EF。让GS不断延长，趋于无限，然后取点A、a，使得 ＝ ＝ ，可以得出，点A为曲线的顶点，Aa为主轴。当GA大于AS时，轨道为椭圆，当GA等于AS时，轨道为抛物线，而当GA小于AS时，轨道为双曲线。

如果轨道是椭圆，点A、a位于直线GF同侧，如果轨道是抛物线，则点a位于无限远处，如果轨道是双曲线，则点a、A位于直线GF两侧。作线段CI、DK垂直GF，得出 ＝ ＝ ，经过整理置换得出， ＝ ＝ ＝ 。因此，点B、C、D都在以点S为焦点的圆锥曲线上，同时焦点S到各点的直线与对应的点到直线GF的垂线的比值都是指定值。 （图A 4-11）

几何学家德拉希尔在著作《圆锥曲线》中第八卷的命题25也证明了这一问题，且证明方法几乎和我们相同。 ao5Y3cPTHnSvLyldZWTnHuETx41lqKInD5/rvd1ViRsiSHECQdXhQcOKyelDkKWr